1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = x + 2

Û x² – x – 2 = 0

Û x² – 2x + x −2 = 0

Û x(x – 2) + (x – 2) = 0

Û (x + 1)(x − 2) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

• Với x = −1 thì y = x + 2 = –1 + 2 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A(−1; 1).

• Với x = 2 thì y = x + 2 = 2 + 2 = 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(2; 4).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là A(−1; 1) và B(2; 4).

Vẽ (P)

Bảng giá trị:

x	−2	−1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	4

 

Vẽ (d)

(d) y = x + 2 đi qua 2 điểm A(−1; 1) và B(2; 4).

2) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:

$\frac{m}{1}\ne \frac{1}{m}\iff m^2\ne 1\iff m\ne \pm 1$

Giải hệ phương trình với m là tham số

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ m(m+1-my)+y=2m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ m^2+m-m^{2}y+y=2m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ y(1-m^2)=m-m^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ y=\frac{m-m^2}{1-m^2}=\frac{m\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m}{1+m}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-m.\frac{m}{1+m}\\ y=\frac{m}{1+m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ có nghiệm x, y nguyên thì

$\left\{\begin{array}{l}x=m+1-m.\frac{m}{1+m}\\ y=\frac{m}{1+m}\end{array}\right.$  nguyên $\iff \frac{m}{1+m}$nguyên

Xét $\frac{m}{1+m}=\frac{m+1-1}{m+1}=1-\frac{1}{m+1}$

Để $\frac{m}{1+m}$nguyên thì m + 1 bằng các giá trị {−1; 1}.

Do đó m ∈ {−2; 0} (thỏa).

Vậy m ∈ {−2; 0} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất nguyên.