30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P4)

Câu 1:

Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2} |x^{2} - 1| d x$ ta được kết quả :

A. 4

B. 3

C. 9

D. $\frac{9}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho $x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Bảng xét dấu của $x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; 2]$

$I = \int_{- 2}^{2} |x^{2} - 1| d x = \int_{- 2}^{- 1} (x^{2} - 1) d x + \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = (\frac{x^{3}}{3} - x) \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix} + (x - \frac{x^{3}}{3}) \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} + (\frac{x^{3}}{3} - x) \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = 4$

Câu 2:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{1} \frac{2 x + 9}{x + 3} d x$

A. 3 + 6ln3

B. 3ln2 - ln3

C. 6 - 2ln3

D. 2 + 6ln2 - 3ln3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

$I = \int_{0}^{1} \frac{2 x + 9}{x + 3} d x = \int_{0}^{1} (2 + \frac{3}{x + 3}) d x = (2 x + 3 \ln (x + 3)) |_{0}^{1} = 2 + 6 \ln 2 - 3 \ln 3$

Câu 3:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x^{2}} d x$

A. 0

B. 1

C. ln3+ln4

D. $\frac{- 1}{2} \ln (\frac{3}{4})$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

$I = \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d (4 - x^{2})}{4 - x^{2}} = \frac{- 1}{2} \ln |4 - x^{2}| |_{0}^{1} = \frac{- 1}{2} \ln (\frac{3}{4})$

Câu 4:

Tính $I = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 1}{2 x + 1} d x$

A. $\frac{11}{6} - \frac{1}{2} \ln 3$

B. $\ln 3 + 2$

C. 4-ln2

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức $P (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 1$ cho đa thức $Q (x) = 2 x + 1$ ta được $\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 1}{2 x + 1} = x^{2} + 3 x - \frac{1}{2 x + 1}$

Bước 2:

$I = \int_{0}^{1} (x^{2} + 3 x - \frac{1}{2 x + 1}) d x = (\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln |2 x + 1|) \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = \frac{11}{6} - \frac{1}{2} \ln 3$

Câu 5:

Tính tích phân sau $\int_{0}^{1} (x^{3} - 1) d x$

A. 1

B. -1/2

C. -3/4

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{0}^{1} (x^{3} - 1) d x = \int_{0}^{1} x^{3} d x - \int_{0}^{1} d x = (\frac{x^{4}}{4} - x) \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = \frac{- 3}{4}$

Câu 6:

Tính tích phân sau $\int_{1}^{2} \frac{x^{2} + 4 x}{x} d x$

A. 5

B. 5,5

C. 6

D. 6,5

Xem đáp án

Chọn B

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} + 4 x}{x} d x = \int_{1}^{2} (x + 4) d x = (\frac{x^{2}}{2} + 4 x) \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = (2 + 8) - (\frac{1}{2} + 4) = \frac{11}{2} = 5, 5$

Câu 7:

Tính tích phân sau $A = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

A. -1/3

B. 2

C. 1/3

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = 1 + x^{2} \Rightarrow d t = 2 x d x$ ;

Đổi cận: Khi x = 0 => t = 1; Khi x = 1 => t = 2

$A = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{t} d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = \frac{1}{3} t \sqrt{t} |_{1}^{2} = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

Câu 8:

Tính tích phân sau $B = \int_{0}^{1} x^{3} {(x^{4} - 1)}^{5} d x$

A. -1/12

B. -1/6

C. -1/24

D. -1

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = x^{4} - 1 \Rightarrow d t = 4 x^{3} d x$

Đổi cận: khi x = 0 => t = -1; x = 1 => t = 0

$B = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{4} t^{5} d t = \frac{1}{4} . \frac{t^{6}}{6} |_{- 1}^{0} = \frac{1}{24} t^{6} |_{- 1}^{0} = \frac{- 1}{24}$

Câu 9:

Tính tích phân sau $C = \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} d x$

A. 1

B. 2

C. ln(e-1)

D. ln(e+1)

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = e^{x} - 1 \Rightarrow d t = e^{x} d x$

Đổi cận: khi x = 1 => t = e-1; x = 2 => t = $e^{2} - 1$

$C = \int_{e - 1}^{e^{2} - 1} \frac{d t}{t} = \ln |t| |_{e - 1}^{e^{2} - 1} = \ln (e^{2} - 1) - \ln (e - 1) = \ln \frac{e^{2} - 1}{e - 1} = \ln (e + 1)$

Câu 10:

Tính tích phân sau $D = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} x d x$

A. 1

B. 2

C. 3

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = 4 - x^{2} \Rightarrow d t = - 2 x d x$ $\Rightarrow x d x = - \frac{d t}{2}$

Khi x = 0 => t = 4; x = 2 => t = 0

$D = \int_{4}^{0} (- \frac{1}{2} \sqrt{t}) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} t^{\frac{1}{2}} d t = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{3} (t \sqrt{t}) \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{3} (4.2 - 0) = \frac{8}{3}$

Câu 11:

Biết $\int_{0}^{3} \frac{- x + 8}{x^{2} + 5 x + 4} d x = a \ln b - b \ln a$ với $a, b > 0$ thì ${(\frac{b}{a})}^{2}$ bằng:

A. $\frac{7}{4}$

B. $\frac{16}{49}$

C. $\frac{49}{16}$

D. $\frac{1}{16}$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

$\frac{- x + 8}{x^{2} + 5 x + 4} = \frac{- x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = \frac{3}{x + 1} - \frac{4}{x + 4}$

$\int_{0}^{3} \frac{- x + 8}{x^{2} + 5 x + 4} d x = \int_{0}^{3} (\frac{3}{x + 1} - \frac{4}{x + 4}) d x = (3 \ln (x + 1) - 4 \ln (x + 4)) |_{0}^{3} = 7 \ln 4 - 4 \ln 7$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l} a = 7 \\ b = 4 \end{array} \Rightarrow {(\frac{b}{a})}^{2} = \frac{16}{49}$

Câu 12:

Biết $\int_{1}^{2} \frac{d x}{4 x^{2} - 4 x + 1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

B. $x^{2} - 8 x + 12 = 0$

C. $2 x^{2} - x - 1 = 0$

D. $x^{2} - 9 = 0$

Xem đáp án

Chọn B

$\int_{1}^{2} \frac{d x}{4 x^{2} - 4 x + 1} = \int_{1}^{2} \frac{d x}{{(2 x - 1)}^{2}} = - \frac{1}{2} . \frac{1}{2 x - 1} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = - \frac{1}{2} . (\frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 6 \end{cases} \Rightarrow a, b$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Câu 13:

Biết $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a, b > 0$ thì $a^{2} - b$ bằng

A. 13

B. 5

C. -4

D. -2

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

$\frac{x}{4 - x^{2}} = \frac{- x}{(x - 2) (x + 2)} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2})$

$I = \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) d x = - \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} \Rightarrow \{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = 3 \end{array} \Rightarrow a^{2} - b = - 2$

Câu 14:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} |x^{2} - 3 x + 2| d x$ ta được kết quả:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Cho $x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$ (thỏa mãn)

Bảng xét dấu của $x^{2} - 3 x + 2$ trên đoạn $[0; 2] \begin{matrix} \end{matrix}$

x	0 1 2
$x^{2} - 3 x + 2$	+ 0 - 0

Khi đó:

$I = \int_{0}^{1} (x^{2} - 3 x + 2) d x - \int_{1}^{2} (x^{2} - 3 x + 2) d x = (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x) \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} - (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x) \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = \frac{5}{6} - (- \frac{1}{6}) = 1$

Câu 15:

Tính tích phân sau $E = \int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

A. $2 (e^{2} - e)$

B. $e$

C. $e^{2} + e$

D. $2 e^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \sqrt{x} \Rightarrow d t = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ $\Rightarrow \frac{d x}{\sqrt{x}} = 2 d t$

Khi x=1 => t=1; x=4 => t=2

$\Rightarrow E = \int_{1}^{2} 2 . e^{t} d t = 2 e^{t} |_{1}^{2} = 2 (e^{2} - e)$

Câu 16:

Tính tích phân sau $F = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2 x}{1 + \sin^{2} x} d x$

A. 1

B. ln2

C. ln3

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = \sin^{2} x \Rightarrow d t = 2 \sin x \cos x d x = \sin 2 x d x$

Khi $x = 0 \Rightarrow \sin^{2} 0 = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = \frac{π}{2} \Rightarrow \sin^{2} \frac{π}{2} = 1 \Rightarrow t = 1$

$\Rightarrow F = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t} = \ln |1 + t| |_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

Câu 17:

Tính tích phân sau $G = \int_{0}^{\ln 2} (e^{x} - 1)^{2} . e^{x} d x$

A. 0,5

B. -1/4

C. 1/3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = e^{x} - 1 \Rightarrow d t = e^{x} d x$

Đổi cận: Khi x=0 => t=0; x=ln2 => t=1

$\Rightarrow G = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{3}$

Câu 18:

Biết $\int x e^{2 x} d x = a x e^{2 x} + b e^{2 x} + C$ , với $a, b \in ℚ$ . Tính tích $a . b$ .

A. $a . b = - \frac{1}{4}$

B. $a . b = \frac{1}{4}$

C. $a . b = - \frac{1}{8}$

D. $a . b = \frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = e^{2 x} d x \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{cases}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2} x . e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x . e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Suy ra $\{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow a . b = - \frac{1}{8}$

Câu 19:

Biết $\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 7} d x = a \ln \sqrt{12} + b \ln \sqrt{7}$ , với a, b là các số nguyên. Tổng a + b là :

A. -1

B. 1

C. 0

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 7} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d (x^{2} + 4 x + 7)}{x^{2} + 4 x + 7} = \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 4 x + 7| |_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 12 - \frac{1}{2} \ln 7 = \ln \sqrt{12} - \ln \sqrt{7} = a \ln \sqrt{12} + b \ln \sqrt{7}$

Do $a, b \in ℤ$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 1 \end{array} \Rightarrow a + b = 0$

Câu 20:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $\int_{a}^{b} |f (x)| d x = |\int_{a}^{b} f (x) d x|$

B. $\int_{- 1}^{1} {|x|}^{3} d x = |\int_{- 1}^{1} x^{3} d x|$

C. $\int_{- 2}^{3} |e^{x} (x + 1)| d x = |\int_{- 2}^{3} e^{x} (x + 1) d x|$

D. $\int_{- 1}^{2018} |x^{4} + x^{2} + 1| d x = \int_{- 1}^{2018} (x^{4} + x^{2} + 1) d x$

Xem đáp án

Chọn D

Vì $x^{4} + x^{2} + 1 > 0, \forall x \in [- 1; 2018]$

$\Rightarrow \int_{- 1}^{2018} |x^{4} + x^{2} + 1| d x = \int_{- 1}^{2018} (x^{4} + x^{2} + 1) d x$

Câu 21:

Tính tích phân sau: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \cos x - \sin 2 x) d x$

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \cos x - \sin 2 x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x = 2 \sin x \begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix} + \frac{1}{2} \cos 2 x \begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix} = 1$

Câu 22:

Tính tích phân sau: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 3 x . \cos x d x$

A. -1

B. 0

C. 0,5

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 3 x \cos x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\sin 4 x + \sin 2 x] d x = \frac{1}{2} [\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 4 x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x] = \frac{1}{2} [- \frac{1}{4} \cos 4 x - \frac{1}{2} \cos 2 x] \begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{2} [(- \frac{1}{4} \cos 2 π - \frac{1}{2} cosπ) - (- \frac{1}{4} \cos 0 - \frac{1}{2} \cos 0)] = \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Câu 23:

Tính tích phân sau: $I = \int_{\sqrt{3}}^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

A. 1+ln3-ln2

B. 2-ln3+ln2

C. 1+0,5(ln3-ln2)

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn C

$I = \int_{\sqrt{3}}^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 + x^{2}}$ $\Rightarrow x^{2} = t^{2} - 1$ $\Rightarrow x d x = t d t$

Đổi cận: $x = \sqrt{3} \Rightarrow t = 2$ ; $x = 2 \sqrt{2} \Rightarrow t = 3$

$I = \int_{2}^{3} \frac{t . t}{t^{2} - 1} d t = \int_{2}^{3} (1 + \frac{1}{(t - 1) (t + 1)}) d t = (t + \frac{1}{2} \ln |\frac{t - 1}{t + 1}|) \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} = 3 + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} - 2 - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} = 1 + 0, 5 (\ln 3 - \ln 2)$

Câu 24:

Tính tích phân sau $J = \int_{\sqrt{5}}^{2 \sqrt{3}} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} + 4}}$

A. ln4

B. ln5-ln3

C. ln15

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D

$J = \int_{\sqrt{5}}^{2 \sqrt{3}} \frac{x d x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}}$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 4}$ $\Rightarrow x^{2} = t^{2} - 4$ $\Rightarrow x d x = t d t$

Đổi cận: $x = \sqrt{5} \Rightarrow t = 3$ ; $x = 2 \sqrt{3} \Rightarrow t = 4$

$J = \int_{3}^{4} \frac{t d t}{(t^{2} - 4) t} = \int_{3}^{4} \frac{d t}{t^{2} - 4} = \frac{1}{4} \ln |\frac{t - 2}{t + 2}| \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} = \frac{1}{4} \ln \frac{5}{3}$

Câu 25:

Tính tích phân sau: $I = \int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{2 x} d x}{\sqrt{e^{x} - 1}}$

A. 16/5

B. 20/3

C. 32/9

D. 28/5

Xem đáp án

Chọn B

$I = \int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{x} . e^{x} d x}{\sqrt{e^{x} - 1}}$

Đặt $t = \sqrt{e^{x} - 1}$ $\Rightarrow e^{x} = t^{2} + 1$ $\Rightarrow e^{x} d x = 2 t . d t$

Đổi cận: $x = \ln 2 \Rightarrow t = 1$ ; $x = \ln 5 \Rightarrow t = 2$

$I = 2 \int_{1}^{2} \frac{(t^{2} + 1) t d t}{t} = 2 \int_{1}^{2} (t^{2} + 1) d t = 2 (\frac{t^{3}}{3} + t) \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = \frac{20}{3}$

Câu 26:

Tính tích phân sau: $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} x d x$

A. 4/15

B. 6/15

C. 8/15

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} x)}^{2} \sin x d x$

Đặt $t = c o s x \Rightarrow d t = - \sin x d x$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 1$ ; $x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 0$

$I = - \int_{1}^{0} {(1 - t^{2})}^{2} d t = \int_{0}^{1} {(1 - t^{2})}^{2} d t = \int_{0}^{1} (1 - 2 t^{2} + t^{4}) d t = \frac{8}{15}$

Câu 27:

Tính tích phân sau: $I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $x = \sin t$ ta có $d x = c o s t d t$ .

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{2}$

Vậy

$I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} |\cos t| d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos t d t = \sin t |_{0}^{\frac{π}{2}} = 1$

Câu 28:

Tính tích phân sau: $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

A. $\frac{π}{3}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{π}{5}$

D. $\frac{π}{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $x = \tan t$ , ta có $d x = (1 + \tan^{2} t) d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \to t = 0 \\ x = 1 \to t = \frac{π}{4} \end{cases}$

Vậy $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} d t = t |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{4}$

Câu 29:

Tính tích phân $\int_{0}^{1} x . e^{x} d x$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

Vậy $\int_{0}^{1} x . e^{x} d x = x . e^{x} |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$ $= e - e^{x} |_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$

Câu 30:

Tính tích phân sau: $A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x d x}{\cos^{2} x}$

A. $\frac{π}{4} - \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $- \frac{π}{4} + \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{π}{4} + \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $- \frac{π}{4} - \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \frac{d x}{\cos^{2} x} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \tan x \end{cases}$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x d x}{\cos^{2} x} = (x \tan x) |_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x d x = \frac{π}{4} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} d x = \frac{π}{4} + (\ln |\cos x|) |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{4} + (\ln \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln 1) = \frac{π}{4} + \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$