Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là $X=\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_8}\left(a_1\ne 0\right)$

Số cách chọn a₁: 9 cách.
Số cách chọn 7 chữ số còn lại: $A_9^7$ cách

⇒ Tập hợp A có $9.A_9^7$ số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A
⇒ Không gian mẫu $A_9^7$

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.
Ta có: $X=\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_8}=a_1{.10}^7+a_2{.10}^6+a_3{.10}^5+a_4{.10}^4+a_5{.10}^3+a_6{.10}^2+a_7.10+a_8$

Vì ${10}^k⋮25,\forall k=\overline{2;8},k\in N$ nên $X⋮25\iff 10.a_7+a_8⋮25$

Do $a_7,a_8\in N,0\le a_7,a_8\le 9,a_7\ne a_8$ nên:

$0<10a_7+a_8\le 99$

$\Rightarrow 10a_7+a_8\in \left\{25;50;75\right\}$

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên $a_8\in \left\{0;5\right\}$

TH1: $10a_7+a_8=25$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}_8=0\\ a_7=\frac{25}{10}\end{array}\left(KTM\right)\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{a}_8=5\\ a_7=2\end{array}\left(TM\right)\right.\end{array}\right.$

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁: 7 cách (a₁ ≠ 0,a₂ ≠ a₇, a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: $A_7^5$ cách

⇒ Có $7.A_7^5$ số.

TH2: $10a_7+a_8=50$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}_8=0\\ a_7=5\end{array}\left(TM\right)\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{a}_8=5\\ a_7=\frac{45}{10}\end{array}\left(KTM\right)\right.\end{array}\right.$

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁ : 8 cách (a₁≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: $A_7^5$ cách.
⇒ Có 8.$A_7^5$ số

TH3: $10a_7+a_8=75$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}_8=0\\ a_7=\frac{75}{10}\end{array}\left(KTM\right)\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{a}_8=5\\ a_7=7\end{array}\left(TM\right)\right.\end{array}\right.$

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁ : 7 cách ( a₁≠ 0, a₂≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: $A_7^5$ cách

⇒ Có 7. $A_7^5$ số

$\Rightarrow n\left(M\right)=\mathrm{2.7.}{A}_7^5+8.A_7^5=55440$

Vậy xác suất của biến cố M là:

$\Rightarrow P\left(M\right)=\frac{n\left(M\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{55440}{9.A_9^7}=\frac{11}{324}$

Đáp án cần chọn là: C