Đáp án đúng là: A

Công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right).\)

Đáp án đúng là: B

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right).\)

Do đó, công thức Bayes, còn có thể viết dưới dạng: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}.\)

Đáp án đúng là: C

Cho \(A,B\) là các biến cố của một phép thử \(T\). Biết rằng \(P\left( A \right) > 0\) và \(0 < P\left( B \right) < 1.\)

Ta có công thức \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,6.0,4}}{{0,3}} = 0,8.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) \( = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,8 = 0,2.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) \( = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65.\)

Đáp án đúng là: A

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875.\)

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối tiểu học”,

B là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THCS”,

C là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THPT”,

D là biến cố: “Học sinh tham gia hoạt động ngoại khóa”.

Theo đề, ta có: P(A) = 0,25; P(B) = 0,45; P(C) = 0,3;

P(D | A) = 0,3; P(D | B) = 0,5; P(D | C) = 0,4.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, có:

Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa của trường đó là:

P(D) = P(A).P(D | A) + P(B).P(D | B) + P(C).P(D | C)

= 0,25.0,3 + 0,45.0,5 + 0,3.0,4 = 0,42.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có:

Tỉ lệ khách ở khách sạn A là: P(A) = 0,2.

Tỉ lệ khách ở khách sạn B là: P(B) = 0,5.

Tỉ lệ khách ở khách sạn C là: P(C) = 0,3.

Gọi H là biến cố: “Phòng có điều hòa bị hỏng ở khách sạn”.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn A là: P(H | A) = 0,05.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn B là: P(H | B) = 0,04.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn C là: P(H | C) = 0,08.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng là:

P(H) = P(H | A).P(A) + P(H | B).P(B) + P(H | C).P(C)

= 0,05.0,2 + 0,04.0,5 + 0,08.0,3 = 0,054 = \(\frac{{27}}{{500}}.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Học sinh đã học bài”.

\(\overline A \) là biến cố: “Học sinh chưa học bài”.

B là biến cố: “Học sinh đạt điểm cao”.

Theo đề, ta có:

Xác suất học sinh đã học bài là: P(A) = 0,8.

Xác suất học sinh chưa học bài là: P(\(\overline A \)) = 1 – 0,8 = 0,2.

Xác suất học sinh đạt điểm cao nếu đã học bài là: P(B | A) = 0,9.

Xác suất học sinh đạt điểm cao nếu chưa học bài là: P(B | \(\overline A \)) = 0,2.

Xác suất học sinh làm bài được điểm cao là:

P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \)) = 0,9.0,8 + 0,2.0,2 = 0,76.

Áp dụng định lý Bayes, xác suất học sinh đã học bài đạt điểm cao là:

P(B | A) = \(\frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,9.0,8}}{{0,76}} \approx 0,9474.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Thí sinh được đánh giá bởi giám khảo A”.

B là biến cố: “Thí sinh được đánh giá bởi giám khảo B”.

C là biến cố: “Thí sinh được đánh giá bởi giám khảo C”.

D là biến cố: “Thí sinh được cho điểm cao”.

Theo đề bài, ta có:

Tỉ lệ thí sinh được giám khảo A đánh giá là: P(A) = 0,4.

Tỉ lệ thí sinh được giám khảo B đánh giá là: P(B) = 0,35.

Tỉ lệ thí sinh được giám khảo C đánh giá là: P(C) = 0,25.

Xác suất thí sinh được giám khảo A chấm điểm cao là: P(D |A) = 0,7.

Xác suất thí sinh được giám khảo B chấm điểm cao là: P(D | B) = 0,8.

Xác suất thí sinh được giám khảo C chấm điểm cao là: P(D | C) = 0,6.

Xác suất thí sinh được cho điểm cao là:

P(D) = P(A).P(D | A) + P(B).P(D | B) + P(C).P(D | C)

= 0,7.0,4 + 0,8.0,35 + 0,6.0,25

= 0,71.

Xác suất thí sinh được chấm bởi giám khảo A khi được cho điểm cao là:

P(A | D) = \(\frac{{P\left( {D|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0,7.0,4}}{{0,71}} \approx 0,3944.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Trái cây được chọn là táo”.

B là biến cố: “Trái cây được chọn là chuối”.

C là biến cố: “Trái cây được chọn là cam”.

D là biến cố: “Trái cây được chọn là quả hỏng”

Theo đề, ta có: P(A) = 0,5; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2.

Xác suất để táo bị hỏng là: P(D | A) = 0,05.

Xác suất để chuối bị hỏng là: P(D | B) = 0,1.

Xác suất để cam bị hỏng là: P(D | C) = 0,02.

Xác suất để chọn được một quả bị hoảng là:

P(D) = P(D | A).P(A) + P(D | B).P(B) + P(D | C).P(C)

= 0,5.0,05 + 0,1.0,3 + 0,2.0,02 = 0,059.

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A”.

B là biến cố “Phát tín hiệu B”.

T_A là biến cố: “Phát được tín hiệu A”.

T_B là biến cố: “Phát được tín hiệu B”.

Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,85; P(B) = 0,15; P(T_B | A) = \(\frac{1}{7}\); P(T_A | B) = \(\frac{1}{8}\).

Suy ra P(T_A | A) = 1 − \(\frac{1}{7}\) = \(\frac{6}{7}\).

Ta có: P(T_A) = P(A). P(T_A | A) + P(B). P(T_B | B)

= 0,85. \(\frac{6}{7}\) + 0,15. \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{{837}}{{1120}}.\)

Theo công thức Bayes, ta có:

P(A | T_A) = \( = \frac{{P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right)}}{{P\left( {{T_A}} \right)}} = \frac{{0,85.\frac{6}{7}}}{{\frac{{837}}{{1120}}}} = \frac{{272}}{{279}}.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Học sinh là nữ”,

\(\overline A \) là biến cố: “Học sinh là nam”,

B là biến cố: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,53; P(\(\overline A \)) = 1 – 0,53 = 0,47.

P(B | A) = 0,21; P(B | \(\overline A \)) = 0,17.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(B | A).P(A) + P(B | \(\overline A \)).P(\(\overline A \)) = 0,21.0,53 + 0,17.0,47 = 0,1912.

Đáp án đúng là: A

Số chiếc bi màu đỏ đã hết mực là 60%.50 = 30.

Số chiếc bút bi màu xanh đã hết mực là 50%.30 = 15.

Gọi A là biến cố “Chiếc bút bi được lấy ra có mực”

B là biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút bi đỏ”,

\(\overline B \) là biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút bi xanh”.

Theo đề bài, ta có: P(B) = \(\frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\); P(\(\overline B \)) = \(\frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\); P(A | B) = 60% = \(\frac{3}{5}\);

P(A | \(\overline B \)) = 100% − 50% = \(\frac{1}{2}.\)

Vậy P(A) = P(B).P(A | B) + P(\(\overline B \)).P(A | \(\overline B \)) = \(\frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}.\)

Ta có: A là biến cố “Chiếc bút bi được lấy ra có mực”

Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Chiếc bút bi được lấy ra hết mực”.

Do đó, P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{9}{{16}}\) = \(\frac{7}{{16}}.\)

Đáp án đúng là: C

a) Theo đề, ta có số viên bi màu đỏ có đánh số là 60%.50 = 30.

Vậy ý a đúng.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 30.(1 – 50%) = 15.

Vậy ý b đúng.

c) Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy ra có đánh số”,

B là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

\(\overline B \) là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Lúc này ta tính P(A) theo công thức: P(A) = P(B).P(A | B) + P(\(\overline B \)).P(A | \(\overline B \)).

Theo đề bài, ta có: P(B) = \(\frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\); P(\(\overline B \)) = \(\frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\); P(A | B) = 60% = \(\frac{3}{5}\);

P(A | \(\overline B \)) = 100% − 50% = 50% = \(\frac{1}{2}.\)

Vậy P(A) = P(B).P(A | B) + P(\(\overline B \)).P(A | \(\overline B \)) = \(\frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}.\)

Vậy ý c sai.

d) Có A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”

Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Viên bi được lấy ra không có đánh số”.

Ta có: P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{9}{{16}}\) = \(\frac{7}{{16}}.\)

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 ý đúng.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”.

B là biến cố: “Bạn bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, P(A) = \(\frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9}\); P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{5}{9} = \frac{4}{9}.\)

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Khi đó, P(B | A) = \(\frac{{16}}{{35}}.\)

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Khi đó, P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{{15}}{{35}}.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là

P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{5}{9}.\frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}.\)

Đáp án đúng là:

Gọi A là biến cố: “Học sinh là nữ”,

\(\overline A \) là biến cố: “Học sinh là nam”,

B là biến cố: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,52; P(\(\overline A \)) = 1 – 0,52 = 0,48.

P(B | A) = 0,18; P(B | \(\overline A \)) = 0,15.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(B | A).P(A) + P(B | \(\overline A \)).P(\(\overline A \)) = 0,18.0,52 + 0,15.0,48 = \(\frac{{207}}{{1250}}\) = 0,1656 .

Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức bayes như sau:

P(\(\overline A \) | B) = \(\frac{{0,15.0,48}}{{0,1656}} = \frac{{10}}{{23}}.\)

Đáp án đúng là: C

Gọi B₁ là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

B₂ là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”.

a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”.

Ta có: P(A) = P(B₁).P(A | B₁) + P(B₂).P(A | B₂)

Mà P(B₁) = \(\frac{1}{2}\), P(B₂) = \(\frac{1}{2}\), P(A | B₁) = \(\frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\), P(A | B₂) = \(\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\).

Vậy P(A) = \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}.\)

Vậy ý c đúng.

b) Ta có: P(A) = \(\frac{5}{8}\), suy ra P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}.\)

Vậy ý b đúng.

c) Ta có: P(B₂) = \(\frac{1}{2}\), P(A | B₂) = \(\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\), P(A) = \(\frac{5}{8}\).

Vậy P(B₂ | A) = \(\frac{{P\left( {{B_2}} \right).P\left( {A|{B_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,5.0,5}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{2}{5}.\)

Vậy ý c đúng.

d) Ta có: P(\(\overline A \)| B₁) = 1 – P(A | B₁) = 1 – \(\frac{3}{4}\)= \(\frac{1}{4}\).

Ta có: \(P\left( {{B_1}|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right).P\left( {\overline A |{B_1}} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,5.0,25}}{{\frac{3}{8}}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy ý d sai.

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố: “Người đó thực sự mắc bệnh”.

B là biến cố: “Người đó không mắc bệnh”.

C là biến cố: “Kết quả dương tính”.

Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,02; P(B) = 0,98; P(C | A) = 0,99; P(C | B) = 0,01 (Do 99% được chuẩn đoán đúng).

Xác suất để kết quả nhận được là dương tính là:

P(C) = P(C | A).P(A) + P(C | B).P(B)

= 0,99.0,02 + 0,01.0,98 = 0,0296.

Xác suất thực sự mắc bệnh khi kết quả dương tính là

P(A | C) = \(\frac{{P\left( {C|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,99.0,02}}{{0,0296}} \approx 0,669.\)