Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-my+z+6m+3=0$ và $\left(\beta \right):mx+y-mz+3m-8=0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta$. Gọi $\Delta \text{'}$ là hình chiếu của $\Delta$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $\Delta \text{'}$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P=10a^2-b^2+3c^2$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$và đường thẳng $d:x-1=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}$.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-16=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$  có phương trình $x=y=z$. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với $\Delta$ là:

Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2$. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-1\\ z=-t\end{array}\right.$và 2 mặt phẳng (P)  và (Q) lần lượt có phương  trình $x+2y+2z+3=0;x+2y+2z+7=0$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmI  thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P)  và (Q).

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-2}=z$ . Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}$. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=t\\ z=4\end{array}\right.$ và $d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=t\text{'}\\ y=3-t\text{'}\\ z=0\end{array}\right.$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là: