Đáp án đúng là: D

Phương án A, B, C đúng.

Phương án D sai. Sửa lại: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Đáp án đúng là: C

Hình thoi và hình vuông có đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng nửa đường chéo.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy trên hình 1, các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] đều nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\] nên tứ giác \[ABCD\] trên hình 1 là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: A

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Tứ giác \[MNPQ\] nội tiếp đường tròn nên \(\widehat M + \widehat P = 180^\circ \) hay \(\widehat P = 180^\circ - \widehat M = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Góc \[AOB\] và \[ACB\] lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\] của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[MNP\] là:

\[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{3} = 1\] (dm).

Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều \[MNP\] là:

\[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} = 0,5\] (dm).

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Góc \[BAD\] và \[BOD\] là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BD\] của \[\left( O \right)\].

Do đó \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BOD} = \frac{1}{2}.140^\circ = 70^\circ \).

Tứ giác \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ \).

Vậy \(\widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \[2x + x = 180^\circ \]

\[3x = 180^\circ \]

\[x = 60^\circ .\]

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \[\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ .\]

Vậy \[x = 60^\circ \] và \[\widehat {ADC} = 95^\circ .\]

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\] có: \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \[\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ .\]

Ta có \[\widehat {ADO} + \widehat {ODC} = \widehat {ADC}\,.\]

Suy ra \[\widehat {ADO} = \widehat {ADC} - \widehat {ODC} = 110^\circ - 50^\circ = 60^\circ .\]

Tam giác \[OAD\] cân tại \[O\] (do \[OA = OD = R\]) có \[\widehat {ADO} = 60^\circ \] nên \[\Delta OAD\] là tam giác đều. Do đó \[\widehat {AOD}\, = 60^\circ .\]

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp nên ta có:

\(\widehat {DAB} + \widehat {BCD} = 180^\circ \) nên \(\widehat {BCD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Mà \(\widehat {BCD} + \widehat {BCM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {BCM} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Vậy \(\widehat {BCM} = 70^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Bán kính của chiếc đồng hồ hình tròn là: \[r = \frac{{40}}{2} = 20\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Gọi \[a{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\] là độ dài cạnh (phía bên trong) của khung gỗ.

Ta có \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\] hay \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = 20,\] suy ra \[a = 40\sqrt 3 \approx 69,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ khoảng bằng \[69,28\,\,{\rm{cm}}.\]

Đáp án đúng là: D

Xét phương án A:

a) Ta có \[\widehat {HMB} = \widehat {HNB} = 90^\circ \] (do \[AM,{\rm{ }}CN\] là hai đường cao cắt nhau tại \[H\] của tam giác ABC).

Do đó hai điểm \[M,{\rm{ }}N\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[HB.\]

Khi đó tứ giác \[HMBN\] nội tiếp đường tròn đường kính \[HB.\]

Vậy \[\widehat {MHN} + \widehat {MBN} = 180^\circ \] hay \[\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\]

Xét phương án B:

Ta có tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\]

Mà \[\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (câu a) nên \[\widehat {ADC} = \widehat {MHN}\,.\]

Lại có \[\widehat {AHC} = \widehat {MHN}\] (cặp góc đối đỉnh) nên \[\widehat {AHC} = \widehat {ADC}\,.\]

Xét phương án C:

Tam giác ABM, có: \[\widehat {AMB} + \widehat {BAM} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (chứng minh trên)

Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {AMB} + \widehat {BAM} = 90^\circ + \widehat {BAM}\,.\]

Vậy \[\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\]

Do đó chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Gọi \[ABCD\] là khung cổng hình chữ nhật.

Vẽ hình chữ nhật \[ABEF\] (hình vẽ) và \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AE,{\rm{ }}BF.\]

Khi đó ta có \[AF = 2AD = 2 \cdot 3 = 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Tam giác \[ABF\] vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

\[B{F^2} = A{F^2} + A{B^2} = {6^2} + {4^2} = 52.\]

Do đó \[BF = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vì vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABEF\] là: \[R = \frac{{BF}}{2} = \sqrt {13} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABEF\] là: \[C = 2\pi R = 2\pi \sqrt {13} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn là \[\frac{C}{2} = \frac{{2\pi \sqrt {13} }}{2} \approx 11,33\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]