30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P1)

Câu 1:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$

A. $\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

B. $\int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

C. $\int \sin 2 x d x = \cos 2 x + C$

D. $\int \sin 2 x d x = - \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn A.

$\int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} \int \sin 2 x d (2 x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ .

A. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = - \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{6} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int f (x) d x = \frac{1}{3} \int \cos (3 x + \frac{π}{6}) d (3 x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Câu 3:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + \tan^{2} \frac{x}{2}$ .

A. $\int f (x) d x = 2 \tan \frac{x}{2} + C$

B. $\int f (x) d x = \tan \frac{x}{2} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \tan \frac{x}{2} + C$

D. $\int f (x) d x = - 2 \tan \frac{x}{2} + C$

Xem đáp án

Chọn A

$f (x) = 1 + \tan^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{2}}$

$n ê n \int \frac{d x}{\cos^{2} \frac{x}{2}} = 2 \int \frac{d (\frac{x}{2})}{\cos^{2} \frac{x}{2}} = 2 \tan \frac{x}{2} + C$

Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x + \frac{π}{3})}$ .

A. $\int f (x) d x = - c o t (x + \frac{π}{3}) + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} c o t (x + \frac{π}{3}) + C$

C. $\int f (x) d x = c o t (x + \frac{π}{3}) + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} c o t (x + \frac{π}{3}) + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int \frac{d x}{\sin^{2} (x + \frac{π}{3})} = \int \frac{d (x + \frac{π}{3})}{\sin^{2} (x + \frac{π}{3})} = - c o t (x + \frac{π}{3}) + C$

Câu 5:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{3} x . \cos x$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{\sin^{4} x}{4} + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{\sin^{4} x}{4} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{\sin^{2} x}{2} + C$

D. $\int f (x) d x = - \frac{\sin^{2} x}{2} + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int \sin^{3} x . \cos x . d x = \int \sin^{3} x . d (\sin x) = \frac{\sin^{4} x}{4} + C$

Câu 6:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$ là

A. $F (x) = - 3 e^{x} - x + C$

B. $F (x) = 3 e^{x} + e^{x} \ln e^{x} + C$

C. $F (x) = 3 e^{x} - \frac{1}{e^{x}} + C$

D. $F (x) = 3 e^{x} + x + C$

Xem đáp án

Chọn D

$F (x) = \int e^{x} (3 + e^{- x}) d x = \int (3 e^{x} + 1) d x = 3 e^{x} + x + C$

Câu 7:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x} . 3^{- 2 x}$ .

A. $\int f (x) d x = {(\frac{2}{3})}^{x} . \frac{1}{\ln 2 - \ln 9} + C$

B. $\int f (x) d x = {(\frac{9}{2})}^{x} . \frac{1}{\ln 2 - \ln 9} + C$

C. $\int f (x) d x = {(\frac{2}{9})}^{x} . \frac{1}{\ln 2 - \ln 9} + C$

D. $\int f (x) d x = {(\frac{2}{9})}^{x} . \frac{1}{\ln 2 + \ln 9} + C$

Xem đáp án

Chọn C

$\int 2^{x} . 3^{- 2 x} d x = \int {(\frac{2}{9})}^{x} d x = {(\frac{2}{9})}^{x} . \frac{1}{\ln 2 - \ln 9} + C$

Câu 8:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} e^{2 x - 1} + C$

B. $\int f (x) d x = e^{2 x - 1} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \sqrt{e^{2 x - 1}} + C$

Xem đáp án

Chọn C

$\int \sqrt{e^{4 x - 2}} d x = \int e^{2 x - 1} d x = \int \frac{1}{2} e^{2 x - 1} d (2 x - 1) = \frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

Câu 9:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ là

A. $\int f (x) d x = 2 \sqrt{2 x - 1} + C$

B. $\int f (x) d x = \sqrt{2 x - 1} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} + C$

D. $\int f (x) d x = - 2 \sqrt{2 x - 1} + C$

Xem đáp án

Chọn B

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (2 x - 1)}{\sqrt{2 x - 1}} = \sqrt{2 x - 1} + C$

Câu 10:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ là

A. $\int f (x) d x = 2 \sqrt{3 - x} + C$

B. $\int f (x) d x = - \sqrt{3 - x} + C$

C. $\int f (x) d x = - 2 \sqrt{3 - x} + C$

D. $\int f (x) d x = - 3 \sqrt{3 - x} + C$

Xem đáp án

Chọn C

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - x}} d x = - \int \frac{d (3 - x)}{\sqrt{3 - x}} = - 2 \sqrt{3 - x} + C$

Câu 11:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{2 x + 1}$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{2}{3} (2 x + 1) \sqrt{2 x + 1} + C$

C. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} \sqrt{2 x + 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} (2 x + 1) \sqrt{2 x + 1} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = \sqrt{2 x + 1}$ $\Rightarrow d t = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$ $\Rightarrow d x = t d t$

$\Rightarrow \int \sqrt{2 x + 1} d x = \int t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} + C = \frac{1}{3} (2 x + 1) \sqrt{2 x + 1} + C$

Câu 12:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{5 - 3 x}$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{2}{9} (5 - 3 x) \sqrt{5 - 3 x}$

B. $\int f (x) d x = - \frac{2}{3} (5 - 3 x) \sqrt{5 - 3 x}$

C. $\int f (x) d x = - \frac{2}{9} (5 - 3 x) \sqrt{5 - 3 x} + C$

D. $\int f (x) d x = - \frac{2}{3} \sqrt{5 - 3 x} + C$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = \sqrt{5 - 3 x}$ $\Rightarrow d t = - \frac{3}{2 \sqrt{5 - 3 x}} d x$ $\Rightarrow d x = - \frac{2 t d t}{3}$

$\int \sqrt{5 - 3 x} d x = \int t . \frac{- 2 t}{3} d t = \frac{- 2}{3} \int t^{2} d t = \frac{- 2}{9} t^{3} + C = - \frac{2}{9} (5 - 3 x) \sqrt{5 - 3 x} + C$

Câu 13:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x - 2}$ .

A. $\int f (x) d x = - \frac{3}{4} (x - 2) \sqrt[3]{x - 2} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{3}{4} (x - 2) \sqrt[3]{x - 2} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{2}{3} (x - 2) \sqrt[]{x - 2}$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + C$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = \sqrt[3]{x - 2}$ $\Rightarrow d t = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- 2 / 3} d x$ $\Rightarrow d x = 3 t^{2} d t$

Khi đó $\int \sqrt[3]{x - 2} d x = \int t . 3 t^{2} d t = \int 3 t^{3} d t$ $= \frac{3}{4} t^{4} + C = \frac{3}{4} (x - 2) \sqrt[3]{x - 2} + C$

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{1 - 3 x}$ .

A. $\int f (x) d x = - {(1 - 3 x)}^{- \frac{2}{3}} + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{3}{4} (1 - 3 x) \sqrt[3]{1 - 3 x} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} (1 - 3 x) \sqrt[3]{1 - 3 x} + C$

D. $\int f (x) d x = - \frac{1}{4} (1 - 3 x) \sqrt[3]{1 - 3 x} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

$t = \sqrt[3]{1 - 3 x} = {(1 - 3 x)}^{1 / 3} \Rightarrow d t = \frac{1}{3} . (- 3) . {(1 - 3 x)}^{- 2 / 3} d x = - {(1 - 3 x)}^{- 2 / 3} d x \Rightarrow d x = - t^{2} d t$

Khi đó

$\int \sqrt[3]{1 - 3 x} d x = \int t . (- t^{2}) d t = \int - t^{3} d t = \frac{- 1}{4} t^{4} + C = - \frac{1}{4} (1 - 3 x) \sqrt[3]{1 - 3 x} + C$

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số $I = \int \frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1}$

A. $x^{2} - 3 x + 4 \ln |x - 1| + C$

B. $x^{2} + 3 x - 4 \ln |x - 1| + C$

C. $x^{2} + 3 x + 4 \ln |x - 1| + C$

D. $x^{2} - 3 x - 4 \ln |x - 1| + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1} = 2 x + 3 + \frac{4}{x - 1}$

Suy ra

$I = \int (2 x + 3 + \frac{4}{x - 1}) d x = x^{2} + 3 x + 4 \ln |x - 1| + C$

Câu 16:

Tìm nguyên hàm của hàm số $J = \int \frac{x^{3} - 1}{x + 1} d x$

A. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \ln |x + 1| + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x - 2 \ln |x + 1| + C$

C. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln |x + 1| + C$

D. $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \ln |x + 1| + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\frac{x^{3} - 1}{x + 1} = \frac{x^{3} + 1 - 2}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{2}{x + 1}$

Suy ra

$J = \int (x^{2} - x + 1 - \frac{2}{x + 1}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \ln |x + 1| + C$

Câu 17:

Tìm nguyên hàm của hàm số $K = \int {(x - \frac{1}{x})}^{3} d x$

A. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \ln |x| + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

B. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln |x| + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

C. $\frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \ln |x| + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

D. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln |x| + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: ${(x - \frac{1}{x})}^{3} = x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$

Suy ra

$K = \int (x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln |x| + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Câu 18:

Biết một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 3 x}} + 1$ là hàm số $F (x)$ thỏa mãn $F (- 1) = \frac{2}{3}$ . Khi đó $F (x)$ là hàm số nào sau đây?

A. $F (x) = x - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x} + 3$

B. $F (x) = x - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x} - 3$

C. $F (x) = x - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x} + 1$

D. $F (x) = 4 - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x}$

Xem đáp án

Chọn A

$F (x) = \int (\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x}} + 1) d x = - \frac{1}{3} \int \frac{d (1 - 3 x)}{\sqrt{1 - 3 x}} + x = x - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x} + C$

$F (- 1) = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 3 \Rightarrow F (x) = x - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3 x} + 3$

Câu 19:

Biết $F (x) = 6 \sqrt{1 - x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{a}{\sqrt{1 - x}}$ . Khi đó giá trị của a bằng

A. 2

B. 3

C. -3

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

$F' (x) = (6 \sqrt{1 - x})' = \frac{- 3}{\sqrt{1 - x}} \Rightarrow a = - 3$

Câu 20:

Hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} + 3 + \frac{1}{x}$ có nguyên hàm là

A. $F (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 2 \ln |x| + C$

B. $F (x) = x^{4} - \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \ln |x| + C$

C. $F (x) = 3 x^{2} - 2 x - \frac{1}{x^{2}} + C$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

$F (x) = \int (x^{3} - x^{2} + 3 + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \ln |x| + C$

Câu 21:

Họ nguyên hàm của hàm số $I = \int {(e^{x} + 2 e^{- x})}^{2} d x$ là

A. $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x + 2 e^{- 2 x} + C$

B. $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x - 2 e^{- 2 x} + C$

C. $e^{2 x} + 4 x - 2 e^{- 2 x} + C$

D. $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 x - 2 e^{- 2 x} + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: ${(e^{x} + 2 e^{- x})}^{2} = e^{2 x} + 4 + 4 . e^{- 2 x}$

Suy ra:

$I = \int (e^{2 x} + 4 + 4 e^{- 2 x}) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x - 2 e^{- 2 x} + C$

Câu 22:

Hàm số $F (x) = 7 \sin x - \cos x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f (x) = \sin x - 7 \cos x + x$

B. $f (x) = - \sin x + 7 \cos x$

C. $f (x) = \sin x + 7 \cos x$

D. $f (x) = - \sin x - 7 \cos x$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $F (x) = 7 \sin x - \cos x + 1$

f(x) = $F' (x) = (7 \sin x - \cos x + 1)' = 7 \cos x + \sin x$

Câu 23:

Tính $\int \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x$ là

A. $\tan x - c o t 2 x + C$

B. $c o t 2 x + C$

C. $\tan 2 x - x + C$

D. $\tan x - c o t x + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\int \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x = \int (\frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = \tan x - c o t x + C$

Câu 24:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $\int (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

A. $\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2} + 2 x + C$

B. $\frac{x^{5}}{5} + x^{3} + x^{2} + x + C$

C. $\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2} - x + C$

D. $\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2} + x + C$

Xem đáp án

Chọn D

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1) d x = \int x^{4} d x - 3 \int x^{2} d x + 2 \int x d x + \int d x = \frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2} + x + C$

Câu 25:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau $\int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

A. $\ln |\frac{x + 2}{x + 1}| + C$

B. $\ln |\frac{x - 1}{x - 2}| + C$

C. $\ln |\frac{x + 2}{x - 1}| + C$

D. $\ln |\frac{x - 2}{x - 1}| + C$

Xem đáp án

Chọn D

$\int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x = \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}) d x = \ln |x - 2| - \ln |x - 1| + C = \ln |\frac{x - 2}{x - 1}| + C$

Câu 26:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau $\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 2 x + e^{x}) d x$

A. $\tan x - x^{2} + e^{x} + C$

B. $c o t x - x^{2} + e^{x} + C$

C. $\tan x - x^{2} - e^{x} + C$

D. $c o t x - 2 x^{2} + e^{x} + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 2 x + e^{x}) d x = \tan x - x^{2} + e^{x} + C$

Câu 27:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau $\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x$

A. $\frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2}$

B. $\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2}$

C. $x - \frac{\sin x}{2} + C$

D. $\frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

Xem đáp án

Chọn D

$\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x = \int \frac{1 - \cos x}{2} d x = \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos x) d x = \frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

Câu 28:

Tìm hàm số f(x) biết: f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

A. $x^{2} + x + 3$

B. $x^{2} - x + 2$

C. $x^{2} + 2 x + 1$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $f (x) = \int (2 x + 1) d x = x^{2} + x + C$

Vì f(1) = 5 nên C = 3;

Vậy : f(x) = x² + x + 3

Câu 29:

Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2 – x² và f(2) = 7/3;

A. $f (x) = 2 x + \frac{x^{3}}{3} + 1$

B. $f (x) = x - \frac{x^{3}}{3} - 2$

C. $f (x) = 2 x - \frac{x^{3}}{3} + 1$

D. $f (x) = 2 x - \frac{x^{3}}{3} + 2$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $f (x) = \int (2 - x^{2}) d x = 2 x - \frac{x^{3}}{3} + C$

Vì f(2) = 7/3 nên C = 1;

Vậy: f(x) = $2 x - \frac{x^{3}}{3} + 1$

Câu 30:

Hàm số $F (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}} - 1$ có một nguyên hàm là

A. $f (x) = x^{3} - 2 \sqrt{x} - \frac{1}{x} - x$

B. $f (x) = x^{3} - \sqrt{x} - \frac{1}{x} - x$

C. $f (x) = x^{3} - 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

D. $f (x) = x^{3} - \frac{1}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{x} - x$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$\int F (x) d x = \int (3 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}} - 1) d x = x^{3} - 2 \sqrt{x} - \frac{1}{x} - x + C$