50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 18)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc?

A. 4.

B.

C_{4}^{4}

.

C.

4!

.

D.

A_{4}^{1}

.

Xem đáp án

Chọn C

Mỗi cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 4 phần tử.

Vậy số cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc là: $4!$ (cách).

Câu 2:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có

u_{1} = - 2

và

u_{2} = 6

. Giá trị của

u_{3}

bằng

A. -18

B. 18

C. 12

D. -12

Xem đáp án

Chọn A

Công bội của cấp số nhân đã cho là: $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = - 3$ .

Vậy $u_{3} = u_{2} . q = - 18$ .

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A.

(- \infty; - 2)

.

B.

(0; + \infty)

.

C.

(- 2; 0)

.

D.

(- 1; 3)

.

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị là: $x = - 1, x = 0, x = 1$ .

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm

f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}, \forall x \in ℝ

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

+ Ta có : $f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array} .$

+ Bảng xét dấu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1) (x + 2)^3, với mọi x thuộc R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là (ảnh 1)

+ Ta thấy f'(x) đổi dấu 3 lần nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị (cụ thể là 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại).

+ Cách trắc nghiệm: Ta nhẩm được phương trình $f^{'} (x) = 0$ có 3 nghiệm bội lẻ nên hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{3 x + 2}{x - 1}

là đường thẳng

A. y = 3.

B. y = 1.

C. x = 3.

D. x = 1.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = 3; \lim_{x \to - \infty} y = 3$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 3.

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

A. $y = x^{3} + x + 1$ .

B.

y = x^{3} - x + 1

.

C.

y = x^{3} - x - 1

.

D.

y = x^{3} + x - 1

.

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào hình vẽ ta thấy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại các đáp án $y = x^{3} - x - 1$ và $y = x^{3} + x - 1$ .

Ta thấy đồ thị hàm số không có cực trị nên chọn đáp án $y = x^{3} + x + 1$ vì hàm số này có $y' = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x$ .

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị của hàm số $y = x^{4} + 4 x^{2} - 3$ với trục hoành là

A. 2

B. 0

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y = x^{4} + 4 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = - 3 (P T V N) \end{array} \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Suy ra đồ thị hàm số có 2 giao điểm với trục hoành.

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} \frac{4}{a}$ bằng

A. $\frac{1}{2} - \log_{2} a$ .

B.

2 \log_{2} a

.

C.

2 - \log_{2} a

.

D.

\log_{2} a - 1

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log_{2} \frac{4}{a} = \log_{2} 4 - \log_{2} a = 2 - \log_{2} a$ .

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số

y = 3^{x}

là

A. $\frac{1}{2} - \log_{2} a$ .

B.

y' = 3^{x} \ln 3

.

C.

y' = \frac{3^{x}}{\ln 3}

.

D.

\ln 3

.

Xem đáp án

Chọn B

Dùng công thức $(a^{x})' = a^{x} \ln a \Rightarrow (3^{x})' = 3^{x} \ln 3$ .

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^{2}}$ bằng

A. $a^{3}$ .

B.

a^{\frac{5}{3}}

.

C.

a^{\frac{1}{3}}

.

D.

a^{\frac{2}{3}}

.

Xem đáp án

Chọn D

Với $a > 0$ dùng công thức $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \Rightarrow$ $\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}}$ .

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $3^{4 x - 6} = 9$ là

A. x = -3.

B. x = 3.

C. x = 0.

D. x = 2.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $3^{4 x - 6} = 9 \Leftrightarrow 3^{4 x - 6} = 3^{2} \Leftrightarrow 4 x - 6 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 13:

Nghiệm của phương trình

\ln (7 x) = 7

là

A. x = 1.

B.

x = \frac{1}{7}

.

C.

x = \frac{e^{7}}{7}

.

D.

x = e^{7}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\ln (7 x) = 7$ $\Leftrightarrow 7 x = e^{7} \Leftrightarrow x = \frac{e^{7}}{7}$ .

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x}{x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int f (x) d x = x^{2} + 2 + C$ .

B.

\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 2 x + C

.

C.

\int f (x) d x = x^{3} + 2 x + C

.

D.

\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C

.

Xem đáp án

Chọn B

$\int f (x) d x = \int \frac{x^{3} + 2 x}{x} d x = \int (x^{2} + 2) d x = \frac{x^{3}}{3} + 2 x + C$ .

Câu 15:

Cho hàm số $f (x) = \sin 4 x$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int f (x) d x = - \frac{\cos 4 x}{4} + C$ .

B.

\int f (x) d x = \frac{\cos 4 x}{4} + C

.

C.

\int f (x) d x = 4 \cos 4 x + C

.

D.

\int f (x) d x = - 4 \cos 4 x + C

.

Xem đáp án

Chọn A

$\int f (x) d x = \int \sin 4 x d x = - \frac{\cos 4 x}{4} + C$ .

Câu 16:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn

\int_{1}^{2} f (x) d x = 1

và

\int_{1}^{4} f (t) d t = - 3

. Tính tích phân.

I = \int_{2}^{4} f (u) d u

A. I = -4.

B. I = 4.

C. I = -2.

D. I = 2.

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{1}^{4} f (u) d u = \int_{1}^{2} f (u) d u + \int_{2}^{4} f (u) d u$ $\Leftrightarrow - 3 = 1 + \int_{2}^{4} f (u) d u$ $\Leftrightarrow \int_{2}^{4} f (u) d u = - 4$ .

Câu 17:

Với m là tham số thực, ta có

\int_{1}^{2} (2 m x + 1) d x = 4.

Khi đó m thuộc tập hợp nào sau đây ?

A. $(- 3; - 1)$ .

B.

[- 1; 0)

.

C.

[0; 2)

.

D.

[2; 6)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\int_{1}^{2} (2 m x + 1) d x = 4$ $\Leftrightarrow {(m x^{2} + x)|}_{1}^{2} = 4 \Leftrightarrow 4 m + 2 - m - 1 = 4$ $\Leftrightarrow m = 1$ .

Vậy $m \in [0; 2)$ .

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức

z = i (1 + 3 i)

là

A. 3 - i.

B. 3 + i.

C. -3 + i.

D. -3 - i.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $z = i (1 + 3 i)$ $= - 3 + i$ nên $3 z_{1} - 4 z_{2}$ .

Câu 19:

Cho hai số phức

z_{1} = 5 - 6 i

và

z_{2} = 2 + 3 i

. Số phức

3 z_{1} - 4 z_{2}

bằng

A. $26 - 15 i$ .

B.

7 - 30 i

.

C.

23 - 6 i

.

D.

- 14 + 33 i

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $3 z_{1} - 4 z_{2} = 3 (5 - 6 i) - 4 (2 + 3 i) = 7 - 30 i$ .

Câu 20:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 + i

và

z_{2} = 2 + i

. Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức

z_{1} + 2 z_{2}

có toạ độ là:

A. $(3; 5)$ .

B.

(2; 5)

.

C.

(5; 3)

.

D.

(5; 2)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có số phức $z_{1} + 2 z_{2} = 5 + 3 i$ có điểm biểu diễn là $(5; 3)$ .

Câu 21:

Cho khối chóp SABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B,

S A = 2 a,

A B = 3 a,

B C = 4 a

. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

8 a^{3}

.

B.

4 a^{3}

.

C.

12 a^{3}

.

D.

24 a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . (\frac{1}{2} . A B . B C) . S A = \frac{1}{6} .3 a .4 a .2 a = 4 a^{3}$ .

Câu 22:

Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a

A.

\frac{3 a^{3}}{2}

.

B.

\frac{3 a^{3}}{4}

.

C.

\frac{4 a^{3}}{3}

.

D.

\frac{a^{3}}{4}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{3}}{4}$ .

Câu 23:

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h là

A. $S_{x q} = π R h$ .

B.

S_{x q} = 2 π R h

.

C.

S_{x q} = 3 π R h

.

D.

S_{x q} = 4 π R h

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Cho tam giác ABC vuông tại A có

A B = \sqrt{3}

và

A C = 3

. Thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC là

A. $V = 2 π$ .

B.

V = 5 π

.

C.

V = 9 π

.

D.

V = 3 π

.

Xem đáp án

Chọn D

Khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC có chiều cao $h = A C = 3$ và bán kính đáy $r = A B = \sqrt{3}$ $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . {(\sqrt{3})}^{2} .3 = 3 π$ .

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

A (3; 4; 2), B (- 1; - 2; 2)

và

G (1; 1; 3)

là trọng tâm của tam giác ABC. Tọa độ điểm C là?

A. $C (1; 3; 2)$ .

B.

C (1; 1; 5)

.

C.

C (0; 1; 2)

.

D.

C (0; 0; 2)

.

Xem đáp án

ChọnB

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 1 \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = 1 \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 5 \end{cases} \Rightarrow C (1; 1; 5)

.

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 4 z + 5 = 0

. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là

A. $I (1; - 2; - 2)$ và R = 2.

B.

I (2; 4; 4)

và R = 2.

C.

I (- 1; 2; 2)

và R = 2

D.

I (1; - 2; - 2)

và

R = \sqrt{14}

.

Xem đáp án

ChọnA

Phương trình mặt cầu có dạng: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d)$

$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 2$ , $d = 5$ .

Vậy tâm mặt cầu là $I (1; - 2; - 2)$ và bán kính mặt cầu $R = \sqrt{1 + 4 + 4 - 5} = 2$ .

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oz?

A. $A (1; 0; 0)$ .

B.

B (0; 2; 0)

.

C.

C (0; 0; 3)

.

D.

D (1; 2; 3)

.

Xem đáp án

Chọn C

Điểm nằm trên trục Oz thì hoành độ và và tung độ bằng 0.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm

M (- 3; 5; - 7)

?

A. $(6; - 10; 14)$ .

B.

(- 3; 5; 7)

.

C.

(6; 10; 14)

.

D.

(3; 5; 7)

.

Xem đáp án

ChọnA

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm $M (- 3; 5; - 7)$ nhận $\vec{O M} = (- 3; 5; - 7) \Rightarrow \vec{u} = - 2 \vec{O M} = (6; - 10; 14)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Câu 29:

Chọn ngẫu nhiên một số trong 18 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ

A. $\frac{7}{8}$ .

B.

\frac{8}{15}

.

C.

\frac{7}{15}

.

D.

\frac{1}{2}

.

Xem đáp án

ChọnD

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = 18$

Gọi A là biến cố chọn được số lẻ. $A = \{1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17\} \Rightarrow n (A) = 9$ .

Vậy xác suất là $p (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ .

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên R?

A. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

B.

y = 2 x^{2} - 2021 x

.

C.

y = - 6 x^{3} + 2 x^{2} - x

.

D.

y = 2 x^{4} - 5 x^{2} - 7

.

Xem đáp án

ChọnC

Xét các đáp án ta có

Đáp án A tập xác định $D = ℝ \ \{2\}$ nên loại

Đáp án B đồ thị là Parabol nên loại

Đáp án C có TXĐ: R

$y' = - 18 x^{2} + 4 x - 1 < 0, \forall x \in ℝ$ nên hàm số nghịch biến trên R

Đáp án D hàm số có 3 cực trị nên không thỏa mãn.

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2}$ trên đoạn $[- 2; 2]$ .

A. -1

B. 8

C. 1

D. -8

Xem đáp án

Chọn D.

Xét hàm số $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2}$ trên đoạn $[- 2; 2]$ .

Ta có $f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 2; 2] \\ x = 1 \in [- 2; 2] \\ x = - 1 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta có $f (- 2) = - 8; f (- 1) = 1; f (0) = 0; f (1) = 1; f (2) = - 8$ .

Vậy $\min_{[- 2; 2]} f (x) = - 8$ .

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} x \leq \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$ là

A. $(\frac{1}{2}; 1]$ .

B.

(- \infty; 1)

.

C.

(- \infty; 1]

.

D.

(\frac{1}{2}; 1)

.

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện xác định của bất phương trình là $\{\begin{cases} x > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ .

Ta có $\log_{\frac{1}{2}} x \leq \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$ $\Leftrightarrow x \geq 2 x - 1$ $\Leftrightarrow x \leq 1$ .

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm là $(\frac{1}{2}; 1]$ .

Câu 33:

Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{3}} [\sin x - 3 f (x)] d x = 6$ thì $\int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{13}{2} .$

B.

\frac{- 11}{2} .

C.

\frac{- 13}{4} .

D.

\frac{- 11}{6}

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $6 = \int_{0}^{\frac{π}{3}} [\sin x - 3 f (x)] d x = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x - 3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x = - {cos x|}_{0}^{\frac{π}{3}} - 3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x = \frac{1}{2} - 3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x$

Suy ra $3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x = \frac{1}{2} - 6 \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x = - \frac{11}{6}$ .

Câu 34:

Cho số phức z = 5 - 3i. Môđun của số phức

(1 - 2 i) (\bar{z} - 1)

bằng

A. 25

B. 10

C. $5 \sqrt{2} .$

D. $5 \sqrt{5} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $(1 - 2 i) (\bar{z} - 1) = (1 - 2 i) (4 + 3 i) = 10 - 5 i .$

Từ đó: $|(1 - 2 i) (\bar{z} - 1)| = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{5} .$

Câu 35:

Cho khối lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

B^{'} B = a

, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

A C = a \sqrt{3}

. Tính tangóc giữa

C^{'} A

và mp

(A B C)

A. $60^{0}$ .

B.

90^{0}

.

C.

45^{0}

.

D.

30^{0}

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $B^{'} B = a \Rightarrow C C^{'} = a$

$A C = a \sqrt{3}$

Góc giữa $C^{'} A$ và mp (ABC) bằng góc đường thẳng $C^{'} A$ và CA bằng góc $\hat{C^{'} A C}$

$\tan \hat{C^{'} A C} = \frac{C^{'} C}{A C} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{C^{'} A C} = 30^{0}$

Câu 36:

Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng aa và cạnh bên tạo với đáy một góc $60 °$ . Khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

B.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.

C.

\frac{a \sqrt{3}}{3}

.

D.

\frac{a \sqrt{2}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow \hat{S C O} = 60 ° \Rightarrow \tan 60 ° = \frac{S O}{O C} \Rightarrow S O = O C \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{2}} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm

I (- 1; 2; 0)

và đi qua điểm

M (2; 6; 0)

có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 100$ .

B.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25

.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25

.

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 100

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có bán kính $R = I M = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0} = 5$ .

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I (- 1; 2; 0)$ , bán kính R = 5 là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$ .

Câu 38:

Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm $A (2; 3; - 1), B (1; 2; 4)$ có phương trình tham số là:

A.

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}

B.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 - 5 t \end{cases}

C.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 4 + 5 t \end{cases}

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}

Xem đáp án

Chọn A

$\vec{A B} = (- 1; - 1; 5)$ .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm AA và nhận $\vec{A B} = (- 1; - 1; 5)$ làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}$ .

Câu 39:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên $[- 2; 4]$ , gọi $x_{0}$ là điểm mà tại đó hàm số $g (x) = f (\frac{x}{2} + 1) - \ln (x^{2} + 8 x + 16)$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $x_{0}$ thuộc khoảng nào?

A. $(\frac{1}{2}; 2)$ .

B.

(2; \frac{5}{2})

.

C.

(- 1; - \frac{1}{2})

.

D.

(- 1; \frac{1}{2})

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g' (x) = \frac{1}{2} f' (\frac{x}{2} + 1) - \frac{2 x + 8}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{1}{2} f' (\frac{x}{2} + 1) - \frac{2}{x + 4} .$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (\frac{x}{2} + 1) = \frac{4}{x + 4} .$

Đặt $t = \frac{x}{2} + 1 \Rightarrow t \in [0; 3]$

Phương trình trở thành $f' (t) = \frac{4}{2 t + 2} = \frac{2}{t + 1} .$

Vẽ đồ thị $y = \frac{2}{x + 1}$ lên cùng một hệ tọa độ ta được:

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t = 1 \Rightarrow x = 0.$

Câu 40:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x; y)$ với $y \leq 2021$ thỏa mãn $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$ .

A. $2021 (2021 - 1)$ .

B.

2021 (2022 - 1)

.

C.

2022 (2022 - 1)

.

D.

2022 (2022 + 1)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x \Leftrightarrow \log \frac{x y + y}{2 y^{2} + y} \leq (4 y^{4} + 4 y^{3} + y^{2}) - (x^{2} y^{2} + 2 y^{2} x + y^{2})$ $\Leftrightarrow \log (x y + y) - \log (2 y^{2} + y) \leq {(2 y^{2} + y)}^{2} - {(x y + y)}^{2} (1)$

Xét hàm số $f (t) = \log t + t^{2}$ với $t \in (0; + \infty)$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 2 t > 0; \forall t \in (0; + \infty)$ . Suy ra hàm $f (t)$ đồng biến trên $t \in (0; + \infty)$ .

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow f (x y + y) \leq f (2 y^{2} + y) \Leftrightarrow x y + y \leq 2 y^{2} + y \Leftrightarrow x \leq 2 y$ .

Vì $y \in ℤ^{+}$ và $y \leq 2021$ nên ta xét các trường hợp sau.

 $y = 1 \Rightarrow x \in \{1; 2\}$ .

 $y = 2 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; 4\}$ .

 ……………………………….

 $y = 2021 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; .....; 4042\}$ .

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: $2 + 4 + 6 + ... + 4042 = 2022.2021$

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 khi x \geq 0 \\ 3 x^{2} - x + 2 khi x < 0 \end{cases}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{3}} f (3 - 4 \cos x) \sin x d x$ bằng

A. $\frac{37}{24}$ .

B.

\frac{37}{6}

.

C. 6.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn A

Cho hàm số f(x) = căn x + 2 khi x lớn hơn hoặc bằng 0; 3x^2 - x + 2 khi x nhỏ hơn 0. Tích phân (ảnh 1)

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

z \bar{z} = 4

và

(z - 3 + 2 i) (3 - 2 \bar{z})

là số thuần ảo?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $z = a + b i$

Ta có

$(z - 3 + 2 i) (3 - 2 \bar{z}) = (a - 3 + (b + 2) i) (3 - 2 a + 2 b i) = (- 2 a^{2} + 9 a - 9 - 2 b^{2} + 4 b) + (- 3 a - 4 b + 6) i$ Theo đề ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ - 2 a^{2} + 9 a - 9 - 2 b^{2} + 4 b = 0 \end{cases}$

Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng $(S B C)$ bằng $30 °$ . Thể tích của khối chóp SABCD bằng

A. $4 a^{3}$ .

B.

\frac{4}{3} a^{3}

.

C.

\frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{9}

.

D.

\frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 44:

Một công ty sản xuất bồn đựng nước hình trụ có thể tích thực $1 m^{3}$ với chiều cao bằng 1m. Biết bề mặt xung quanh bồn được sơn bởi loại sơn màu xanh tô như hình vẽ và màu trắng là phần còn lại của mặt xung quanh; với mỗi mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0,5 lít sơn. Công ty cần sơn 10000 bồn thì dư kiến cần bao nhiêu lít sơn màu xanh gần với số nào nhất, biết khi đo được dây cung BF = 1m

A. 6150

B. 6250

C. 1230

D. 1250

Xem đáp án

Chọn A

Gọi r là bán kính đường tròn đáy,

Ta có: $V = π r^{2} . h \Leftrightarrow r = \frac{1}{\sqrt{π}}$

Xét tam giác $O^{'} B F$ ta có $Cos (B O^{'} F) = \frac{2 r^{2} - B F^{2}}{2 r^{2}} = 1 - \frac{π}{2} \Rightarrow \hat{B O^{'} F} \approx 2,178271695$ (rad)

Vậy độ dài cung BF: $l = r . α \approx 1,2289582$ (m)

Tổng số lít sơn màu xanh cho mỗi bồn nước là: $T = l . h .0.5 = 0.6144791001$ (lít)

Vậy tổng số sơn cần cho 10000 bồn $S \approx 6145$ (lít)

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}$ và $d^{'} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}$ là

A. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$ .

B.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}

.

C.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}

.

D.

\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}

.

Xem đáp án

Chọn A

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (ảnh 1)

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ dưới đây .

Hàm số $g (x) = (|x| + |x^{2} - 1|)$ có bao nhiêu điểm cực đại

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị của $y = f^{'} (x)$ , suy ra bảng biến thiên của y = f(x) như sau

Đặt $u = |x| + |x^{2} - 1|$ .

Ta có bảng ghép trục sau :

Vậy hàm số $g (x) = f (|x| + |x^{2} - 1|)$ có ba điểm cực đại .

Câu 47:

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\log_{3} (2 x^{2} + y^{2}) = \log_{7} (x^{3} + 2 y^{3}) = \log z$ . Có bao giá trị nguyên của z để có đúng hai cặp $(x, y)$ thỏa mãn đẳng thức trên.

A. 2

B. 211

C. 99

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\log_{3} (2 x^{2} + y^{2}) = \log_{7} (x^{3} + 2 y^{3}) = \log z = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} = 3^{t} (1) \\ x^{3} + 2 y^{3} = 7^{t} (2) \\ z = 10^{t} (3) \end{cases}$ .

+ Nếu y = 0 $(2) \Rightarrow x = 7^{\frac{t}{3}}$ thay vào (1) ta được ${2.7}^{\frac{2 t}{3}} = 3^{t} \Leftrightarrow t = \log_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}} 2$ do đó $z = 10^{\log_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}} 2}$ .

+ Nếu $y \neq 0$

Từ $(1) & (2)$ suy ra $\{\begin{cases} {(2 x^{2} + y^{2})}^{3} = 27^{t} \\ {(x^{3} + 2 y^{3})}^{2} = 49^{t} \end{cases} \Rightarrow \frac{{(x^{3} + 2 y^{3})}^{2}}{{(2 x^{2} + y^{2})}^{3}} = {(\frac{49}{27})}^{t} \Leftrightarrow \frac{{({(\frac{x}{y})}^{3} + 2)}^{2}}{{(2 {(\frac{x}{y})}^{2} + 1^{2})}^{3}} = {(\frac{49}{27})}^{t}, (*)$ .

Đặt $\frac{x}{y} = u, u \neq - \sqrt[3]{2}$ . Xét $f (u) = \frac{{(u^{3} + 2)}^{2}}{{(2 u^{2} + 1)}^{3}} \Rightarrow f^{'} (u) = \frac{6 u (u^{3} + 2) (u - 4)}{{(2 u^{2} + 1)}^{4}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = 0 \\ u = - \sqrt[3]{2} \\ u = 4 \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên

Nhận xét với mỗi giá trị u tương ứng với duy nhất 1 cặp (x,y) thỏa mãn bài toán do đó

Yêu cầu bài toán tương đương $[\begin{array}{l} \frac{1}{8} \leq {(\frac{49}{27})}^{t} < 4 \\ 0 < {(\frac{49}{27})}^{t} < \frac{4}{33} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 10^{\log_{\frac{49}{27}} (\frac{1}{8})} \leq z < 10^{\log_{\frac{49}{27}} 4} \\ 0 < z < 10^{\log_{\frac{49}{27}} (\frac{4}{33})} \end{array}$ .

Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn.

Câu 48:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết hàm số y = f(x) đạt cực trị tại các điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{3} = x_{1} + 2$ , $f (x_{1}) + f (x_{3}) + \frac{2}{3} f (x_{2}) = 0$ và (C) nhận đường thẳng $d : x = x_{2}$ làm trục đối xứng. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3} + S_{4}}$ gần kết quả nào nhất

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết hàm số y = f(x) đạt cực trị tại các điểm (ảnh 1)

A. 0,60

B. 0,55

C. 0,65

D. 0,70

Xem đáp án

Chọn A

Câu 49:

Xét hai số phức $z_{1}; z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = \sqrt{2}; |z_{2}| = \sqrt{5}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 3$ . Giá trị lớn nhất của $|z_{1} + 2 z_{2} - 3 i|$ bằng

A. $3 \sqrt{2} - 3$ .

B.

3 + 3 \sqrt{2}

.

C.

3 + \sqrt{26}

.

D.

\sqrt{26} - 3

.

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i$ (với $a, b, c, d \in ℝ$ )

Theo bài ra ta có:

$|z_{1}| = \sqrt{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 2; |z_{2}| = \sqrt{5} \Leftrightarrow c^{2} + d^{2} = 5$

$|z_{1} - z_{2}| = 3 \Leftrightarrow {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} = 9 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} - 2 (a c + b d) = 9$ $\Rightarrow a c + b d = - 1$

$|z_{1} + 2 z_{2}| = \sqrt{{(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d)} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Theo tính chất $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ ta có: $|z_{1} + 2 z_{2} - 3 i| \leq |z_{1} + 2 z_{2}| + |- 3 i| = 3 \sqrt{2} + 3$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 1; 1)$ và $B (2; 1; 1)$ . Xét khối nón (N)có đỉnh Ađường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N)có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng (P)chứa đường tròn đáy của (N)cách điểm $E (1; 1; 1)$ một khoảng là bao nhiêu?

A.

d = \frac{1}{2}

.

B.

d = 2

.

C.

d = \frac{1}{3}

.

D.

d = 3

Xem đáp án

Chọn A