Phương pháp:

Hàm số lũy thừa $x^n$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ xác định với mọi x

Cách giải:

Hàm số $u=x^{2021}$ xác định với $x\in ℝ.$

Chọn C.

Phương pháp:

Hàm số lũy thừa $x^n$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{-}$ xác định với mọi $x\ne 0.$

Cách giải:

Để biểu thức ${\left(2x-1\right)}^{-2}$ có nghĩa khi $2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}.$

Chọn A.

Phương pháp:

Thể tích khối cầu bán kính R là $V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Cách giải:

 Khối cầu có bán kính $3cm\iff V=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi c{m}^3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Cách giải:

Ta có hình số 3 không phải hình đa diện vì tồn tại những cạnh chỉ là cạnh của 1 đa giác.

Chọn D.

Phương pháp:

Dựa vào bảng biến thiên để xác định điểm cực đại của hàm số: điểm mà tại đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm và điểm cực tiểu của hàm số: điểm mà tại đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.

Cách giải:

Dựa vào BBT ta thấy: Hàm số có 2 điểm cực trị.

Hàm số đạt cực đại bằng 5 tại $x=-1.$

Hàm số đạt cực tiểu bằng -6 tại $x=2.$

Vậy chỉ có đáp án B đúng.

Chọn B.

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số là:

$y=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$

Cách giải:

 TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}.$

Ta có: $y=\frac{x+1}{x-2}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}\Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=\frac{-3}{1}=-3.$

Với $x=1\Rightarrow \frac{1+1}{1-2}=-2.$

Phương pháp:

Dựa vào bảng xét dấu xác định các khoảng mà tại đó $f\text{'}\left(x\right)>0.$

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khi $f\text{'}\left(x\right)>0\iff -3<x<0.$ Vậy hàm số y= f(x) đồng biến trên $\left(-3;0\right).$ 

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng tọa độ của 1 vectơ: $\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)\iff \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.$

Cách giải:

Ta có:  $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k},\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(1;2;-3\right)\\ \overrightarrow{b}=\left(0;-3;4\right)\\ \overrightarrow{c}=\left(-1;-2;0\right)\end{array}\right.$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng tổ hợp.

Cách giải:

Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn là 2,4,6,8

Để rút 2 thẻ đều đánh số chẵn ta có $C_4^2$ cách

Chọn B.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm mũ: $\left(a^u\right)\text{'}=u\text{'}{a}^u\ln a.$

Cách giải:

$y=4^{2x}\Rightarrow y\text{'}=\left(2x\right)\text{'}{.4}^{2x}.\ln 4=2\ln {4.4}^{2x}.$

Chọn D.

Phương pháp:

Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b.$

Cách giải:

${\log }_3\left({\log }_{2}a\right)=0\iff {\log }_{2}a=1\iff a=2.$

Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$

Cách giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r\left(h+r\right).$

Chọn A.

Phương pháp:

Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}{\log }_{0,25}\left(x^2+3x\right)=-1\iff x^2+3x=0,{25}^{-1}\\ \iff x^2+3x-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=1\end{array}\right.\\ \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{1;-4\right\}.$

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng, chiều hướng của đồ thị để xác định công thức hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có chiều hướng xuống $\Rightarrow A<0\Rightarrow$ loại A,C

Đồ thị hàm số cắt trụng tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên loại đáp án B.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân $u_n=u_1{q}^{n-1}.$

Cách giải:

Ta có: $u_2=u_{1}q\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{1}=4.$

Chọn B.

Phương pháp:

Dựa vào TXĐ, chiều biến thiên của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số xác định trên $\left(0;+\infty \right)$ nên loại đáp án A và B

Lại có hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên loại đáp án C.

Chọn B.

Phương pháp:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”, sử dụng tổ hợp chọn 4 người

còn lại vào cùng bảng đó, và tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố.

Cách giải:

Chia 12 người vào 2 bảng A Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{12}^6.C_6^6=924.$

Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”.

Số cách chọn bảng cho A và B là 2 cách.

Khi đó cần chọn thêm 4 bạn nữa là $C_{10}^4$ cách.

$\Rightarrow n\left(A\right)=2.C_{10}^4=420.$

Vậy xác suất để Kim và Liên thi chung 1 bảng là $P\left(A\right)=\frac{420}{924}=\frac{5}{11}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Tìm nghiệm bội lẻ của phương trình f'(x)

Cách giải:

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff x^{2021}{\left(x-1\right)}^{2020}\left(x+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\left(nghiem\text{\hspace{0.17em}boi le}\right)\\ x=1\left(nghiem\text{ boi chan}\right)\\ x=-1\left(\text{nghiem boi le}\right)\end{array}\right.$.

Vậy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị $x=0,x=-1.$

Chọn C.

Phương pháp:

Giải bất phương trình logarit: $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}0<a<1\\ 0<f\left(x\right)<g\left(x\right)\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a>1\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{7}\right)}^{x^2-x+1}>{\left(\frac{5}{7}\right)}^{2x-1}\iff x^2-x+1<2x-1\\ \iff x^2-3x+2<0\iff 1<x<2\end{array}$ 

 Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(1;2\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right..$

Vậy $A=2b-a=2.2-1=3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Hàm số lũy thừa $y=x^n,n\notin \mathbb{Z}$ xác định khi x > 0

Cách giải:

Hàm số $f\left(x\right)={\left(x^3-3x^2+2\right)}^{\frac{1}{4}}$ xác định khi $x^3-3x^2+2>0\iff x\in \left(1-\sqrt{3};1\right)\cup \left(1+\sqrt{3};+\infty \right)$

Chọn D.

Phương pháp:

- Dựa vào đường tiệm cận của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN $y=\frac{a}{c},TCÐ\text{ x=-}\frac{d}{c}.$

Cách giải:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang nằm dưới trục hoành $\iff$ Loại đáp án B và D.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên loại đáp án C.

Chọn A.

Phương pháp:

- So sánh $S_{A\text{'}MB}$ và $S_{ABB\text{'}A\text{'}},$ từ đó so sánh $V_{C\text{'}.A\text{'}MB}$ và 

- Sử dụng: $V_{C\text{'}ABB\text{'}A\text{'}}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}},$ tính $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABC}.$

Cách giải:

                                                                           

Ta có: $S_{A\text{'}MB}=\frac{1}{2}{S}_{A\text{'}.AB}=\frac{1}{4}{S}_{ABB\text{'}A\text{'}}$ nên $V_{C.ABB\text{'}A\text{'}}.$

Mà $V_{C.ABB\text{'}A\text{'}}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ nên $V_{MA\text{'}BC\text{'}}=V_{C\text{'}.A\text{'}MB}=\frac{1}{6}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}.$

Vì tam giác ABC vuông và có $AB=AC=a$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại A suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^2}{2}.$

$\Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABC}=a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $V_{MA\text{'}BC\text{'}}=\frac{1}{6}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Dựa vào đường tiệm cận của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN $y=\frac{a}{c},TCÐ\text{ x=-}\frac{d}{c}.$

Cách giải:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang nằm dưới trục hoành $\iff$ Loại đáp án B và D.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên loại đáp án C.

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào khối đa diện, lập công thức tính tổng quát.

Cách giải:

Khối đa diện tạo bởi 7 hình lập phương kích cỡ bằng nhau.

Nhưng chỉ 6 hình lập phương lộ măt, mỗi hình lộ 5 mặt

Vậy khối đa diện có tổng 30 mặt.

Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng định lý Pytago.

Cách giải:

Gọi khoảng cách từ O đến $\left(\alpha \right)$ là d bán kính đường tròn giao tuyến là R

Áp dụng định lí Pytago ta có: $R^2+d^2=r^2\Rightarrow R=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{r^2-{\left(\frac{r}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}r}{3}.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b,{\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(xy\right),{\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$ (giả sử các biểu thức có nghĩa).

- So sánh logarit: ${\log }_{a}x={\log }_{b}y\iff x=y.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}\log x=2\log \left(2a\right)-\log b-4\log \sqrt[4]{c}\\ \iff \log x=\log {\left(2a\right)}^2-\log b^2-\log {\left(\sqrt[4]{c}\right)}^4\\ \iff \log x=\log \frac{{\left(2a\right)}^2}{b^{2}c}\iff x=\frac{4a^2}{b^{2}c}.\end{array}$ 

Chọn C.

Phương pháp:

- Đưa về cùng cơ số 3.

- Giải phương trình bậc hai đối với hàm số mũ.

Cách giải:

Ta có $9^{\frac{x}{2}}+9.{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+2}-4=0$

$\begin{array}{l}\iff 3^x+3^2{.3}^{-\frac{1}{2}\left(2x+2\right)}-4=0\\ \iff 3^x+3^{-x-1+2}-4=0\\ \iff 3^x+3^{-x+1}-4=0\\ \iff 3^x+\frac{3}{3^x}-4=0\\ \iff 3^{2x}-{4.3}^x+3=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{3}^x=3\\ 3^x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã chó là 1+ 0 = 1

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}.$

- Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ và kết luận.

Cách giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(-1;1;2\right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(-1;-1;3\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.\left(-1\right)+2.1+\left(-1\right).2=0$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A

Chọn C.

Phương pháp:

- Sử dụng công thức giải nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{day}^2+\frac{h^2}{4}}$ trong đó $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là chiều cao của hình chóp.

- Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$

Cách giải:

Gọi $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC áp dụng định lý sin trong tam giác $2R_{day}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sin {120}^0}=4a\Rightarrow R_{day}=2a.$ ta có:

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là $R=\sqrt{R_{day}^2+\frac{S{A}^2}{4}}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{19}}{2}.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Dựa vào giả thiết mặt phẳng đi qua trục của khối trụ, cắt khối trụ theo thiết diện là hình vuông có cạnh bằng

6R xác định chiều cao và bán kính đáy của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy R là $V=\pi R^{2}h.$

Cách giải:

Mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 6R nên hình trụ có bán kính đáy là r=3R và chiều cao h= 6R

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi .{\left(3R\right)}^2.6R=54\pi R^3.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tìm TXĐ $D=ℝ\backslash \left\{x_0\right\}.$

- Để hàm số đồng biến trên (a;b) thì $y\text{'}>0\forall x\in \left(a;b\right)\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}>0\\ x_0\notin \left(a;b\right)\end{array}\right..$

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2m\right\}.$

Ta có $y=\frac{mx-18}{x-2m}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-2m^2+18}{{\left(x-2m\right)}^2}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ thì $y\text{'}>0\forall x\in \left(2;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}18-2m^2>0\\ 2m\notin \left(2;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ 2m\le 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ m\le 1\end{array}\right.\iff -3<m\le 1$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1\right\}=S.$

Vậy tổng các phần tử của S bằng: $-2-1+0+1=-2.$

Chọn A