25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ nâng cao (P4)

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Biết các cạnh a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn hệ thức: b(b²- a²) = c(c²- a²). Tìm mệnh đề đúng?

A. Tam giác ABC là tam giác đều

B. Tam giác ABC là tam giác cân

C. Tam giác ABC là tam giác tù

D. tam giác ABC là tam giác nhọn

Xem đáp án

Chọn C.

Theo đầu bài ta có; b(b²- a²) = c(c²- a²)

Hay b³- c³= a²(b - c)

Mà b - c ≠ 0 nên b²+ bc + c²= a²

Theo định lí côsin thì a²= b²+ c²- 2bccosA

Do đó: b²+ bc + c²= b²+ c²- 2bccosA

Suy ra: cos A = - ½ hay góc A bằng 120⁰.

Do đó tam giác ABC tù

Câu 2:

Cho tam giác ABC thỏa mãn: sinC = cosA + cosB. Tìm mệnh đề đúng

A. Tam giác ABC cân tại A

B. Tam giác ABC là tam giác nhọn

C. Tam giác ABC đều

D. Tam giác ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

Vậy sin C = cosA + cos B khi và chỉ khi

Hay

cS= (a+b)(p-a)(p-b)

$c^{2} . p . (p - a) (p - b) (p - c) = {(a + b)}^{2} {(p - a)}^{2} {(p - b)}^{2} \Leftrightarrow c^{2} . p . (p - c) = {(a + b)}^{2} (p - a) (p - b)$

Nên c²[(a + b) ²- c²]= (a + b)²[ c²- (a - b)²]

Do đó; c⁴= (a²- b²) ²

Suy ra a²= b²+ c² hoặc b²= c²+ a²

Suy ra; tam giác ABC vuông tại A hoặc B.

Câu 3:

Cho tứ giác ABCD. Cho hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tìm mệnh đề đúng?

A. AB²+ BC²= CD²+ AD²

B. AB²= BC²+ CD²

C. BC²= AD²+ CD²

D. AB²+ CD²= BC²+ AD²

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: AB²+ CD²- BC²- AD²

Do 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên = $\vec{0}$

Từ đó; AB²+ CD²- BC²- AD²= 0 hay AB²+ CD²= BC²+ AD²

Câu 4:

Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC²+ BD²= AD²+ BC². Tìm mệnh đề đúng?

A. AC và AD vuông góc với nhau

B. AC và BD vuông góc với nhau

C. AB và CD vuông góc với nhau

D. AB và BC vuông góc với nhau

Xem đáp án

Chọn C

Theo đầu bài ta có: AC²+ BD²= AD²+ BC² nên AC²- AD²= BC²- BD²

Suy ra:

Hay

Tương đương

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC/4, N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Tam giác BMN là tam giác vuông

B. Tam giác BMN là tam giác cân

C. Tam giác BMN là tam giác đều

D. Tam giác BMN là tam giác vuông cân

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A D} = \vec{y}$ $\Rightarrow \vec{A C} = \vec{x} + \vec{y} \Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{4} (\vec{x} + \vec{y})$

Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên $\vec{x} . \vec{y} = \vec{0}; {\vec{x}}^{2} = {\vec{y}}^{2}$

Khi đó :

Ta có

Mặt khác

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a; CN = 2a và AP = x . Tính x để AM vuông góc với PN.

A. x = a

B. x = 2a

C. x = 0,8.a

D. x = 0,5.a

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có

Do AM và PN vuông góc với nhau nên

Câu 7:

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK ⊥ AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Tìm mệnh đề đúng

A. Góc BMN là góc nhọn

B. Góc BMN là góc vuông

C. NB và AC vuông góc với nhau

D. Góc BNM là góc vuông

Xem đáp án

Chọn B.

Xét đáp án B

Đặt và BA = a; BC = b và BK = c.

Do M là trung điểm của AK nên ,

Do đó $\vec{M N} . \vec{B M} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \frac{\vec{c}}{2}) (\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{4} (2 \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c} + 2 . \vec{b} . \vec{c} - {\vec{c}}^{2})$

Vì và nên

Suy ra MN và BM vuông góc với nhau

Do đó góc BMN bằng 90⁰.

Câu 8:

Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = a. Gọi I là trung điểm của CD. Tìm mệnh đề đúng?

A. Góc AIB là góc vuông

B. Tam giác BIC là tam giác vuông

C. AI và BD vuông góc với nhau

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C.

Do I là trung điểm của DC nên ta có:

Lại có:

suy ra

Vậy AI ⊥ BD.

Câu 9:

Cho tam giác vuông ABC tại C có AC = 9, CB = 5. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$

A. 25

B. 81

C. 106

D. 53

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: = AB. AC.cos BAC

Mà:

Suy ra:

Câu 10:

Cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

A. D( 5;0)

B. D( 7; 0)

C. D( 7,5 ;0)

D. tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C.

Điểm D nằm trên trục Ox nên D( x; 0)

Mà: DA = DB ⇔DA² = DB²

⇔ (2 – x)² + 4² = (1 – x)² + 2²

⇔ 4 – 4x + x² + 16 = 1 – 2x + x² + 4

⇔ -2x = -15 ⇔x = 15/2. Suy ra:

Câu 11:

Cho hai điểm A(-3; 2), B(4; 3). Biết có 2 điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M. Tính tổng hoành độ 2 điểm đó.

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C.

Điểm M ∈ Ox ⇒ M(x; 0).

Khi đó

ΔMAB vuông tại M nên

Hay (–3 – x)(4 – x) + 2.3 = 0

⇔ –12 + 3x – 4x + x² + 6 = 0

⇔ x² – x – 6 = 0 ⇔ .

Vậy: M₁(3; 0), M₂(-2; 0) và tổng hoành độ của chúng là : 3 + (-2) = 1.

Câu 12:

Cho hai điểm A(-3; 2), B(4; 3). Tìm tọa độ điểm N trên trục Oy sao cho ΔNAB cân tại N.

A. N(3;0)

B. N( 0; 5)

C. (6; 0)

D. (0;6)

Xem đáp án

Chọn D.

Điểm N ∈ Oy nên tọa độ điểm N(0; y).

Khi đó

Mà tam giác NAB cân tại N nên NA = NB ⇒ NA² = NB²

⇔ (-3)² + (2 – y)² = 4² + (3 – y)²

9 + 4 – 4y + y² = 16 + 9 – 6y + y²

⇔ 2y = 12 ⇔ y = 6

Vậy: N(0; 6).

Câu 13:

Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC?

A. H( 1;1)

B. H( 1; 2)

C. (2;1)

D. (2;2)

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi H (x; y) là trực tâm tam giác ABC nên

Mà

Suy ra:

Vậy H(2; 2).

Câu 14:

Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4) . Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. I( 1; 2)

B. I(2; 1)

C. I(1; 1)

D. I(2; 2)

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Suy ra

Vậy I(1;2)

Câu 15:

Cho tam giác vuông ABC tại B, A = 62⁰ và cạnh b = 54. Hỏi a + c gần với giá trị nào nhất?

A. 47,68

B. 25,35

C. 73,03

D. 69,85

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: là 2 góc phụ nhau nên

+ Tính b: sinA = a/b ⇒ a = b.sinA = 54.sin62⁰ ≈ 47,68

+ Tính c: sinC = c/b ⇒ c = b.sinC = 54.sin28⁰ ≈ 25,35

Do đó; a + c ≈ 73,03.

Câu 16:

Cho tam giác ABC đều . Tìm hệ thức sai?

A. b = a cosC + c cosA

B. sinB = sinA cosC + sinC cosA

C. = 2R sinA sinC

D. sinA= cosB.cosC

Xem đáp án

Chọn D.

Ta đi xét các phương án

+ Phương án A

Ta có: VP = a cosC + c cosA

$\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} + b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b} = \frac{2 b^{2}}{2 b} = b = V T$

+ Phương án B

Ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC

mà b = a cosC + c cosA ⇒ 2RsinB = 2RsinA cosC + 2RsinC cosA

⇒ sinB = sinA cosC + sinC cosA

+ Phương án C

Ta có: S = ½. b.h_b= ½.a.c.sinB nên b.h_b= acsinB

Mà: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC

Suy ra: 2RsinBh_b= 2RsinA.2RsinC.sinB ⇒ h_b= 2RsinA sinC.

Câu 17:

Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Gọi AD là phân giác trong của góc A. Tính AD.

A. 5,2

B. 5,3

C. 5,4

D. 5,5

Xem đáp án

Chọn B.

+ Tính S:

Ta có nửa chu vi tam giác là p = (7 + 8 + 5) : 2 = 10

Suy ra:

+ Tính góc A:

Ta có:

+ Tính AD:

Ta có: S_ABD= ½.AB. AD.sin(A/2) = ½.5.AD.sin30⁰= 5/4 AD

S_ACD= ½AC. AD.sin(A/2) = ½.8.AD.sin30⁰= 2AD

Mà: S = S_ABD+ S_ACD

Nên hay suy ra

Câu 18:

Cho tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: a(a² – c²) = b(b² – c²). Tính góc C.

A. 30⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 120⁰

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

a(a² – c²) = b(b² – c²) ⇔ a³ – ac² = b³ – bc²

⇔ a³ – b³ = ac² – bc²

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) = c²(a – b)

⇔ a² + ab + b² = c²

⇔ ab = c² – a² – b²

Ta lại có:

$\Rightarrow \hat{C} = 120 °$

Câu 19:

Cho ΔABC thỏa mãn c = 2bcosA và . Tìm mệnh đề đúng?

A. tam giác cân tại C

B. tam giác cân tại B

C. tam giác đều

D. tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

⇔ c³ + a³ – b³ = b²c + ab² – b³

⇔ c³ + a³ = b²c + ab²

⇔ (c + a)(c² – ca + a²) = b²(c + a)

⇔ c² – ca + a² = b²

⇔ c² – ca + a² = a² + c² – 2accosB

Mà: c = 2b cosA

Ta lại có a² = b² + c² – 2bc cosA

⇔ a² = b² + c² – 2bc. c/2b ⇔ a² = b² ⇔ a = b

Vậy ΔABC đều.

Câu 20:

Cho tam giác ABC có cạnh AB = 14, góc C = 120⁰, tổng hai cạnh còn lại là 16. Tính độ dài hai cạnh còn lại.

C. 5 và 11

A. 8 và 8

D. 10 và 6

B. 7 và 9

C. 5 và 11

D. 10 và 6

Xem đáp án

Chọn D.

Theo định lí cosin ta có:

AB² = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos

⇔ 196 = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos120⁰

⇔ 196 = BC² + AC² + BC.AC (1)

Ta lại có: BC + AC = 16 ⇒ AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:

196 = BC² + (16 – BC)² + BC(16 – BC)

⇔ BC² – 16BC + 60 = 0

* Với BC = 10 ⇒ AC = 6

* Với BC = 6 ⇒ AC = 10

Vậy: BC = 10 và AC = 6 hoặc BC = 6 và AC = 10.

Câu 21:

Tính giá trị biểu thức P = sin30⁰cos15⁰+ sin150⁰.cos165⁰

A. P = -0,5

B. P = 0

C. P = 0,5

D. P = 1

Xem đáp án

Chọn B.

Hai góc 30⁰ và 150⁰ bù nhau nên sin30⁰= sin150⁰

Hai góc 15⁰ và 165⁰ bù nhau nên cos15⁰= -cos 165⁰.

Do đó P = sin30⁰cos15⁰+ sin150⁰.cos165⁰ = sin150⁰(-cos165⁰+ cos165⁰) = 0.

Câu 22:

Cho hai góc bù nhau α và β. Tính giá trị của biểu thức P= cosα.cosβ- sinα.sinβ.

A. P = 0

B. P = 1

C. P = -1

D. P = 2

Xem đáp án

Chọn C.

Hai góc α và β bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó P = cosα.cosβ- sinα.sinβ.

= -cos²α – sin²α = -1

Câu 23:

Cho tam giác ABC. Tính P = sinA. cos(B + C) + cos A.sin(B + C).

A. P = 0

B. P = 1

C. P = - 1

D. P = 2

Xem đáp án

Chọn A.

Giả sử A = α; B + C = β.

Biểu thức trở thành P = sinα.cosβ - cosα.sinβ.

Trong tam giác ABC, có A + B + C = 180⁰ nên α + β = 180⁰.

Do hai góc α và β bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó, P = sinα.cosβ - cosα.sinβ = -sinα.cosα + cosα.cosβ = 0.

Câu 24:

Cho tam giác ABC. Tính P = cosA.cos( B + C) – sinA.sin(B + C).

A. P = 0

B. P = 1

C. P = -1

D. P = 2

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử A = α; B + C = β. Biểu thức trở thành P = cosα.cosβ - sinα.sinβ.

Trong tam giác ABC có A + B + C = 180⁰ nên α + β = 180⁰.

Do hai góc α và β bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó P = cosα.cosβ- sinα.sinβ = -cos²α - sin²α = -1.

Câu 25:

Cho biết 3cosα – sinα = 1; 0⁰ < α < 90⁰. Giá trị của tanα bằng:

A. 4/3

B. 3/4

C. 1

D. ½

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có 3cosα – sinα = 1 nên 3cosα = sinα + 1

Suy ra: 9cos²α = sin²α + 2sinα + 1

Hay 10sin²α + 2sinα - 8 = 0

Do đó: sinα = -1 hoặc sinα = 0,8

+ sinα = -1 không thỏa mãn vì 0⁰ < α < 90⁰

+ sinα = 0,8 thì cosα = 0,6 và tan α = 0,8 : 0,6 = 4/3.