Trên dòng sông, nước chảy với vận tốc u, có hai tàu thủy đi lại gặp nhau. Tại một thời điểm nào đó, khi một tàu thủy qua địa điểm A thì chiếc tàu thủy kia đi qua địa điểm B, đồng thời từ A có một xuồng máy chạy qua chạy lại giữa hai tàu thủy nói trên cho tới khi hai tàu thủy gặp nhau. Khoảng cách giữa hai địa điểm A và B theo bờ sông là L. Vận tốc của tàu thủy và của xuồng máy khi nước yên lặng là v và V. Địa điểm A nằm ở thượng nguồn.

a. Xác định thời gian xuồng máy đã chuyển động từ địa điểm A cho đến khi hai tàu thủy gặp nhau.

b. Xác định quãng đường mà xuồng máy đã chạy trong thời gian nói trên. Câu trả lời như thế nào nếu xuồng máy xuất phát từ B

a.Vận tốc của tàu A là v_A = v + u, của tàu B là: v_B = v – u

Thời gian để hai tàu gặp nhau là:

$t=\frac{L}{v+u+v-u}=\frac{L}{2v}$, đó cũng là thời gian xuồng máy chuyển động.

b.

Vận tốc xuồng máy khi xuôi dòng là: $V_x=V+u$ 

   Vận tốc xuồng máy khi ngược dòng là: $V_n=V-u$

Theo sơ đồ trên ta có:   AB₁ = A₁B₁ + AA₁

                                      A₁B₂ = A₂B₂ + A₁A₂

                                            ..............

=> (AB_{1 +} A₁B₂ +............) = (A₁B₁+ A₂B₂+   .......) + (AA₁ + A₁A₂ +.......)

V ới

AB_{1 +} A₁B₂ +................: là tổng quãng đường s_x xuồng máy đi xuôi dòng.

A₁B₁+ A₂B₂ +   ............: là tổng quãng đường s_n xuồng máy đi xuôi dòng.

Có s_x = s_n + s_A    (1) trong đó $s_A=t.v_A=\frac{L}{2v}.\left(v+u\right)$  (2)

Gọi t_x là tổng thời gian xuồng máy đi xuôi dòng, t_n là tổng thời gian xuồng máy đi ngược dòng thì: t = t_x + t_n

_{$\Rightarrow \frac{s_x}{V+u}+\frac{s_n}{V-u}=\frac{L}{2v}$}

Thay (1) ; (2) vào (3) thì:

$$\begin{gathered} \frac{s_n}{V+u}+\frac{s_n}{V-u}+\frac{L}{2v}.\frac{v+u}{V+u}=\frac{L}{2v}\Rightarrow \frac{s_n.2V}{V^2-u^2}=\frac{L}{2v}.\left(1-\frac{v+u}{V+u}\right)\Rightarrow \frac{s_n.2V}{V^2-u^2}=\frac{L}{2v}.\frac{V-v}{V+u} \\ \begin{array}{l}\Rightarrow s_n=\frac{L}{2v}.\frac{V-v}{V+u}.\frac{V^2-u^2}{2V}=\frac{L}{4Vv}.(V-v).(V-u)\\ \Rightarrow s_x+s_n=2s_n+s_A=\frac{L}{2Vv}.(V-v).(V-u)+\frac{L}{2v}.(u+v)\end{array} \\ \Rightarrow s_x+s_n=\frac{L}{2Vv}.(V^2+uv) \end{gathered}$$

Trường hợp xuồng máy xuất phát từ B thì ta thay u bởi - u trong công thức (4) tổng quãng đường là:               $\frac{L}{2Vv}.(V^2-uv)$