50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 27

Câu 1:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 8$ và công bội $q = 3$ . Giá trị của $u_{2}$ bằng

A. 24.

B. 11.

C.

\frac{8}{3}

.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $u_{2} = u_{1} q = 24$ .

Câu 2:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 3 a^{2}$ và chiều cao h=6a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

9 a^{3}

.

B.

6 a^{3}

.

C.

18 a^{3}

.

D.

3 a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} B h = 6 a^{3}$ .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x - 4 y + 10 z - 4 = 0$ . Khi đó (S) có tâm I và bán kính R lần lượt là

A. $I (- 4; 2; - 5); R = 7$ .

B. $I (- 4; 2; - 5); R = 4$ .

C.

I (- 4; 2; - 5); R = 49

.

D.

I (4; - 2; 5); R = 7

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $a = - 4; b = 2; c = - 5; d = - 4$ .

Vậy (S) có tâm $I (- 4; 2; - 5);$ bán kính $R = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 2^{2} + {(- 5)}^{2} - (- 4)} = \sqrt{49} = 7$ .

Câu 4:

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f (x) = m - 2$ có 4 nghiệm phân biệt.

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương (ảnh 1)

A. $- 4 \leq m \leq - 3$ .

B.

- 4 < m < - 3

.

C.

- 2 < m < - 1

.

D.

- 2 \leq m \leq - 1

.

Xem đáp án

Chọn C

Số nghiệm phương trình $f (x) = m - 2$ là số giao điểm của hai đồ thị: $\{\begin{cases} y = f (x) \\ y = m - 2 \end{cases}$ .

Vậy để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ta có: $- 4 < m - 2 < - 3 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1$ .

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a \sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm cạnh AD , đường thẳng SD tạo với đáy mặt phẳng một góc $60 °$ . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A.

\frac{3 a^{3}}{4}

.

B.

\frac{3 a^{3}}{2}

.

C.

\frac{a^{3}}{4}

.

D.

\frac{a^{3}}{8}

.

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a căn bậc hai 3, hình chiếu vuông (ảnh 1)

Ta có:

(S D; (A B C D)) = \hat{S D H} = 60 ° \Rightarrow S H = H D . \tan 60 ° = \frac{3 a}{2}

.

Thể tích của khối chóp :

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{3 a}{2} .3 a^{2} = \frac{3 a^{3}}{2}

.

Câu 6:

Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng hai lần bán kính đáy và thể tích khối trụ đó là $54 π$ .

A.

h = \frac{5}{2}

.

B.

h = 6

.

C.

h = 2

.

D.

h = 4

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $V = B . h = π R^{2} h = 2 π R^{3} = 54 π \Leftrightarrow R = 3 \Rightarrow h = 6$ .

Câu 7:

Tìm các số thực a,b để hàm số $y = \frac{a x - 1}{x + b}$ có đồ thị như hình bên?

Tìm các số thực a,b để hàm số y= ax-1/ x+ b có đồ thị như hình bên? (ảnh 1)

A.

a = - 1; b = 1

.

B.

a = 1; b = 1

.

C.

a = 1; b = - 1

.

D.

a = - 1; b = - 1

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y = \frac{a x - 1}{x + b}$ $\Rightarrow$ Tiệm cận đứng: $x = - b$ và tiệm cận ngang y=a.

Dựa vào đồ thị, tiệm cận đứng: $x = - 1$ và tiệm cận ngang y = 1 .

Từ đó suy ra a = b=1.

Câu 8:

Tập nghiệm của bất phương trình ${12.25}^{x} - 5^{x + 2} + 12 \geq 0$ là

A. $(- \infty; \log_{5} \frac{3}{4}] \cup [\log_{5} \frac{4}{3}; + \infty)$ .

B. $[\log_{5} \frac{3}{4}; \log_{5} \frac{4}{3}]$ .

C.

(- \infty; \frac{3}{4}] \cup [\frac{4}{3}; + \infty)

.

D.

[\frac{3}{4}; \frac{4}{3}]

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: ${12.25}^{x} - 5^{x + 2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12. {(5^{x})}^{2} - {25.5}^{x} + 12 \geq 0 (1)$ .

Đặt $t = 5^{x} (t > 0)$ .

Khi đó bất phương trình (1) trở thành:

$12. t^{2} - 25. t + 12 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t \leq \frac{3}{4} \\ t \geq \frac{4}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 5^{x} \leq \frac{3}{4} \\ 5^{x} \geq \frac{4}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq \log_{5} \frac{3}{4} \\ x \geq \log_{5} \frac{4}{3} \end{array}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T = (- \infty; \log_{5} \frac{3}{4}] \cup [\log_{5} \frac{4}{3}; + \infty)$ .

Câu 9:

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\vec{u} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j}$ và $\vec{v} = 5 \vec{i} + 2 \vec{j} - 2 \vec{k}$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{a} = 3 \vec{u} - \vec{v}$ .

A.

\vec{a} = (14; 14; 2)

.

B.

\vec{a} = (5; 2; 1)

.

C.

\vec{a} = (4; 10; 2)

.

D.

\vec{a} = (4; 10; - 2)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\vec{u} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} \Rightarrow \vec{u} = (3; 4; 0) \Rightarrow 3 \vec{u} = (9; 12; 0)$ .

$\vec{v} = 5 \vec{i} + 2 \vec{j} - 2 \vec{k} \Rightarrow \vec{v} = (5; 2; - 2) \Rightarrow - \vec{v} = (- 5; - 2; 2)$ .

$\Rightarrow \vec{a} = 3 \vec{u} - \vec{v} = (4; 10; 2)$ .

Câu 10:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích của khối nón đã cho là

A.

π .8 \sqrt{2} a^{3}

.

B.

π . 3 \sqrt{2} a^{3}

.

C.

\frac{2 \sqrt{2} π a^{3}}{3}

.

D.

π .2 \sqrt{2} a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng (ảnh 1)

Vì góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ nên ta có $r = h = a \sqrt{2}$ .

Ta có thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} π . {(a \sqrt{2})}^{2} . a \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2} π a^{3}}{3}$ . Vậy ta chọn phương án C.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\vec{a} = (4; m; 2)$ và vectơ $\vec{b} = (m - 1; 2; 5)$ . Tìm m để $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

A. $m = - 2$ .

B. $m = - 3$ .

C.

m = - 1

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án

Chọn C

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow 4 (m - 1) + 2 m + 10 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ . Vậy ta chọn phương án C.

Câu 12:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y = x^{2}; y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$ và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành.

A.

\frac{7 π}{5}

.

B.

\frac{6 π}{5}

.

C.

\frac{8 π}{5}

.

D.

π

.

Xem đáp án

Chọn B

Vẽ các đồ thị ra mặt phẳng toạ độ Oxy ta được

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y= x^2; y= -1/3x + 4/3 và trục hoành (ảnh 1)

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V = π \int_{0}^{1} x^{4} d x + π \int_{1}^{4} {(- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3})}^{2} d x = \frac{6 π}{5}$ . Vậy ta chọn phương án B.

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $2^{x + 1} = 8$ là

A.

x = 3

.

B.

x = 2

.

C.

x = 1

.

D.

x = 4

.

Xem đáp án

Chọn B

Pt $2^{x + 1} = 8 \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{3} \Leftrightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 4; - 5), B (2; 3; - 6)$ và $C (4; 4; - 5)$ . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

A.

H (\frac{5}{7}; 4; - 5)

.

B.

H (1; 4; - 5)

.

C.

H (2; 3; - 6)

.

D.

H (\frac{7}{3}; \frac{11}{3}; - \frac{16}{3})

.

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;4;-5), B( 2;3;-6) và C(4;4;-5) (ảnh 1)

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (- 4; 6; 2)$ . Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của A trên các trục $O x, O y$ và Oz. Tính diện tích S của tam giác MNP.

A.

S = 28

.

B.

S = \frac{49}{2}

.

C.

S = 7

.

D.

S = 14

.

Xem đáp án

Chọn D

Theo đề bài ta có: $M (- 4; 0; 0), N (0; 6; 0)$ và $N (0; 0; 2)$ .

$[\vec{M N}, \vec{M P}] = (12; - 8; - 24)$

Diện tích của tam giác MNP là $S = \frac{1}{2} |[\vec{M P}, \vec{M N}]| = \frac{1}{2} \sqrt{12^{2} + {(- 8)}^{2} + {(- 24)}^{2}} = 14$ .

Vậy S = 14.

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1 (a \neq 0)$ có bảng biến thiên dưới đây

Cho hàm số y= f(x) = ax^3+ bx^2+ cx+1 ( a khác 0) có bảng biến thiên dưới đây (ảnh 1)

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Cho hàm số y= f(x) = ax^3+ bx^2+ cx+1 ( a khác 0) có bảng biến thiên dưới đây (ảnh 2)

Câu 17:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = x {(x - 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên R và có đạo hàm f'(x) = x( x-1) ^3( x+ 2)^2 (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 18:

Cho hình trụ có bán kính bằng 3a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng $a \sqrt{5}$ , ta được một thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

A.

π 2 \sqrt{2} a^{3}

.

B.

12 π a^{3}

.

C.

36 π a^{3}

.

D.

\frac{2 \sqrt{2} π}{3} a^{3}

.

Xem đáp án

Cho hình trụ có bán kính bằng 3a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song với trục của (ảnh 1)

Câu 19:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số

được chọn có đúng bốn chữ số lẻ và chữ số 0 có hai chữ số kề nó là chữ số lẻ.

A. $\frac{2}{189}$ .

B. $\frac{21}{200}$ .

C. $\frac{20}{189}$ .

D. $\frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên (ảnh 1)

Câu 20:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A.

y = \frac{x - 2}{x - 1}

.

B.

y = - x^{3} - 3 x

.

C.

y = \frac{x + 1}{x + 3}

.

D.

y = x^{3} + 3 x

.

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số y= f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ$

Loại 2 đáp án A và C vì các hàm số ở đó có tập xác định không phải là khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Loại đáp án B vì hàm số có hệ số $a < 0$ .

Vậy chọn hàm số $y = x^{3} + 3 x$ .

Câu 21:

Lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

A. 15.

B. 10.

C. 20.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn A

Hình lăng trụ ngũ giác có 5 cạnh bên và 10 cạnh đáy, suy ra có tất cả 15 cạnh.

Lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh? (ảnh 1)

Câu 22:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $ℝ$ ?

A.

y = {(\frac{2}{π})}^{x}

.

B.

y = 0, 5^{- 1}

.

C.

y = x^{3}

.

D.

y = \log_{\frac{1}{3}} x

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $0 < \frac{2}{π} < 1,$ suy ra hàm số $y = {(\frac{2}{π})}^{x}$ nghịch biến trên $ℝ .$

Câu 23:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 5$ .

A.

x^{4} + 5 x + C

.

B.

12 x + C

.

C.

\frac{x^{4}}{4} + 5 x + C

.

D.

x^{4} + 2

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\int f (x) d x = \int (4 x^{3} + 5) d x = x^{4} + 5 x + C$ .

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). $S A = \sqrt{7}, A B = 3, B C = 3 .$ Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D.

\frac{5}{2}

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = 2 x + s inx + c os 5x$ . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn $F (0) = - 2$

A. $x^{2} - \cos x + \frac{1}{5} \sin 5 x - 1.$

B. $x^{2} + c o s x - \frac{1}{5} s i n 5 x + 2.$

C.

x^{2} + c o s x - \frac{1}{5} s i n 5 x - 2.

D.

x^{2} - \cos x + \frac{1}{5} \sin 5 x + 1.

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) = 2x+ sin x+ cos 5x. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) (ảnh 1)

Câu 26:

Tập giá trị của hàm số $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}$

A.

T = (2; 4) .

B.

T = [2; 2 \sqrt{2}] .

C.

T = [2; 4] .

D.

T = [2 \sqrt{2}; 4] .

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định $D = [- 1; 3]$ .

Ta có: $y' = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}} .$

$\begin{array}{l} y' = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}} = 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \sqrt{3 - x} \\ \Leftrightarrow x + 1 = 3 - x \\ \Leftrightarrow x = 1 \in [- 1; 3] . \end{array}$

Khi đó: $y (- 1) = 2; y (1) = 2 \sqrt{2}; y (3) = 2$ .

Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [2; 2 \sqrt{2}]$ .

Câu 27:

Cấp số cộng $(u_{n})$ thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{4} = 7 \\ u_{4} + u_{6} = 18 \end{cases}$ có công sai là

A.

d = - 2.

B.

d = 2 .

C.

d = 6 .

D.

d = 5 .

Xem đáp án

Chọn B

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d .$

Ta có: $\{\begin{cases} u_{4} = 7 \\ u_{4} + u_{6} = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{4} = 7 \\ u_{6} = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = 7 \\ u_{1} + 5 d = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 2 \end{cases} .$

Vậy công sai d = 2

Câu 28:

Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Xác xuất để ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm là

A.

\frac{8}{36}

.

B.

\frac{11}{36}

.

C.

\frac{12}{36}

.

D.

\frac{6}{36}

Xem đáp án

Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Xác xuất để ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm là (ảnh 1)

Câu 29:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 x^{2} + x$ , trục hoành Ox và các đường thẳng $x = 1; x = 2$

A.

\frac{19}{3}

.

B.

\frac{37}{6}

.

C.

\frac{12}{36}

.

D. 6

Xem đáp án

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 2x^2+ x, trục (ảnh 1)

Câu 30:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu khẳng định sai (ảnh 1)

I. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận II. Hàm số có cực tiểu tại

x = 2

III. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng từ

(- \infty; 1), (1; + \infty)

IV. Hàm số xác định trên R

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4

Xem đáp án

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu khẳng định sai (ảnh 2)

Câu 31:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = |\frac{x + 2}{x - 1}|$ là :

A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} |\frac{x + 2}{x - 1}| = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x + 2}{x - 1}) = + \infty \\ \lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} |\frac{x + 2}{x - 1}| = \lim_{x \to 1^{-}} (\frac{x + 2}{1 - x}) = + \infty \end{array}\} \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Câu 32:

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (- 4; 2; - 3)$ . Tìm tọa độ N đối xứng với M qua trục Oy .

A.

N (- 4; - 2; - 3)

.

B.

N (4; 2; 3)

.

C.

N (- 4; 2; 3)

.

D.

N (0; 2; 0)

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có : Điểm đối xứng của $A (a; b; c)$ qua trục Oy là điểm $A^{'} (- a; b; - c)$ .

Suy ra điểm đối xứng của $M (- 4; 2; - 3)$ qua trục Oy là N(4;2;3) .

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 12, \int_{0}^{2} f (x) d x = 7$ . Tính $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

A. -19.

B. 19.

C. -5.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x \Rightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 7 - 12 = - 5

Câu 34:

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ thoả mãn $|\vec{u}| = 3; |\vec{v}| = 4; (\vec{u}; \vec{v}) = 60^{0}$ . Tính độ dài vectơ $\vec{u} + 2 \vec{v}$

A.

\sqrt{97}

.

B. 8.

C. 7.

D.

4 \sqrt{6}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có : $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v}) = 3.4. \frac{1}{2} = 6$ .

\begin{array}{l} {(|\vec{u} + 2 \vec{v}|)}^{2} = {|\vec{u}|}^{2} + 4 \vec{u} . \vec{v} + 4 {|\vec{v}|}^{2} = 9 + 24 + 64 = 97. \\ \Rightarrow |\vec{u} + 2 \vec{v}| = \sqrt{97} . \end{array}

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCcó $S A ⊥ (A B C)$ có đáy ABC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $(S A B) ⊥ (A B C)$ .

B. Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó $\overset{⏜}{A H S}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) .

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\overset{⏜}{A C B}$ .

D.

(S A C) ⊥ (A B C)

.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCcó SA vuong goc (ABC) có đáy ABC là tam giác đều. Khẳng định (ảnh 1)

Câu 36:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hàm số y=ax^3+ bx^2+ cx+ d có đồ thị như hình bên. Trong các khẳng (ảnh 1)

A.

\{\begin{cases} a < 0 \\ b^{2} - 3 a c < 0 \end{cases}

B.

\{\begin{cases} a < 0 \\ b^{2} - 3 a c > 0 \end{cases}

C.

\{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c < 0 \end{cases}

D.

\{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c < 0 \end{cases}

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số $\lim_{x \to - \infty} y = - \infty \Rightarrow a > 0; y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Hàm số có hai cực trị nên

y' = 0

có hai nghiệm phân biệt

\Rightarrow Δ = b^{2} - 3 a c > 0

Câu 37:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ là $f' (x) = (x - 1) (x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 2021]$ để hàm số $y = f (x^{2} + 3 x - m)$ đồng biến trên khoảng (0;2) ?

A. 2016.

B. 2019.

C. 2018.

D. 2017.

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là f'(x)= (x-1) ( x+ 3). Có bao nhiêu giá (ảnh 1)

Câu 38:

Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện $2 f (x) + f (1 - x) = x^{2}$ , $\forall x \in ℝ$ . Biết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

A.

\frac{1}{6}

.

B.

\frac{3}{2}

.

C.

\frac{1}{3}

.

D.

\frac{2}{3}

.

Xem đáp án

Chọn A

Thay x bởi 1-x vào phương trình $2 f (x) + f (1 - x) = x^{2}$ ta được $2 f (1 - x) + f (x) = {(1 - x)}^{2}$ .

Suy ra

$2 [2 f (x) + f (1 - x)] - [2 f (1 - x) + f (x)] = 2 x^{2} - {(1 - x)}^{2} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{3} (x^{2} + 2 x - 1) .$

Khi đó $f^{'} (x) = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ . Với $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = f (1) = \frac{2}{3}; f^{'} (x_{0}) = f^{'} (1) = \frac{4}{3} .$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x=1 là

$(Δ) : y = \frac{4}{3} (x - 1) + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} x - \frac{2}{3} .$

Tiếp tuyến cắt Ox tại điểm $A (\frac{1}{2}; 0)$ và Oy tại $B (0; - \frac{2}{3})$ , suy ra $O A = \frac{1}{2}; O B = \frac{2}{3} .$

Diện tích tam giác đó là

S_{△ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{6} .

Câu 39:

Cho hàm số bậc ba y= f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

$8^{f (x) - 2} - {3.4}^{f (x) - 2} + (m + 3) 2^{f (x) - 1} - 4 - 2 m = 0$ có nghiệm $x \in (- 1; 0) .$

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = 2^{f (x) - 2} (t > 0)$ . Phương trình đã cho trở thành

$t^{3} - 3 t^{2} + 2 (m + 3) t - 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t^{2} - 2 t + 4 + 2 m) = 0. (1)$

Với $x \in (- 1; 0) \Rightarrow f (x) \in (0; 2) \Leftrightarrow t = 2^{f (x) - 2} \in (\frac{1}{4}; 1) .$

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm $\in (\frac{1}{4}; 1)$ , tương đương với $t^{2} - 2 t + 4 + 2 m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(\frac{1}{4}; 1)$ hay $m = \frac{1}{2} (- t^{2} + 2 t - 4) = g (t)$ có nghiệm thuộc khoảng $(\frac{1}{4}; 1)$ .

Đặt $g (t) = \frac{1}{2} (- t^{2} + 2 t - 4) \Rightarrow g^{'} (t) = - t + 1 > 0$ với $\forall t \in (\frac{1}{4}; 1)$ .

Ta có bảng biến thiên của g(t) như sau

Cho hàm số bậc ba y= f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên (ảnh 2)

Để phương trình có nghiệm thì $- \frac{57}{32} < m < - \frac{3}{2}$ .

Vì $m \in ℤ$ nên không có giá trị nguyên nào của m để phương trình có nghiệm.

Câu 40:

Cho mặt cầu S (O;4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu S(O;4) nếu hình nón (N) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu S( O;4). Tính bán kính đáy r của (N) để khối nón (N) có thể tích lớn nhất ?

A.

r = 3 \sqrt{2}

.

B.

r = \frac{4 \sqrt{2}}{3}

.

C.

r = 2 \sqrt{2}

.

D.

r = \frac{8 \sqrt{2}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Cho mặt cầu S (O;4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu S(O;4) nếu hình nón (ảnh 1)

Gọi I là đỉnh và H là tâm đáy của hình nón (N) . Do $I H ⊥ m p (H); O H ⊥ m p (H)$

$\Rightarrow I, O, H$ thẳng hàng.

Dễ thấy để (N) có thể tích lớn nhất thì chỉ cần O nằm giữa đoạn IH.

Gọi đường cao của hình nón là: $h = I H = O I + O H = R + O H, R \leq h \leq 2 R .$

Suy ra $r^{2} = R^{2} - {(h - R)}^{2}$ .

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3} . π r^{2} h = \frac{1}{3} . π h [R^{2} - {(h - R)}^{2}] = \frac{1}{3} . π (- h^{3} + 2 R h^{2}) = f (h)$ .

Ta có $f' (h) = \frac{1}{3} π (4 R h - 3 h^{2})$ , cho $f' (h) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} h = 0 \\ h = \frac{4 R}{3} \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Cho mặt cầu S (O;4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu S(O;4) nếu hình nón (ảnh 2)

Vậy max $V = f (\frac{4 R}{3})$ khi $h = \frac{4 R}{3}, r = \frac{2 R \sqrt{2}}{3} = \frac{8 \sqrt{2}}{3} .$

Câu 41:

Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R= 6cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

A.

18 c m^{2}

.

B.

36 c m^{2}

.

C.

64 c m^{2}

.

D.

96 c m^{2}

.

Xem đáp án

Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R= 6cm , biết một cạnh của (ảnh 1)

Câu 42:

Cho các số thực dương a,b,x,y thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{2 x} = b^{2 y} = \sqrt{a b} .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 6 x + y^{2}$ .

A.

\frac{45}{4}

.

B. 3.

C.

\frac{54}{16}

.

D.

\frac{45}{16}

.

Xem đáp án

Cho các số thực dương a,b,x,y thỏa mãn a>1, b> 1 và a^2x= b^2y= can bac hai ab (ảnh 1)

Câu 43:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $M (4; - 1; 3); N (- 5; 11; 8); P (1; 3; m)$ . Tìm m để M,N,P thẳng hàng.

A.

m = \frac{14}{3}

.

B.

m = 18

.

C.

m = \frac{11}{3}

.

D.

m = - 4

.

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz cho ba điểm M( 4;-1;3); N( -5;11;8); P( 1;3;m) (ảnh 1)

Câu 44:

Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho $O M = x$ . Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.

A.

x = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.

B.

x = \frac{a \sqrt{6}}{12}

.

C.

x = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

D. $x = a \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt (ảnh 1)

Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt (ảnh 2)

Câu 45:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và $\hat{B A D} = \hat{D A A^{'}} = \hat{A^{'} A B} = 60^{0}$ . Cho hai điểm M,N thỏa mãn lần lượt $\vec{C^{'} B} = \vec{B M}; \vec{D N} = 2 \vec{D D^{'}}$ . Độ dài đoạn thẳng MN là

A.

\sqrt{3}

.

B.

\sqrt{13}

.

C.

\sqrt{19}

.

D.

\sqrt{15}

.

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và (ảnh 1)

Từ giả thiết, suy ra các $Δ A A^{'} B; Δ A B D; Δ A A^{'} D$ là các tam giác đều bằng nhau và có cạnh bằng 1. Từ đó suy ra tứ diện $A^{'} . A B D$ là tứ diện đều.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Suy ra $A^{'} G ⊥ (A B D)$ .

Dễ dàng tính được $C O = A O = \frac{\sqrt{3}}{2}; G O = \frac{\sqrt{3}}{6}; A G = \frac{\sqrt{3}}{3}; A^{'} G = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ .

$O (0; 0; 0); A (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0); B (0; \frac{1}{2}; 0); C (\frac{- \sqrt{3}}{2}; 0; 0); D (0; \frac{- 1}{2}; 0); G (\frac{\sqrt{3}}{6}; 0; 0); A^{'} (\frac{\sqrt{3}}{6}; 0; \frac{\sqrt{6}}{3})$

Ta có:

$\vec{C C^{'}} = \vec{A A^{'}} \Rightarrow C^{'} (\frac{- 5 \sqrt{3}}{6}; 0; \frac{\sqrt{6}}{3})$ và $\vec{D N} = 2 \vec{C C^{'}} \Rightarrow N (\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}; \frac{- 1}{2}; \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ .

B là trung điểm của $C M' \Rightarrow M (\frac{5 \sqrt{3}}{6}; 1; \frac{- \sqrt{6}}{3})$ .

Vậy $M N = \sqrt{15}$ .

Câu 46:

Một ngân hàng X quy định về số tiền nhận được của khách sau n năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức $P (n) = A {(1 + 9 %)}^{n}$ , trong đó A là số tiền gửi ban đầu của khách hàng. Hỏi số tiền ít nhất khác hàng B phải gửi vào ngân hàng X là bào nhiêu để sau 5 năm khách hàng đó rút ra được lớn hơn 950 triệu đồng ( kết quả làm tròn đến hàng triệu)?

A. 618 triệu đồng.

B. 617 triệu đồng.

C. 616 triệu đồng.

D. 619 triệu đồng.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $P (5) > 950 \Rightarrow A {(1 + 9 %)}^{5} > 950 \Rightarrow A > \frac{950}{{(1 + 9 %)}^{5}} \approx 617, 434817$

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi là 618 triệu đồng.

Câu 47:

Tính tổng $T = \frac{C_{2020}^{0}}{3} - \frac{C_{2020}^{1}}{4} + \frac{C_{2020}^{2}}{5} - \frac{C_{2020}^{3}}{6} + .... - \frac{C_{2020}^{2019}}{2022} + \frac{C_{2020}^{2020}}{2023}$ .

A.

\frac{1}{4133456312} .

B.

\frac{1}{4133456315} .

C.

\frac{1}{4133456313} .

D.

\frac{1}{4133456314} .

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${(1 - x)}^{2020} = \sum_{k = 0}^{2020} C_{2020}^{k} {(- x)}^{k}$

Xét hàm số:

$f (x) = x^{2} {(1 - x)}^{2020} = \sum_{k = 0}^{2020} C_{2020}^{k} x^{k + 2} . {(- 1)}^{k} = C_{2020}^{0} x^{2} - C_{2020}^{1} x^{3} + C_{2020}^{2} x^{4} - C_{2020}^{3} x^{5} + ... + C_{2020}^{2019} x^{2021} - C_{2020}^{0} x^{2022}$

Là hàm số liên tục trên $ℝ$ nên:

$\int_{0}^{1} x^{2} {(1 - x)}^{2020} d x = \int_{0}^{1} (C_{2020}^{0} x^{2} - C_{2020}^{1} x^{3} + C_{2020}^{2} x^{4} - C_{2020}^{3} x^{5} + ... + C_{2020}^{2019} x^{2021} - C_{2020}^{0} x^{2022}) d x$

Ta xét

$V T = \int_{0}^{1} x^{2} {(1 - x)}^{2020} d x$ (đặt $u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow d x = - d u;$ đổi biến $x = 0 \Rightarrow u = 1; x = 1 \Rightarrow u = 0)$

$\begin{array}{l} = \int_{1}^{0} {(1 - u)}^{2} u^{2020} (- d u) = \int_{0}^{1} (u^{2020} - 2 u^{2021} + u^{2022}) d u = {\frac{u^{2021}}{2021} - \frac{2 u^{2022}}{2022} + \frac{u^{2023}}{2023}|}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2022} + \frac{1}{2023} \\ = \frac{1}{4133456313} \end{array}$

$\begin{array}{l} V P = \int_{0}^{1} (C_{2020}^{0} x^{2} - C_{2020}^{1} x^{3} + C_{2020}^{2} x^{4} - C_{2020}^{3} x^{5} + ... - C_{2020}^{2019} x^{2021} + C_{2020}^{0} x^{2022}) d x \\ = {C_{2020}^{0} . \frac{x^{3}}{3} - C_{2020}^{1} . \frac{x^{4}}{4} + C_{2020}^{2} . \frac{x^{5}}{5} - C_{2020}^{3} . \frac{x^{6}}{6} + ... - C_{2020}^{2019} . \frac{x^{2022}}{2022} + C_{2020}^{2020} . \frac{x^{2023}}{2023}|}_{0}^{1} \\ = \frac{C_{2020}^{0}}{3} - \frac{C_{2020}^{1}}{4} + \frac{C_{2020}^{2}}{5} - \frac{C_{2020}^{3}}{6} + .... - \frac{C_{2020}^{2019}}{2022} + \frac{C_{2020}^{2020}}{2023} . \end{array}$

$V T = V P \Rightarrow \frac{C_{2020}^{0}}{3} - \frac{C_{2020}^{1}}{4} + \frac{C_{2020}^{2}}{5} - \frac{C_{2020}^{3}}{6} + .... - \frac{C_{2020}^{2019}}{2022} + \frac{C_{2020}^{2020}}{2023} = \frac{1}{4133456313}$ .

Câu 48:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{0}^{3} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{5} f (x) d x = 5$ . Tính $I = \int_{- 2}^{2} f (|2 x - 1|) d x$ .

A.

I = - 3.

B.

I = 3

C.

I = 6

D.

I = 2

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) dx= -1; f(x) dx= 5. (ảnh 1)

Câu 49:

Cho lăng trụ lục giác đều có canh đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng 4a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A.

V = 2 \sqrt{3} a^{3}

.

B.

V = 3 \sqrt{3} a^{3}

.

C.

V = 6 \sqrt{3} a^{3}

.

D.

V = 24 \sqrt{3} a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Diện tích đáy: $S = 6. \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3} a^{2}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S . h = S = 6 \sqrt{3} a^{2} .4 a = 24 \sqrt{3} a^{3}$ .

Câu 50:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $3^{x^{2} - 3 |x - m|} = \log_{x^{2} + 3} (3 |x - m| + 3)$ có nghiệm là

A.

m \in ℝ

.

B.

m \geq - \frac{3}{4}

.

C.

m \leq \frac{3}{4}

.

D.

- \frac{3}{4} \leq m \leq \frac{3}{4}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $3^{x^{2} - 3 |x - m|} = \log_{x^{2} + 3} (3 |x - m| + 3) \Leftrightarrow 3^{x^{2} + 3} . \log_{3} (x^{2} + 3) = 3^{3 |x - m| + 3} . \log_{3} (3 |x - m| + 3)$ (1)

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} . \log_{3} t, (t \geq 3); f^{'} (t) = 3^{t} . \ln t + 3^{t} . \frac{1}{t \ln 3} > 0, \forall t \geq 3$ .

Suy ra f(t) là hàm đồng biến và liên tục trên $[3; + \infty)$ .

Do đó, (1) $\Leftrightarrow x^{2} + 3 = 3 |x - m| + 3 \Leftrightarrow x^{2} = 3 |x - m|$ .

+ TH 1: $\{\begin{cases} x \geq m \\ x^{2} - 3 x + 3 m = 0 (2) \end{cases}$ .

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm $\{\begin{cases} x \geq m \\ Δ = 9 - 12 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq m \\ m \leq \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq \frac{3}{4}$ .

+ TH 2: $\{\begin{cases} x < m \\ x^{2} + 3 x - 3 m = 0 (3) \end{cases}$ .

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm $\{\begin{cases} x < m \\ Δ = 9 + 12 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < m \\ m \geq - \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - \frac{3}{4}$ .

Vậy với mọi $m \in ℝ$ phương trình đã cho luôn có nghiệm.