30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P2)

Câu 1:

Hàm số $f (x) = \frac{\cos x}{\sin^{5} x}$ có một nguyên hàm F(x) bằng

A. $\frac{1}{8 \sin^{4} x}$

B. $- \frac{1}{8 \sin^{4} x} + 1$

C. $\frac{4}{\sin^{4} x}$

D. $\frac{- 1}{4 \sin^{4} x} + 2$

Xem đáp án

Chọn D

$\int f (x) d x = \int \frac{\cos x}{\sin^{5} x} d x = \int \frac{1}{\sin^{5} x} d (s i n x) = - \frac{1}{4 \sin^{4} x} + C$

Cho C = 2, ta được một nguyên hàm của f(x) là

F(x) = $\frac{- 1}{4 \sin^{4} x} + 2$

Câu 2:

Kết quả tính $\int 2 x \sqrt{5 - 4 x^{2}} d x$ bằng

A. $\frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x)}^{3}} + C$

B. $- \frac{3}{8} \sqrt{(5 - 4 x^{2})} + C$

C. $- \frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C$

D.Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = \sqrt{5 - 4 x^{2}}$ $\Rightarrow t^{2} = 5 - 4 x^{2}$ $\Rightarrow 2 t d t = - 8 x d x$ $\Rightarrow t d t = - 4 x d x$

Ta có $\int 2 x \sqrt{5 - 4 x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int t^{2} d t = - \frac{1}{6} t^{3} + C = - \frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C$

Câu 3:

Kết quả $\int e^{\sin x} \cos x d x$ bằng

A. $x e^{\sin x} + C$

B. $\cos x . e^{\sin x} + C$

C. $e^{\sin x} + C$

D. $e^{- \sin x} + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\int e^{\sin x} \cos x d x = \int e^{\sin x} d (\sin x) = e^{\sin x} + C$

Câu 4:

Tính $\int \tan x d x$ bằng

A. $- \ln |\sin x| + C$

B. $- \ln |\cos x| + C$

C. $\frac{1}{\cos^{2} x} + C$

D. $\frac{- 1}{\cos^{2} x} + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

$\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = - \int \frac{1}{\cos x} d (\cos x) = - \ln |\cos x| + C$

Câu 5:

Tính $\int c o t x d x$ bằng

A. $\ln |\cos x| + C$

B. $\ln |\sin x| + C$

C. $\frac{- 1}{\sin x} + C$

D. $\frac{1}{\sin^{2} x} - C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

$\int c o t x d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \int \frac{1}{\sin x} d (\sin x) = \ln |\sin x| + C$

Câu 6:

Nguyên hàm của hàm số $y = \frac{x^{3}}{x - 1}$ là

A. $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln |x - 1| + C$

B. $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln |x + 1| + C$

C. $\frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln |x - 1| + C$

D. $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + x + \ln |x - 1| + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\frac{x^{3}}{x - 1} = x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

$\int f (x) d x = \int (x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln |x - 1| + C$

Câu 7:

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x + 1}$ là

A. $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 6 \ln |x + 1| + 3$

B. $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 6 \ln |x + 1|$

C. $\frac{x^{2}}{2} + 3 x - 6 \ln |x + 1|$

D. $\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 6 \ln |x + 1| + 5$

Xem đáp án

Chọn D

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x + 1} = x - 3 + \frac{6}{x + 1}$

$\int f (x) d x = \int (x - 3 + \frac{6}{x + 1}) d x = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 6 \ln |x + 1| + C$

Cho C = 5, ta được một nguyên hàm của f(x) là

F(x) = $\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 6 \ln |x + 1| + 5$

Câu 8:

Kết quả tính $\int \frac{1}{x (x + 3)} d x$ bằng

A. $\frac{- 1}{3} \ln |\frac{x}{x + 3}| + C$

B. $- \frac{1}{3} \ln |\frac{x}{x + 3}| + C$

C. $\frac{2}{3} \ln |\frac{x + 3}{x}| + C$

D. $\frac{1}{3} \ln |\frac{x}{x + 3}| + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\frac{1}{x (x + 3)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3})$

Nên $\int f (x) d x = \int \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3}) d x = \frac{1}{3} \ln |\frac{x}{x + 3}| + C$

Câu 9:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} + x - 2}$ là

A. $F (x) = \frac{1}{3} \ln |\frac{x - 1}{x + 2}| + C$

B. $F (x) = \frac{1}{3} \ln |\frac{x + 2}{x - 1}| + C$

C. $F (x) = \ln |\frac{x - 1}{x + 2}| + C$

D. $F (x) = \ln |x^{2} + x - 2| + C$

Xem đáp án

Chọn A

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2})$

Nên $\int f (x) d x = \frac{1}{3} (\ln |x - 1| - \ln |x + 2|) + C = F (x) = \frac{1}{3} \ln |\frac{x - 1}{x + 2}| + C$

Câu 10:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ là

A. $F (x) = - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + x + C$

B. $F (x) = - \frac{1}{x} - 2 \ln x + x + C$

C. $F (x) = \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + x + C$

D. $F (x) = - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| - x + C$

Xem đáp án

Chọn A

$f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2} = \frac{1 - 2 x + x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + 1$

Nên $\int f (x) d x = - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + x + C$

Câu 11:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sqrt{8 - x^{2}}}$ thoả mãn $F (2) = 0$ . Khi đó phương trình $F (x) = x$ có nghiệm là

A. x = 3

B. x = 1

C. x = -1

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = \sqrt{8 - x^{2}}$ $\Rightarrow t^{2} = 8 - x^{2}$ $\Rightarrow - t d t = x d x$

$\int \frac{x}{\sqrt{8 - x^{2}}} d x = - \int \frac{t d t}{t} = - t + C = - \sqrt{8 - x^{2}} + C$

Vì $F (2) = 0$ nên $- \sqrt{8 - 4} + C = 0$ suy ra C = 2.

Ta có phương trình $- \sqrt{8 - x^{2}} + 2 = x$

$\begin{array}{l} \sqrt{8 - x^{2}} - 2 - x \\ \Rightarrow 8 - x^{2} = {(2 - x)}^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 2 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3} \\ x = 1 + \sqrt{3} \end{matrix}$

Thử lại ta thấy $x = 1 - \sqrt{3}$ thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1 - \sqrt{3}$ .

Câu 12:

Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ và $F (2) = 1$ thì $F (3)$ bằng

A. 4

B. $\ln \frac{3}{2}$

C. $\ln 2 + 1$

D. 0

Xem đáp án

Chọn C

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \ln |x - 1| + C$

Vì $F (2) = 1$ nên C = 1.

Vậy $F (x) = \ln |x - 1| + 1$ , thay x = 3 ta được F(3) = ln2 + 1

Câu 13:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{\ln x}{x}$ thoả mãn $F (1) = \frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2} (e)$ là

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \sqrt{\ln^{2} x + 1}$ $\Rightarrow t^{2} = \ln^{2} x + 1$ $\Rightarrow t d t = \frac{\ln x}{x} d x$

$\int \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{\ln x}{x} d x = \int t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} + C = \frac{{(\sqrt{\ln^{2} x + 1})}^{3}}{3} + C$

Vì $F (1) = \frac{1}{3}$ nên $C = 0$

Vậy $F^{2} (e) = \frac{8}{9}$

Câu 14:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: $I = \int (x + 1) \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

A. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{7}}}{7} - \frac{5 \sqrt[3]{{(3 + 2 x)}^{4}}}{4}) + C$

B. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{7}}}{- 7} - \frac{5 \sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{4}}}{4}) + C$

C. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{7}}}{7} - \frac{5 \sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{4}}}{- 4}) + C$

D. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{7}}}{7} - \frac{5 \sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{4}}}{4}) + C$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = \sqrt[3]{3 - 2 x}$ $\Rightarrow t^{3} = 3 - 2 x \Leftrightarrow x = \frac{3 - t^{3}}{2}$ $\Rightarrow d x = - \frac{3}{2} t^{2} d t$

$\Rightarrow I = - \frac{3}{2} \int (\frac{3 - t^{3}}{2} + 1) t . t^{2} d t = - \frac{3}{4} \int (5 t^{3} - t^{6}) d t = - \frac{3}{4} (\frac{5 t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7}) + C = \frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{7}}}{7} - \frac{5 \sqrt[3]{{(3 - 2 x)}^{4}}}{4}) + C$

Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $J = \int \frac{x d x}{\sqrt[3]{2 x + 2}}$

A. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(- 2 x + 2)}^{5}}}{5} - \sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{2}}) + C$

B. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{5}}}{5} - \sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{2}}) + C$

C. $\frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{5}}}{5} + \sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{2}}) + C$

D. $- \frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{5}}}{5} - \sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{2}}) + C$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = \sqrt[3]{2 x + 2}$ $\Rightarrow t^{3} = 2 x + 2$ $\Rightarrow x = \frac{t^{3} - 2}{2}$ $\Rightarrow d x = \frac{3}{2} t^{2} d t$

Suy ra

$J = \int \frac{\frac{t^{3} - 2}{2} . \frac{3}{2} t^{2} d t}{t} = \frac{3}{4} \int (t^{4} - 2 t) d t = \frac{3}{4} (\frac{t^{5}}{5} - t^{2}) + C = \frac{3}{4} (\frac{\sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{5}}}{5} - \sqrt[3]{{(2 x + 2)}^{2}}) + C$

Câu 16:

Tìm 1 nguyên hàm của hàm số sau $K = \int \frac{x d x}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 x + 3}}$

A. $\frac{1}{- 6} (\frac{1}{5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} - \sqrt{{(x + 3)}^{3}})$

B. $\frac{1}{6} (\frac{1}{5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} + \sqrt{{(x + 3)}^{3}}) + 1$

C. $\frac{1}{6} (\frac{1}{5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} - \sqrt{{(x + 3)}^{3}}) - 10$

D. $\frac{1}{6} (\frac{1}{- 5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} - \sqrt{{(x + 3)}^{3}}) + 8$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

$K = \int \frac{x (\sqrt{5 x + 3} - \sqrt{x + 3}) d x}{5 x + 3 - x - 3} = \frac{1}{4} \int (\sqrt{5 x + 3} - \sqrt{x + 3}) d x = \frac{1}{6} (\frac{1}{5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} - \sqrt{{(x + 3)}^{3}}) + C$

Cho C = -10, ta được một nguyên hàm là

$\frac{1}{6} (\frac{1}{5} \sqrt{{(5 x + 3)}^{3}} - \sqrt{{(x + 3)}^{3}}) - 10$

Câu 17:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $I = \int \sin^{3} x \cos^{5} x d x$

A. $\frac{\sin^{8} x}{8} - \frac{\sin^{6} x}{6} + C$

B. $\frac{\sin^{8} x}{7} - \frac{\sin^{6} x}{5} + C$

C. $\frac{\sin^{8} x}{9} - \frac{\sin^{6} x}{7} + C$

D. $\frac{\sin^{8} x}{8} + \frac{\sin^{6} x}{6} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \cos x$ $\Rightarrow d t = - \sin x d x$

Ta có

$I = \int (1 - \cos^{2} x) \cos^{5} x \sin x d x = - \int (1 - t^{2}) t^{5} d t = \int (t^{7} - t^{5}) d t = \frac{t^{8}}{8} - \frac{t^{6}}{6} + C = \frac{\sin^{8} x}{8} - \frac{\sin^{6} x}{6} + C$

Câu 18:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $J = \int \frac{\cos x d x}{\cos^{3} x (\tan x + 2)^{3}}$

A. $J = \frac{1}{2} \frac{1}{{(\tan x + 2)}^{2}} + C$

B. $J = - \frac{1}{2} \frac{1}{{(\tan x + 2)}^{2}} + C$

C. $J = - \frac{1}{{(\tan x + 2)}^{2}} + C$

D. $J = - \frac{1}{2} \frac{1}{{(\tan 2 x + 2)}^{2}} + C$

Xem đáp án

Chọn B

$I = \int \frac{\cos x d x}{\cos^{3} x (\tan x + 2)^{3}} = \int \frac{d x}{\cos^{2} x (\tan x + 2)^{3}}$

Đặt $t = \tan x$ $\Rightarrow d t = \frac{1}{\cos^{2} x} d x$

I = $\int \frac{d t}{{(t + 2)}^{3}}$

Do đó $I = - \frac{1}{2} \frac{1}{{(\tan x + 2)}^{2}} + C$

Câu 19:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $\int \sqrt{x^{2} + 1} . x d x$

A. $\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

B. $\frac{1}{2} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

C. $\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

D. $\frac{1}{3} \sqrt{{(- x^{2} + 1)}^{3}} + C$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $u = x^{2} + 1 \Rightarrow d u = 2 x d x$ $\Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$

$\Rightarrow \int \sqrt{x^{2} + 1} . x d x = \int u^{\frac{1}{2}} . \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} . \frac{2}{3} + C = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

Câu 20:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $\int {(x^{3} + 5)}^{4} x^{2} d x$

A. $\frac{{(x^{3} + 5)}^{5}}{15} + C$

B. $x \frac{{(x^{3} + 5)}^{5}}{15} + C$

C. $\frac{x^{2} {(x^{3} + 5)}^{5}}{15} + C$

D. $\frac{{(x^{3} + 5)}^{5}}{15 x} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $u = x^{3} + 5 \Rightarrow d u = 3 x^{2} d x$ $\Rightarrow x^{2} d x = \frac{1}{3} d u$

$\Rightarrow \int {(x^{3} + 5)}^{4} x^{2} d x = \int \frac{1}{3} u^{4} d u = \frac{1}{3} \int u^{4} d u = \frac{1}{3} . \frac{u^{5}}{5} + C = \frac{u^{5}}{15} + C = \frac{{(x^{3} + 5)}^{5}}{15} + C$

Câu 21:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $\int \frac{x}{x^{2} + 5} d x$

A. $\frac{1}{2} \ln {(x^{2} + 5)}^{2} + C$

B. $2 \ln (x^{2} + 5) + C$

C. $\ln (x^{2} + 5) + C$

D. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 5) + C$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $u = x^{2} + 5 \Rightarrow d u = 2 x d x$ $\Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$

$\Rightarrow \int \frac{x}{x^{2} + 5} d x = \int \frac{1}{2} . \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 5) + C$

Câu 22:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $\int (x - 1) e^{x^{2} - 2 x + 3} d x$

A. $\frac{1}{2} e^{x^{2} - 2 x + 3} + C$

B. $- e^{x^{2} - 2 x + 3} + C$

C. $2 e^{x^{2} - 2 x + 3} + C$

D. $x e^{x^{2} - 2 x + 3} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $u = x^{2} - 2 x + 3 \Rightarrow d u = 2 (x - 1) d x$ $\Rightarrow (x - 1) d x = \frac{d u}{2}$

$\Rightarrow \int (x - 1) e^{x^{2} - 2 x + 3} d x = \int \frac{1}{2} e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2} - 2 x + 3} + C$

Câu 23:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau $\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^{2} x}} d x$

A. $- 3 \sqrt[3]{\cos x} + C$

B. $- 3 \sqrt[3]{\sin x} + C$

C. $- 2 \sqrt[3]{\cos x} + C$

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn A

$\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^{2} x}} d x = \int \frac{\sin x}{\cos^{\frac{2}{3}} x} d x = \int \sin x . \cos^{- \frac{2}{3}} x d x$

Đặt $u = \cos x \Rightarrow d u = - \sin x d x$

$\Rightarrow \int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^{2} x}} d x = - \int u^{- \frac{2}{3}} d u = - 3 u^{\frac{1}{3}} + C = - 3 \sqrt[3]{\cos x} + C$

Câu 24:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau $\int (1 + c o t^{2} 2 x) e^{c o t 2 x} d x$

A. $- \frac{1}{2} e^{c o t 2 x}$

B. $- \frac{1}{2} e^{c o t 2 x} + C$

C. $- \frac{1}{2} e^{c o t x} + C$

D. $- 2 e^{\cos 2 x} + C$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $u = co t 2 x \Rightarrow d u = - \frac{2}{\sin^{2} 2 x} d x$ $\Rightarrow d u = - 2 (1 + c o t^{2} 2 x) d x$

$\Rightarrow \int (1 + c o t^{2} 2 x) e^{c o t 2 x} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{c o t 2 x} + C$

Câu 25:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 \ln x - \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}}$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 \ln |x| + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} - 3 \ln |x| - \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int (x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}) d x = \int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x - 2 \int \sqrt{x} d x = \int x^{2} d x + 3 \int \frac{1}{x} d x - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{x^{3}}{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Câu 26:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{3 x + 1}$

A. $\int f (x) d x = (3 x + 1) \sqrt[3]{3 x + 1} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \sqrt[3]{3 x + 1} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} (3 x + 1) \sqrt[3]{3 x + 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \sqrt[3]{3 x + 1} + C$

Xem đáp án

Chọn C

$\int f (x) d x = \int \sqrt[3]{3 x + 1} d x = \int {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d (3 x + 1)}{3} = \frac{1}{3} \int {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} d (3 x + 1) = \frac{1}{3} \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C \Rightarrow \int f (x) d x = \frac{1}{4} (3 x + 1) \sqrt[3]{3 x + 1} + C$

Câu 27:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{14}{1 - x}$

A. $\int f (x) d x = \frac{5}{3} \sqrt[3]{x^{5}} + 14 \ln |1 - x| + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^{5}} + 14 \ln |1 - x| + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^{5}} - 14 \ln |1 - x| + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^{5}} + 14 \ln |1 - x| + C$

Xem đáp án

Chọn C

$\int (\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{14}{1 - x}) d x = \int (x^{\frac{2}{3}} + 14 . \frac{1}{1 - x}) d x = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^{5}} - 14 \ln |1 - x| + C$

Câu 28:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x - 1}$

A. $\int f (x) d x = - \ln |\sin x| + C$

B. $\int f (x) d x = \ln |\cos 2 x - 1| + C$

C. $\int f (x) d x = \ln |\sin 2 x| + C$

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D

$\int \frac{\sin 2 x d x}{\cos 2 x - 1} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{1 - 2 \sin^{2} x + 1} d x = \int \frac{2 \sin x . \cos x}{2 \cos^{2} x} d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = - \int \frac{d (\cos x)}{\cos x} = - \ln |\cos x| + C$

Câu 29:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x . \cos 2 x$

A. $\int f (x) d x = \frac{- 2 \cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \cos 3 x + \frac{1}{2} \sin x + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{\cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \cos 3 x - \frac{1}{2} \sin x + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int \sin x . \cos 2 x d x = \int (2 \cos^{2} x - 1) \sin x d x = - \int (2 \cos^{2} x - 1) d (\cos x) = \frac{- 2 \cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

Câu 30:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin x . \cos 3 x$

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{4} \cos 4 x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{4} \cos 4 x + C$

C. $\int f (x) d x = 2 \cos^{4} x + 3 \cos^{2} x + C$

D. $\int f (x) d x = 3 \cos^{4} x - 3 \cos^{2} x + C$

Xem đáp án

Chọn B

$\int 2 \sin x . \cos 3 x d x = \int (\sin 4 x - \sin 2 x) d x = \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{4} \cos 4 x + C$