50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 7)

Câu 1:

Thể tích của khối cầu bán kính $a$ bằng

A. $\frac{4 π a^{3}}{3} .$

B. $4 π a^{3} .$

C. $\frac{π a^{3}}{3} .$

D. $2 π a^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích khối cầu bán kính $a$ là $V = \frac{4}{3} π a^{3} .$

Câu 2:

Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log (a b^{2})$ bằng

A. $2 \log a + \log b .$

B. $\log a + 2 \log b .$

C. $2 (\log a + \log b) .$

D. $\log a + \frac{1}{2} \log b .$

Xem đáp án

Đáp án B

Có $\log (a b^{2}) = \log a + \log b^{2} = \log a + 2 \log b .$

Câu 3:

Trong không gian $O x y z$ cho hai điểm $A (2; 3; 4)$ và $B (3; 0; 1)$ . Khi đó độ dài vectơ $\vec{A B}$ là:

A. 19

B. $\sqrt{19}$

C. $\sqrt{13}$

D. 13

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{A B} = (1; - 3; - 3) \Rightarrow |\vec{A B}| = \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{19}$ .

Câu 4:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{2} 2 g (x) d x = 8$ . Khi đó $\int_{1}^{2} [f (x) + g (x)] d x$ bằng:

A. 6

B. 10

C. 18

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2

và

\int_{1}^{2} g (x) d x = 4 \Rightarrow \int_{1}^{2} [f (x) + g (x)] d x = 6

Câu 5:

Cho hàm số $f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 3)$

B. $(- 1; 1)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng = $(- 1; 1)$ .

Câu 6:

Tìm nghiệm của phương trình $\log_{2} (x - 1) = 3.$

A. $x = 9$

B. $x = 7$

C. $x = 8$

D. $x = 10$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x > 1$ .

Phương trình tương đương với $x - 1 = 8 \Leftrightarrow x = 9$

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ: Hàm số là hàm số nào trong các hàm số sau: (ảnh 1)

Hàm số $y = f (x)$ là hàm số nào trong các hàm số sau:

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2$

D. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow$ Hệ số $a > 0$ do đó loại B và C.

Mặt khác hàm số có 2 điểm cực trị tại $x = 0, x = 2$ nên chỉ đáp án A thỏa mãn.

Câu 8:

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $(3; 1; 3)$

B. $(2; 1; 3)$

C. $(3; 1; 2)$

D. $(3; 2; 3)$

Xem đáp án

Đáp án A

Thử trực tiếp.

Câu 9:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và đáy bằng $60 °$ . Thể tích của khối nón đã cho là:

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{π a^{3}}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

$V = \frac{1}{3} . h . S_{đ} = \frac{1}{3} . h . π . R^{2} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . π . a^{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$ (đvtt)

Câu 10:

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(O x y)$ có phương trình là:

A. $x + y = 0$

B. $x = 0$

C. $y = 0$

D. $z = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

$(O x y) : z = 0$

Câu 11:

Cho $\int_{a}^{b} f' (x) d x = 7$ và $f (b) = 5$ . Khi đó $f (a)$ bằng

A. $12$

B. $0$

C. $2$

D. $- 2$

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{a}^{b} f' (x) d x = 7 \Leftrightarrow f (b) - f (a) = 7 \Leftrightarrow f (a) = f (b) - 7 = - 2$

Câu 12:

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và độ dài cạnh bên bằng 2a là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Diện tích đáy $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , chiều cao $h = 2 a \Rightarrow V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 13:

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $d : y = 2 x$ quay xung quanh trục $O x$ .

A. $π \int_{0}^{2} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x$

B. $π \int_{0}^{2} 4 x^{2} d x - π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

C. $π \int_{0}^{2} 4 x^{2} d x + π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

D. $π \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: $V = π \int_{0}^{2} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x$ .

Câu 14:

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x + 2} < {(\frac{1}{25})}^{- x}$ là:

A. $S = (- \infty; 2)$

B. $S = (- \infty; 1)$

C. $S = (1; + \infty)$

D. $S = (2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Biến đổi về $5^{x + 2} < 5^{2 x} \Rightarrow x > 2$ .

Câu 15:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ . Giá trị của $u_{2019}$ bằng:

A. 4040

B. 4400

C. 4038

D. 4037

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{1} + d = 3 \\ u_{1} + 3 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 2 \\ u_{1} = 1 \end{cases}$ .

Do đó: $u_{2019} = u_{1} + 2018 d = 4037$ .

Câu 16:

Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức $z = \frac{5}{2 + i}$ ?

A. $(2; 1)$

B. $(1; 2)$

C. $(\frac{5}{2}; 5)$

D. $(2; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $z = \frac{5}{2 + i} = 2 - i \Rightarrow M (2; - 1)$ là điểm biểu diễn hình học của z.

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số ta chọn được đáp án D.

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} + x^{2}$ là:

A. $F (x) = e^{2 x} + x^{3} + C$

B. $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$

C. $F (x) = 2 e^{2 x} + 2 x + C$

D. $F (x) = e^{2 x} + \frac{x^{3}}{3} + C$

Xem đáp án

Đáp án B

F (x) = \int (e^{2 x} + x^{2}) d x = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C

Câu 19:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 2$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 2$ có phương trình là

A. $y = - 9 x + 22$

B. $y = 9 x + 22$

C. $y = 9 x + 14$

D. $y = - 9 x + 14$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 3$

Với $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = y (2) = - 4$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại hai điểm có hoành độ $x_{0} = 2$ là $k = y^{'} (2) = - 9$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_{0} = 2$ là $y = - 9 (x - 2) - 4 = - 9 x + 14$ .

Câu 20:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 10$ trên $[- 2; 2]$ .

A. $\max_{[- 2; 2]} f (x) = 5$

B. $\max_{[- 2; 2]} f (x) = 17$

C. $\max_{[- 2; 2]} f (x) = - 15$

D. $\max_{[- 2; 2]} f (x) = 15$

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số liên tục và xác định trên $[- 2; 2]$ .

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Do đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \in [- 2; 2] \\ x = 3 \notin [- 2; 2] \end{array}$ .

Khi đó $f (- 1) = 15$ ; $f (- 2) = 8$ ; $f (2) = - 12$ . Vậy $\max_{[- 2; 2]} f (x) = 15$ .

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $2 \log_{2} (x - 1) \leq \log_{2} (5 - x) + 1$ là:

A. $[3; 5]$

B. $(1; 3]$

C. $[1; 3]$

D. $(1; 5)$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $1 < x < 5$ .

$\begin{array}{l} 2 \log_{2} (x - 1) \leq \log_{2} (5 - x) + 1 \Leftrightarrow \log_{2} {(x - 1)}^{2} \leq \log_{2} (10 - 2 x) \\ \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \leq 10 - 2 x \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3. \end{array}$

Vậy $S = (1; 3]$ .

Câu 22:

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc $45 °$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Do $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S B; \hat{(A B C D)}) = \hat{S B A} = 45 °$ .

Suy ra $S A = a \tan 45 ° = a$ .

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$ .

Câu 23:

Biết $z_{1}$ và $z_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình $z^{2} - 4 z + 10 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ .

A. $T = - 2$

B. $T = - \frac{2}{5}$

C. $T = - \frac{1}{5}$

D. $T = 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $T = \frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{z_{1}^{2} + z_{2}^{2}}{z_{1} z_{2}} = \frac{{(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2}}{z_{1} z_{2}}$ .

Theo Viet ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = 4 \\ z_{1} z_{2} = 10 \end{cases}$ nên $T = \frac{4^{2} - 20}{10} = - \frac{2}{5}$ .

Câu 24:

Đạo hàm của hàm số $y = x . e^{x + 1}$ là:

A. $y' = (1 - x) e^{x + 1}$

B. $y' = (1 + x) e^{x + 1}$

C. $y' = e^{x + 1}$

D. $y' = x e^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

y' = e^{x + 1} + x e^{x + 1} = (x + 1) e^{x + 1}

Câu 25:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; 1]$ . Tính $M + m$ ?

A. 0

B. -9

C. -10

D. -1

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = - 4 x^{3} + 4 x = 0 \Rightarrow x = 0; x = \pm 1$ .

Khi đó $f (- 2) = - 9; f (1) = 1; f (0) = - 1; f (1) = 0 \Rightarrow M + m = - 9$ .

Câu 26:

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 2; 3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 = 0$ là:

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{121}{9}$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{11}{3}$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{49}{5}$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{49}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $(P)$ .

Do đó: $R = d (I, (P)) = \frac{|1 + 2.2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ .

Phương trình mặt cầu là: $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{49}{5}$ .

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm của phương trình $4 f^{2} (x) - 1 = 0$ là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow f^{2} (x) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{2} \\ f (x) = - \frac{1}{2} \end{array}$

Phương trình $f (x) = \frac{1}{2}$ có 1 nghiệm và phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ có 3 nghiệm nên phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A có $A B = a \sqrt{3}, A C = a$ , tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Góc giữa SA và mặt phẳng đáy là

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A có , tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Góc giữa SA và mặt phẳng đáy là (ảnh 1)

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ $S H ⊥ B C \Rightarrow S H ⊥ (A B C) \Rightarrow (S \hat{A; (A B} C)) = \hat{S A H}$ .

Cạnh $A H = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = a$ và

$S H = \frac{B C \sqrt{3}}{2} = \frac{2 a . \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

$\tan \hat{S A H} = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S A H} = 60 °$ .

Câu 29:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ với $O'$ là tâm hình vuông $A' B' C' D'$ . Biết rằng tứ diện $O' B C D$ có thể tích bằng $6 a^{3}$ . Tính thể tích V của khối lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ .

A. $V = 12 a^{3}$

B. $V = 36 a^{3}$

C. $V = 54 a^{3}$

D. $V = 18 a^{3}$

Xem đáp án

Câu 30:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z - 3 i + 1| = 4$ là:

A. Đường tròn

{(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

.

B. Đường tròn

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4

.

C. Đường tròn

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16

.

D. Đường thẳng

x - 3 y = 3

.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow z - 3 i + 1 = x + 1 + (y - 3) i \Rightarrow |z - 3 i + 1| = 4 \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ là đường tròn biểu diễn số phức z.

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Do $\lim_{x \to (- 1)} y = \infty, \lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là $x = \pm 1$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ, diện tích hai phần $S_{1}, S_{2}$ lần lượt bằng 12 và 3. Giá trị của $I = \int_{- 2}^{3} f (x) d x$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ, diện tích hai phần lần lượt bằng 12 và 3. Giá trị của bằng: (ảnh 1)

A. 15

B. 9

C. 36

D. 27

Xem đáp án

Đáp án B

I = \int_{- 2}^{3} f (x) d x = S_{1} - S_{2} = 9

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , hai điểm $A (1; 3; 2), B (3; 5; - 4)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:

A. $x + y - 3 z + 9 = 0$

B. $x + y - 3 z + 2 = 0$

C. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 4}{- 3}$

D. $x + y - 3 z - 9 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

$\vec{A B} = (2; 2; - 6)$ và $I (2; 4; - 1)$ là trung điểm AB.

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB nhận vectơ $\vec{n} = (1; 1; - 3)$ và đi qua điểm I là $1 (x - 2) + 1 (y - 4) - 3 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 z - 9 = 0$ .

Câu 34:

Đường thẳng $Δ$ là giao của hai mặt phẳng $(P) : x + y - z = 0$ và $(Q) : x - 2 y + 3 = 0$ thì có phương trình là:

A. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{- 1}$

B. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$

D. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{n_{(P)}} = (1; 1; - 1), \vec{n_{(Q)}} = (1; - 2; 0)$ .

Khi đó $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{(P)}}; \vec{n_{Q}}] = - (2; 1; 3)$ .

Chọn $z = 0$ ta được $x = - 1, y = 1$ .

Vậy điểm $M (- 1; 1; 0)$ thuộc giao tuyến.

Phương trình đường thẳng giao tuyến là:

\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{3}

.

Câu 35:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm là $f' (x) = {(x - 2)}^{4} (x - 1) (x + 3) \sqrt{x^{2} + 3}$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ :

A. 6

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hàm số $y = f' (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số $(C) : y = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số

(C)

đồng biến trên khoảng

(0; 2)

.

B. Hàm số

(C)

đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

.

C. Hàm số

(C)

nghịch biến trên khoảng

(2; 4)

.

D. Hàm số

(C)

nghịch biến trên khoảng

(- 4; - 3)

.

Xem đáp án

Câu 37:

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

A. $\frac{5}{42}$

B. $\frac{37}{42}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{1}{21}$

Xem đáp án

Đáp án C

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách suy ra $n (Ω) = C_{9}^{3}$ .

Gọi A: “biến cố lấy được 3 quyển sách thuộc 3 môn khác nhau”

Ta có: $n (A) = C_{4}^{1} . C_{3}^{1} . C_{2}^{1} = 24$ .

Vậy $P (A) = \frac{24}{C_{9}^{3}} = \frac{2}{7}$

Câu 38:

Một khối đồ chơi gồm một khối nón $(N)$ xếp chồng lên một khối trụ $(T)$ . Khối trụ $(T)$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_{1}, h_{1}$ . Khối nón $(N)$ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_{2}, h_{2}$ thỏa mãn $r_{2} = \frac{2}{3} r_{1}$ và $h_{2} = h_{1}$ (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng $124 c m^{3}$ , thể tíchkhối nón $(N)$ bằng:

A. $62 c m^{3}$

B. $15 c m^{3}$

C. $108 c m^{3}$

D. $16 c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

\begin{array}{l} 124 = π . r_{1}^{2} . h_{1} + \frac{1}{3} π . r_{2}^{2} . h_{2} \Leftrightarrow 124 = π {(\frac{3}{2} r_{2})}^{2} h_{2} + \frac{1}{3} π . r_{2}^{2} . h_{2} \\ \Leftrightarrow 124 = \frac{31}{12} π . r_{2}^{2} . h_{2} \Rightarrow \frac{1}{3} π . r_{2}^{2} . h_{2} = 16 \Rightarrow V_{(N)} = 16 (c m^{3}) \end{array}

Câu 39:

Cho $\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}} = a + b \ln 2 + c \ln 3$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{5}{12}$

C. $- \frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = 2 x + 1 \Rightarrow x = \frac{t - 1}{2}, d x = \frac{1}{2} d t, I = \int_{1}^{3} \frac{t - 1}{4 t^{2}} = (\frac{1}{4} \ln t + \frac{1}{4 t}) |_{1}^{3} = \frac{1}{4} \ln 3 - \frac{1}{6}$ .

Khi đó: $a + b + c = \frac{1}{12}$ .

Câu 40:

Cho hàm số $f (a) = \frac{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{a^{- 2}} - \sqrt[3]{a})}{a^{\frac{1}{8}} (\sqrt[8]{a^{3}} - \sqrt[8]{a^{- 1}})}$ với $a > 0, a \neq 1$ . Giá trị của $M = f (2019^{2018})$ là

A. $2019^{1009}$

B. $2019^{1009} + 1$

C. $- 2019^{1009} + 1$

D. $- 2019^{1009} - 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f (a) = \frac{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{a^{- 2}} - \sqrt[3]{a})}{a^{\frac{1}{8}} (\sqrt[8]{a^{3}} - \sqrt[8]{a^{- 1}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}} (a^{\frac{- 2}{3}} - a^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{8}} (a^{\frac{3}{8}} - a^{\frac{1}{8}})} = \frac{1 - a}{a^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- (a^{\frac{1}{2}} - 1) (a^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}} - 1} = - a^{\frac{1}{2}} - 1$

Khi đó . $M = f (2019^{2018}) = - {(2019^{2018})}^{\frac{1}{2}} - 1 = - 2019^{1009 - 1}$

Câu 41:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O, S D ⊥ (A B C D), A D = a$ và $\hat{A O D} = 60 °$ . Biết SC tạo với đáy một góc $45 °$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

A. $\frac{2 a \sqrt{21}}{21}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{15}}{5}$

D. $\frac{2 a}{3}$

Xem đáp án

Câu 42:

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn điều kiện $\int_{0}^{2} \frac{f' (x) d x}{x + 2} = 3$ và $f (2) - 2 f (0) = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{f (2 x) d x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

A. $I = - \frac{1}{2}$

B. $I = 0$

C. $I = - 2$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = \frac{1}{x + 2} \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \\ v = f (x) \end{cases}$ .

Khi đó $\int_{0}^{2} \frac{f' (x) d x}{x + 2} = \frac{f (x)}{x + 2} |_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{f (x) d x}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{f (2)}{4} - \frac{f (0)}{2} + \int_{0}^{2} \frac{f (x) d x}{{(x + 2)}^{2}} = 1 + \int_{0}^{2} \frac{f (x) d x}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Suy ra $K = \int_{0}^{2} \frac{f (x) d x}{{(x + 2)}^{2}} = 2 \overset{x = 2 t}{\to} K = \int_{0}^{1} \frac{f (2 t) d 2 t}{{(2 t + 2)}^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{f (2 t) d t}{2 {(t + 1)}^{2}} = 2$ .

Vậy $\int_{0}^{1} \frac{f (2 t) d t}{{(t + 1)}^{2}} = 4$ .

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 t \\ y = t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$ trên mặt phẳng $(P) : x + y - z + 1 = 0$ .

A. $\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = - 4 + 7 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm. Gọi A là giao điểm của d và $(P)$ .

Gọi $A (- 2 t; t; - 1 - 2 t) \in d$ , cho $A \in (P) \Rightarrow - 2 t + t + 1 + 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow A (4; - 2; 3) \in Δ$ .

Áp dụng công thức nhanh ta có: $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{(P)}}; [\vec{u_{d}}; \vec{n_{(P)}}]] = (7; - 2; 5)$ .

Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là: $\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$ .

Câu 44:

Cho phương trình $2 \sqrt{\log_{3} (3 x)} - 3 \log_{3} x = m - 1$ (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên có nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 5

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có phương trình $\Leftrightarrow 2 \sqrt{1 + \log_{3} x} - 3 \log_{3} x + 1 = m$ .

Đặt $t = \sqrt{1 + \log_{3} x} \Rightarrow \log_{3} x = t^{2} - 1 (t \geq 0)$ .

Khi đó ta có: $2 t - 3 (t^{2} - 1) + 1 = m \Leftrightarrow - 3 t^{2} + 2 t + 4 = m$ .

Xét hàm số $f (t) = - 3 t^{2} + 2 t + 4$ với $t \geq 0$ ta có $f' (t) = - 6 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác $f (0) = 4, f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}, \lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ .

Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq 4$ .

Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m = \{1; 2; 3; 4\}$ .

Câu 45:

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$ cắt đường thẳng $d : y = m$ tại 4 điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ thỏa mãn $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ (như hình vẽ). Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây?

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích thỏa mãn (như hình vẽ). Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

A. $(- \frac{3}{2}; - 1)$

B. $(- 1; - \frac{1}{2})$

C. $(- \frac{1}{2}; - \frac{1}{3})$

D. $(- \frac{1}{3}; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$ cắt đường thẳng $y = m$ tại 4 điểm có hoành độ $- b, - a, a, b$ thì $b^{4} - 4 b^{2} + 2 = m$ .

Để $\begin{array}{l} S_{1} + S_{2} = S_{3} \Leftrightarrow \int_{0}^{b} (x^{4} - 4 x^{2} + 2 - m) = 0 \Leftrightarrow \frac{b^{5}}{5} - 4 \frac{b^{3}}{3} + 2 b - m b = 0 \\ \Rightarrow \frac{b^{4}}{5} - 4 \frac{b^{2}}{3} + 2 = m \Leftrightarrow \frac{b^{4}}{5} - \frac{4 b^{2}}{3} + 2 = b^{4} - 4 b^{2} + 2 \Leftrightarrow \frac{4}{5} b^{4} = \frac{8}{3} b^{2} \Rightarrow b^{2} = \frac{10}{3} \end{array}$

Khi đó $m = b^{4} - 4 b^{2} + 2 = \frac{- 2}{9}$ .

Câu 46:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = {[f (x^{2})]}^{2} - 3 f (x^{2}) + 1$ là:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $g' (x) = 2 f (x^{2}) .2 x . f' (x^{2}) - 6 x f' (x^{2}) = 4 x f' (x^{2}) . [f (x^{2}) - \frac{3}{2}]$ .

Phương trình $f' (x^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 3 \end{array} \to$ có 4 nghiệm.

Phương trình $f (x) = \frac{3}{2}$ có nghiệm x âm nên phương trình $f (x^{2}) = \frac{3}{2}$ vô nghiệm.

Do đó phương trình $g' (x) = 0$ có 5 nghiệm.

Câu 47:

Trong không gian tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = \frac{5}{6}$ , mặt phẳng $(P) : x + y + z - 1 = 0$ và điểm $A (1; 1; 1)$ . Điểm M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$ . Giá trị lớn nhất của $P = A M$ là:

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{\frac{35}{6}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên $(P)$ .

Ta có: $\vec{u_{A I}} = \vec{n_{(P)}} (1; 1; 1) \Rightarrow A E : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ , giao điểm của AI và $(P)$ là $E (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 1; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{\frac{5}{6}}$ , bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt{R^{2} - d_{(I, (P))}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên $(P) \Rightarrow I K : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = t \end{cases}$ .

Giải $1 + t - 1 + t + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow K (\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ .

Ta có $A M^{2} = A E^{2} + E M^{2}$ lớn nhất khi $E M_{\max}$ .

Mặt khác

E M_{\max} = E K + r = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow P_{\max} = \sqrt{E M_{\max}^{2} + A E^{2}} = \frac{\sqrt{210}}{6}

.

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình $m \geq f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình có nghiệm trên đoạn [-1;4] là (ảnh 1)

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện để bất phương trình $m \geq f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là $m \geq \underset{[- 1; 4]}{M i n} g (x)$

Xét hàm số $g (x) = f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ với $x \in [- 1; 4]$

Ta có: $g' (x) = \frac{1}{2} f' (\frac{x}{2} + 1) + 2 (x - 2) .$ Đặt $t = (\frac{x}{2} + 1)$

Ta thấy $x \in (2; 4) \Rightarrow t \in (2; 3) \Rightarrow f' (t) > 0 \Rightarrow g' (x) = \frac{1}{2} f' (\frac{x}{2} + 1) + 2 (x - 2) > 0$

Với $x \in (- 1; 4) \Rightarrow t \in (\frac{1}{2}; 2) \Rightarrow f' (t) < 0 \Rightarrow g' (t) < 0$

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau

Mặt khác $g (2) = f (2) + 2^{2} - 4.2 = - 5$

Suy ra $m \geq - 5$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m \in ℤ^{-} \Rightarrow m = \{- 5; - 4; - 3; - 2; - 1\}$

Câu 49:

Xét các số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Đặt $w = \frac{2 z - i}{2 + i z}$ , giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |w + 3 i|$ là

A. $P_{\max} = 2$

B. $P_{\max} = 3$

C. $P_{\max} = 4$

D. $P_{\max} = 5$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $w = \frac{2 z - i}{2 + i z} \Leftrightarrow w (2 + i z) = 2 z - i \Leftrightarrow 2 w + w i z = 2 z - i$

$w = \frac{2 z - i}{2 + i z}$

Đặt $w = x + y i \Leftrightarrow 4 x^{2} + {(2 y + 1)}^{2} = [{(y + 2)}^{2} + x^{2}] \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 y^{2} = 3 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1$ .

Vậy w thuộc đường tròn tâm $O (0; 0)$ bán kính $R = 1 \Rightarrow P_{\max} = 3 + 1 = 4$ .

Câu 50:

Cho các số thực x, y thỏa mãn $5 + {16.4}^{x^{2} - 2 y} = (5 + 16^{x^{2} - 2 y}) {.7}^{2 y - x^{2} + 2}$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{10 x + 6 y + 26}{2 x + 2 y + 5}$ . Khi đó $T = M + m$ bằng:

A. $T = 10$

B. $T = \frac{21}{2}$

C. $T = \frac{19}{2}$

D. $T = 15$

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{2} - 2 y = t \Rightarrow 5 + {16.4}^{t} = (5 + 16^{t}) {.7}^{2 - t} \Rightarrow \frac{5 + 4^{t + 2}}{7^{t + 2}} = \frac{5 + 4^{2 t}}{7^{2 t}}$

$\Rightarrow t + 2 = 2 t \Rightarrow t = 2 \Rightarrow x^{2} - 2 y = 2 \Rightarrow 2 y = x^{2} - 2$

Khi đó $P = \frac{3 x^{2} + 10 x + 20}{x^{2} + 2 x + 3} \Rightarrow (3 - P) x^{2} + 2 (5 - P) x + 20 - 3 P = 0$ .

Phương trình bậc hai ẩn x, x tồn tại khi $Δ \geq 0 \Rightarrow 2 P^{2} - 19 P + 35 \leq 0 \Rightarrow \frac{5}{2} \leq P \leq 7$ .

Vậy $M + m = 9,5$ .