50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 23

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(- 2; 0)

.

B.

(- 1; 0)

C.

(2; 0)

.

D.

(0; + \infty)

Xem đáp án

Chọn B

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 2:

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5$ là

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Bảng xét dấu y':

Số điểm cực trị của hàm số y= x^3-3x^2+5 là (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu của y' ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Câu 3:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 5$ trên đoạn $[- 1; 2]$ là

A.3.

B.5

C.2

D.1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 8 x$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$

$y (- 1) = 2; y (0) = 5; y (\sqrt{2}) = 1; y (2) = 5$

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 2]$ là 5.

Câu 4:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ là:

A.

y = 2

.

B.

y = \frac{1}{2}

.

C.

x = \frac{- 1}{2}

D.

x = - 1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\underset{x \to \pm \infty}{\lim y} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{1}{2}$ .

Câu 5:

Đồ thị ở hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x - 3}{2 x - 2}$

B. $y = \frac{x}{x - 1}$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

D. $x = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn D

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 tiệm cận đứng x = 1 $\Rightarrow$ loại đáp án C.

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(- 1; 0), (0; - 1)$ nên loại đáp án A và B.

Câu 6:

Hình tứ diện đều có bao nhiêu cạnh?

A. 3

B. 6

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Hình tứ diện đều có bao nhiêu cạnh? (ảnh 1)

Từ hình vẽ ta có hình tứ diện đều có 6 cạnh.

Câu 7:

Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h =5 là

A.

V = 10

.

B.

V = 30

.

C.

V = 15

.

D.

V = 11

.

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức tính thể tích của khối lăng trụ $V = B . h = 6.5 = 30$

Câu 8:

Cho Cho x,y là hai số thực dương và m,n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?

A.

{(x^{n})}^{m} = {(x^{m})}^{n}

.

B.

x^{m^{3}} = {(x^{m})}^{3}

.

C. ${(x y)}^{n} = x^{n} . y^{n}$ .

D.

x^{m} . x^{n} = x^{m + n}

.

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng các tính chất của lũy thừa ta có các đáp án A, C, D đúng. Vậy đáp án B sai.

Câu 9:

Cho a,b,c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\log_{a} b = 6, \log_{c} b = 3$ . Khi đó $\log_{a} c$ bằng

A. 2.

B. 9.

C.

\frac{1}{2}

.

D. 18.

Xem đáp án

Chọn A

T a có: $\log_{b} c = \frac{1}{\log_{c} b} = \frac{1}{3}$

Nên $\log_{a} c = \log_{a} b . \log_{b} c = 6. \frac{1}{3} = 2$

Câu 10:

Hàm số $y = 2^{x^{2} + 3 x}$ có đạo hàm là

A.

(2 x + 3) {.2}^{x^{2} + 3 x} . \ln 2

.

B.

2^{x^{2} + 3 x} . \ln 2

.

C.

(x^{2} + 3 x) {.2}^{x^{2} + 3 x - 1}

.

D.

2^{x^{2} + 3 x} .

.

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm mũ $y = a^{u} \Rightarrow y' = u' . a^{u} . \ln a$

Ta có: $y = 2^{x^{2} + 3 x} \Rightarrow y' = (x^{2} + 3 x)' {.2}^{x^{2} + 3 x} . \ln 2 = (2 x + 3) {.2}^{x^{2} + 3 x} . \ln 2$

Câu 11:

Nghiệm phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là

A.

x = 1

.

B.

x = - 1

.

C.

x = 2

.

D.

x = 3

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $3^{1 - 2 x} = 27 \Leftrightarrow 3^{1 - 2 x} = 3^{3} \Leftrightarrow 1 - 2 x = 3 \Leftrightarrow x = - 1$ .

Câu 12:

Số nghiệm của phương trình $\log_{3} {(x - 1)}^{2} = 2$ là

A. 4.

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\log_{3} {(x - 1)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ {(x - 1)}^{2} = 3^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ [\begin{array}{l} x - 1 = 3 \\ x - 1 = - 3 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Số nghiệm của phương $\log_{3} {(x - 1)}^{2} = 2$ là 2.

Câu 13:

Tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{2} (x - 1) < 3$ là

A.

S = (1; 9)

.

B.

S = (1; 10)

.

C.

S = (- \infty; 10)

.

D.

S = (- \infty; 9)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\log_{2} (x - 1) < 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 < 2^{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (1; 9)$ .

Câu 14:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int e^{2 x} dx = 2 e^{2 x} + C$ .

B. $\int 2^{x} dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

C.

\int \cos 2 x dx = \frac{1}{2} \sin 2 x + C

.

D.

\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x + 1| + C (\forall x \neq - 1)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int e^{2 x} dx = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

Câu 15:

Nếu $\int f (x) dx = \frac{1}{x} + \ln |2 x| + C$ thì hàm số f(x) là

A. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2 x}$ .

B. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ .

C.

f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \ln (2 x)

.

D.

f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\int (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}) dx = \frac{1}{x} + \ln |x| + C = \frac{1}{x} + \ln |2 x| + C

Câu 16:

Cho miền hình chữ nhật ABCD quay xung quanh trục AB ta được

A. khối nón tròn xoay.

B. hình trụ tròn xoay.

C. khối trụ tròn xoay.

D. khối tròn xoay ghép bởi hai khối nón tròn xoay.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ $\vec{a} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{b} = (2; 1; - 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ .

A.

\vec{a} . \vec{b} = - 1

.

B.

\vec{a} \cdot \vec{b} = (- 1; 5; 3)

.

C.

\vec{a} . \vec{b} = 1

.

D.

\vec{a} \cdot \vec{b} = (2; - 1; - 2)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = 1.2 + (- 1) .1 + 2. (- 1) = - 1$ .

Câu 18:

Số các hạng tử trong khai triển nhị thức ${(2 x - 3)}^{4}$ là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 19:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 3; u_{5} = 19$ . Công sai của cấp số cộng $(u_{n})$ bằng

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $u_{5} = u_{1} + 4 d = 3 + 4 d = 19 \Rightarrow d = 4$ .

Câu 20:

Cho $α$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian. Khẳng định nào đúng?

A. $α$ phải là một góc nhọn.

B. $α$ không thể là một góc tù.

C.

α

có thể là một góc tù.

D.

α

phải là một góc vuông.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 21:

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ bên dưới. Hỏi khẳng định nào đúng ?

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị của hàm số f'(x) là đường (ảnh 1)

A. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 0) .$

B. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

C. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 3) .$

D. Hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- 3; - 2) .

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị của hàm số f'(x), ta có: $f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (- \infty; - 3) \cup (- 2; + \infty)$ . Vậy hàm số y= f(x) nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Câu 22:

Gọi A,B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x^{4} - x^{2} - 1.$ Diện tích $Δ A B C$ bằn

A.

\frac{1}{2} \cdot

B. 1

C. 2

D.

\frac{3}{2} .

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $y^{'} = 2 x^{3} - 2 x y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{3} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$ .

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A (0; - 1); B (1; - \frac{3}{2}); C (- 1; - \frac{3}{2})$ .

Tam giác ABC có điểm A thuộc trục tung, hai điểm B,C đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Trung điểm $H (0; - \frac{3}{2})$ của BC thuộc trục tung và là chân đường cao hạ từ A của tam giác, suy ra:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} |y_{A} - y_{H}| . |x_{B} - x_{C}| = \frac{1}{2} |- 1 + \frac{3}{2}| .2 = \frac{1}{2}$ .

Câu 23:

Biết hàm số $y = 4 \sin x - 3 \cos x + 2$ đạt giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Tổng $M + m$ là

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Để tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phải tồn tại giá trị của x sao cho $y = 4 \sin x - 3 \cos x + 2$ hay phương trình

$4 \sin x - 3 \cos x = y - 2$ có nghiệm

$\Leftrightarrow 4^{2} + {(- 3)}^{2} \geq {(y - 2)}^{2} \Leftrightarrow 25 \geq {(y - 2)}^{2} \Leftrightarrow - 5 \leq y - 2 \leq 5 \Leftrightarrow - 3 \leq y \leq 7$ .

Vậy $M = y_{\max} = 7, m = y_{\min} = - 3 \Rightarrow M + m = 4$ .

Câu 24:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{x - 1}$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số y= ax-b/ x-1 có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng? (ảnh 1)

A.

b < 0 < a

.

B.

0 < b < a

.

C.

b < a < 0

.

D.

0 < a < b

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $y^{'} = \frac{- a + b}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Từ đồ thị suy ra hàm số nghịch biến nên: $- a + b < 0 \Leftrightarrow a > b$ .

Mặt khác đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = - 1$ nên a < 0.

Vậy $b < a < 0$ .

Câu 25:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều và $A A^{'} = A B = a$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.

B.

\frac{a^{3}}{2}

.

C.

a^{3}

.

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

Xem đáp án

Chọn A

Đáy là tam giác đều cạnh a nên có diện tích $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , chiều cao AA'= a.

Vậy thể tích khối lăng trụ: $V_{A B C . A B C} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 26:

Đồ thị hàm số $y = a^{x}; y = \log_{b}^{} x$ được cho bởi hình vẽ bên.

A. $0 < a < 1 < b$ .

B. $0 < a < 1$ .và $0 < b < 1$

C.

0 < b < 1 < a

.

D.b > 1 và a > 1

Xem đáp án

Chọn C

Do đồ thị hàm $y = a^{x}$ đồng biến nên a > 1. Đồ thị hàm số $y = \log_{b}^{} x$ nghịch biến nên $0 < b < 1$ . Vậy $0 < b < 1 < a .$

Câu 27:

Số nghiệm của phương trình $\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (9 - x)$ là

A.2.

B. 3.

C. 0.

D.1.

Xem đáp án

Chọn D

Đkxđ: $- 1 < x < 9$ .

$\begin{array}{l} \ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (9 - x) \Leftrightarrow \ln (x + 1) (x + 3) = \ln (9 - x) \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x + 3) = 9 - x \Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 6 \end{array} . \end{array}$

So sánh điều kiện ta thấy x =1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{\sqrt{x + 2}} > 2^{- x}$ l

A.

(2; + \infty)

.

B.

[- 2; - 1) \cup (2; + \infty)

.

C.

(1; 2]

.

D.

[2; + \infty)

.

Xem đáp án

Tập nghiệm của bất phương trình (1/2) ^ căn bậc hai x+2 > 2^-x 1 (ảnh 1)

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = 3 \sqrt{2 + \sin x}$ . Tìm họ nguyên hàm $\int f' (3 x) d x$

A. $\int f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \sin 3 x} + C$ .

B. $\int f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \cos 3 x} + C$ .

C.

\int f' (3 x) d x = 9 \sqrt{2 + \sin 3 x} + C

.

D.

\int f' (3 x) d x = 3 \sqrt{2 + 3 \sin 3 x} + C

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\int f' (3 x) d x = \frac{1}{3} f (3 x) + C = \frac{1}{3} 3 \sqrt{2 + \sin 3 x} + C = \sqrt{2 + \sin 3 x} + C$ .

Vậy $\int f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \sin 3 x} + C .$

Câu 30:

Một khối cầu có đường kính 4cm thì có diện tích bằng

A.

\frac{256 π}{3} (c m^{2})

.

B.

16 π (c m^{2})

.

C.

64 π (c m^{2})

.

D.

\frac{32 π}{3} (c m^{2})

.

Xem đáp án

Chọn B

Gọi R là bán kính của mặt cầu.

Ta có: $2 R = 4 c m \Rightarrow R = 2 c m \Rightarrow S_{m c} = 4 π R^{2} = 4 π {.2}^{2} = 16 π (c m^{2}) .$

Vậy diện tích mặt cầu của khối cầu đã cho là

16 π (c m^{2}) .

Câu 31:

Cho hình nón có chiều cao h=2, bán kính đáy là $r = \sqrt{3}$ . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A.

2 π

.

B.

\sqrt{21} π

.

C.

7 \sqrt{3} π

.

D.

2 \sqrt{21} π

.

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình nón có chiều cao h=2, bán kính đáy là r=can bac hai 3. Diện tích xung quanh (ảnh 1)

Ta có $l^{2} = r^{2} + h^{2} = 3 + 4 = 7 \Rightarrow l = \sqrt{7}$ . Do đó

$S_{x q} = π r l = π . \sqrt{3} . \sqrt{7} = π \sqrt{21}$ .

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (- 1; 2; 1)$ . Tìm tọa độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua điểm B?

A.

A^{'} (3; 4; - 3)

.

B.

A^{'} (- 4; 3; 1)

.

C.

A^{'} (1; 3; 2)

.

D.

A^{'} (5; 0; 1)

.

Xem đáp án

Chọn B

Điểm A' đối xứng với điểm A qua điểm B nên B là trung điểm của đoạn AA'. Do đó

$\{\begin{cases} x_{A^{'}} = 2 x_{B} - x_{A} = - 4 \\ y_{A^{'}} = 2 y_{B} - y_{A} = 3 \\ z_{A^{'}} = 2 z_{B} - z_{A} = 1 \end{cases} \Rightarrow A^{'} (- 4; 3; 1)$ .

Câu 33:

Một lớp có 25 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách chọn 3 em học sinh trong đó có nhiều nhất 1 em nữ là:

A. 6545.

B. 5300.

C. 3425.

D. 1245.

Xem đáp án

Chọn B

Số cách chọn 1 nữ và 2 nam: $C_{10}^{1} . C_{25}^{2} = 10.300 = 3000$ .

Số cách chọn 3 nam: $C_{25}^{3} = 2300$ .

Số cách chọn 3 em học sinh trong đó có nhiều nhất em nữ là: $3000 + 2300 = 5300$ .

Câu 34:

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - x}{2 x - 1}$ .

A.

- 1

.

B. 0.

C.

- \infty

.

D.

- \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - x}{2 x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} - 1}{2 - \frac{1}{x}} = - 1$

Câu 35:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh $A B = a$ và $S A = 2 a$ . Tính $\tan$ của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

A.

\sqrt{3}

.

B.

\sqrt{7}

.

C.

\sqrt{5}

.

D.

\frac{\sqrt{5}}{2}

.

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB=a và SA= 2a. Tính tan của góc (ảnh 1)

Câu 36:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = 2^{x^{3} - x^{2} + m x + 1}$ đồng biến trên khoảng (1;2)

A.

m > - 8

.

B.

m > - 1

C.

m \leq - 8.

D.

m < 1

Xem đáp án

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y= 2^x^3- x^2+mx+1 (ảnh 1)

Câu 37:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x$ và f(0)=1. Số điểm cực tiểu của hàm số $g (x) = f^{3} (x)$ là

A.0 .

B. 1.

C. 2.

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Từ $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x \Rightarrow f (x) = x^{4} + x^{2} + C$ . Do $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = x^{4} + x^{2} + 1$ .

Ta có $g (x) = f^{3} (x) \Rightarrow g^{'} (x) = 3 f^{2} (x) . f^{'} (x) = 3 {(x^{4} + x^{2} + 1)}^{2} .2 x (2 x^{2} + 1)$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{4} + x^{2} + 1 = 0 \\ x = 0 \\ 2 x^{2} + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow x = 0$

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại x=0 nên hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu.

Câu 38:

Cho f(x) là hàm bậc 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Đồ thị hàm số $g (x) = \frac{x^{2} - 2}{f^{2} (x) + 3 f (x) - 4}$ có mấy đường tiệm cận đứng?

A. 2.

B. 3.

C.4.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $g (x) = \frac{x^{2} - 2}{f^{2} (x) + 3 f (x) - 4} = \frac{x^{2} - 2}{[f (x) - 1] [f (x) + 4]}$ .

Xét phương trình $f (x) = 1$ thu được nghiệm kép $x = - \sqrt{2}; x = \sqrt{2}$ .

Xét phương trình $f (x) = - 4$ có 2 nghiệm phân biệt $x = a; x = b$ .

Như vậy $g (x) = \frac{x^{2} - 2}{[f (x) - 1] [f (x) + 4]} = \frac{x^{2} - 2}{k {(x^{2} - 2)}^{2} [f (x) + 4]} = \frac{1}{k (x^{2} - 2) [f (x) + 4]} (k \in ℝ, k \neq 0)$ .

Khi đó đồ thị có 4 đường tiệm cận đứng: $x = - \sqrt{2}; x = \sqrt{2}; x = a; x = b$

Câu 39:

Cho hàm số y= f(x) và $y = g (x)$ có đồ thị tương ứng là hình 1 và hình 2 bên dưới:

Hình 1 Hình 2

Số nghiệm không âm của phương trình $| f (g (x)) - 3 | = 1$ là

A.11.

B.2.

C.4.

D.3.

Xem đáp án

Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) có đồ thị tương ứng là hình 1 và hình 2 bên dưới: (ảnh 2)

Câu 40:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng $60 °$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A.

V = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}

.

B.

V = 2 \sqrt{3} a^{3}

.

C. $V = \frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}$ .

D.

V = 2 \sqrt{6} a^{3}

.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa (ảnh 1)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa (ảnh 2)

Câu 41:

Xét bất phương trình $\log_{2}^{2} 2 x - 2 (m + 1) \log_{2} x - 2 < 0$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(\sqrt{2}; + \infty)$ .

A.

m \in (0; + \infty)

.

B.

m \in (- \frac{3}{4}; 0)

.

C.

m \in (- \frac{3}{4}; + \infty)

.

D.

m \in (- \infty; 0)

.

Xem đáp án

Xét bất phương trình log 2 2x- 2(m+1)log 2 x-2 < 0. Tìm tất cả các giá trị của (ảnh 1)

Câu 42:

Cho $F (x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ . Khi đó $\int f^{'} (x) . e^{x} d x$ bằng

A.

- x^{2} + 2 x + C

.

B.

- x^{2} + x + C

.

C.

2 x^{2} - 2 x + C

.

D.

- 2 x^{2} + 2 x + C

.

Xem đáp án

Cho F(x)= x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x). e^x. Khi đó f'(x).e^x dx bằng (ảnh 1)

Câu 43:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, biết $|\vec{u}| = 2, |\vec{v}| = 1$ và góc giữa hai véc tơ bằng $\frac{2 π}{3}$ . Tìm k để vecto $\vec{p} = k \vec{u} + \vec{v}$ vuông góc với vecto $\vec{q} = \vec{u} - \vec{v}$ .

A.

k = - \frac{2}{5}

.

B.

k = \frac{5}{2}

.

C.

k = 2

.

D.

k = \frac{2}{5}

.

Xem đáp án

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, biết |vecto u|= 2,|vecto v|=1 và góc giữa (ảnh 1)

Câu 44:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Lấy ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số được chọn chia hết cho 7 là.

A.

\frac{2}{3}

.

B.

\frac{1902}{5712}

.

C.

\frac{643}{4500}

.

D.

\frac{1607}{2250}

.

Xem đáp án

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Lấy ngẫu nhiên một số (ảnh 1)

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\hat{A B C} = 60^{0}$ . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CD và SA là

A.

\frac{a \sqrt{15}}{5}

.

B.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.

C.

\frac{a \sqrt{15}}{10}

.

D.

\frac{a \sqrt{3}}{4}

.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC= 60 độ (ảnh 1)

Câu 46:

Cho hàm số y= f(x), hàm số $f^{'} (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c (a, b, c \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y= f(x), hàm số f'(x)= x^3+ ax^2+bx+ c( a,b,c thuộc R) có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = f (f^{'} (x))$ có mấy khoảng đồng biến?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có :

$\{\begin{cases} {(- 1)}^{3} + a . {(- 1)}^{2} + b . (- 1) + c = 0 \\ 0^{3} + a {.0}^{2} + b .0 + c = 0 \\ 1^{3} + a {.1}^{2} + b .1 + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b + c = 1 \\ c = 0 \\ a + b + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = c = 0 \\ b = - 1 \end{cases}$ .

Khi đó $f^{'} (x) = x^{3} - x \Rightarrow {f^{'}}^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$

Ta có $g^{'} (x) = {[f (f^{'} (x))]}^{'} = {f^{'}}^{'} (x) . f^{'} (f^{'} (x)) \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {f^{'}}^{'} (x) = 0 \\ f^{'} (f^{'} (x)) = 0 \end{array}$ .

Xét ${f^{'}}^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ x = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$ .

Xét $f^{'} (f^{'} (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = - 1 \\ f^{'} (x) = 0 \\ f^{'} (x) = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{3} - x = - 1 \\ x^{3} - x = 0 \\ x^{3} - x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a, a < - 1 \\ x = - 1; x = 1; x = 0 \\ x = b, b > 1 \end{array}$ .

Với $x > b \Rightarrow {f^{'}}^{'} (x) > 0$ .

Ta có $\lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = + \infty \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} f^{'} (f^{'} (x)) = + \infty \Rightarrow \forall x \in (b; + \infty), f^{'} (f^{'} (x)) > 0$ .

Do đó $g^{'} (x) > 0, \forall x \in (b; + \infty)$ .

Các nghiệm của phương trình $g^{'} (x) = 0$ đều là các nghiệm đơn nên áp dụng quy tắc đan dấu, ta có bảng biến thiên như sau :

Cho hàm số y= f(x), hàm số f'(x)= x^3+ ax^2+bx+ c( a,b,c thuộc R) có đồ thị như hình vẽ (ảnh 2)

Vậy hàm số đã cho có 4 khoảng đồng biến.

Câu 47:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ:

Cho hàm số f(x)= ax^3+bx^2+cx+ d có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc (ảnh 1)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f (x)|$ trên $[0; 2]$ bằng

A. 8.

B. 14.

C. 20.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $f' (x) = k (x - 1) (x + 1) = k (x^{2} - 1)$ . Lại có $f' (0) = - 3 \Rightarrow k = 3$ .

Do đó $f' (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x + C$ .

(C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ dương khi hệ

phương trình sau có nghiệm x > 0: $\{\begin{cases} x^{3} - 3 x + C = 4 \\ 3 x^{2} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 2 \\ x = - 1 (L o a i) \end{cases} \lor \{\begin{cases} C = 6 \\ x = 1 (N h a n) \end{cases}$ .

Suy ra $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ .

Xét trên $[0; 2]$ , ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ . Mà $\{\begin{cases} f (0) = 6 \\ f (1) = 4 \\ f (2) = 8 \end{cases} \Rightarrow \max_{[0; 2]} f (x) = 8$ .

Câu 48:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. M,N lần lượt là trung điểm $A B, A C; P$ thuộc đoạn CC' sao cho $\frac{C P}{C C^{'}} = x .$ Tìm x để mặt phẳng $(M N P)$ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $\frac{1}{2}$ .

A.

\frac{8}{5}

.

B.

\frac{5}{8}

.

C.

\frac{4}{5}

.

D.

\frac{5}{4}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\{\begin{cases} P \in (M N P) \cap (B B' C' C) \\ M N / / B C \\ M N \subset (M N P) \\ B C \subset (B B' C' C) \end{cases} \Rightarrow (M N P) \cap (B B' C' C) = P T / / M N / / B C \Rightarrow \frac{B T}{B B'} = x \in [0; 1]$ .

Thiết diện tạo bởi (MNP) với khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là hình tứ giác MNPT.

Ta có $V_{T P M N C B} = V_{T . B C N M} + V_{N . T P C} (1)$ . Mà:

$V_{T . B C N M} = \frac{1}{3} S_{B N C M} . d (T; (B C N M)) = \frac{1}{3} (S_{A B C} - S_{A M N}) . d (T; (B C N M))$

$= \frac{1}{3} . (1 - \frac{1}{2} . \frac{1}{2}) S_{A B C} . x . d (B'; (A B C)) = \frac{x}{4} V_{A B C . A' B' C'}$

$V_{N . T P C} = \frac{1}{3} S_{T P C} . d (N; (B B' C' C)) = \frac{1}{3} (S_{B B' C' C} - S_{B T C} - S_{B' C' P T}) . \frac{1}{2} d (A; (B B' C' C))$

$= \frac{1}{3} (1 - \frac{x}{2} - (1 - x)) S_{B B' C' C} . \frac{1}{2} d (A; (B B' C' C)) = \frac{x}{4} V_{A . B C C' B'} = \frac{x}{4} . \frac{2}{3} V_{A B C . A' B' C'} = \frac{x}{6} V_{A B C . A' B' C'}$ .

Thay vào (1), ta được $V_{T P M N C B} = (\frac{x}{4} + \frac{x}{6}) V_{A B C . A' B' C'} = \frac{5 x}{12} V_{A B C . A' B' C'}$ .

Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} V_{T P M N C B} = \frac{1}{3} V_{A B C . A' B' C'} \\ V_{T P M N C B} = \frac{2}{3} V_{A B C . A' B' C'} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{5 x}{12} = \frac{1}{3} \\ \frac{5 x}{12} = \frac{2}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{4}{5} (N h a n) \\ x = \frac{8}{4} (L o a i) \end{array}$

Vậy $x = \frac{4}{5}$ thoả YCBT.

Câu 49:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với $|m| < 2021$ ) để phương trình $2^{x - 1} = \log_{4} (x + 2 m) + m$ có nghiệm?

A. 2020.

B. 0.

C. 4041.

D. 2021.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $2^{x - 1} = \log_{4} (x + 2 m) + m \Leftrightarrow 2^{x} = \log_{2} (x + 2 m) + 2 m$ .

Đặt $a = \log_{2} (x + 2 m) \Rightarrow 2 m = 2^{a} - x$ , phương trình đã cho trở thành

$2^{x} = a + 2^{a} - x \Leftrightarrow 2^{x} + x = 2^{a} + a$ (1)

Xét hàm số $f (t) = 2^{t} + t$ , có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ$ suy ra f(t) đồng biến trên R.

Khi đó $(1) \Leftrightarrow f (x) = f (a) \Leftrightarrow x = a$ , suy ra $x = \log_{2} (x + 2 m) \Leftrightarrow 2 m = 2^{x} - x$ (2)

Xét hàm số $g (x) = 2^{x} - x$ , ta có $g^{'} (x) = 2^{x} \ln 2 - 1$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2^{x} \ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \log_{2} \ln 2 = x_{0}$

Bảng biến thiên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với |m| < 2021) (ảnh 1)

Do đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi $2 m \geq g (x_{0}) = \frac{1}{\ln 2} + \log_{2} \ln 2 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \log_{2} \ln 2 \approx 0, 46$

Do $|m| < 2021, m \in ℤ$ nên $m \in \{1; 2; ...; 2020\}$ , do đó có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{2}$ . Gọi H,K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên $S B, S C, S D$ . Xét khối nón (N) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích của khối nón (N).

A.

\frac{π a^{3}}{12}

.

B.

\frac{π a^{3}}{6}

.

C.

\frac{π a^{3}}{8}

.

D. $\frac{π a^{3}}{24}$ .

Xem đáp án