32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

Câu 1:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} + 3$ tại $x_{0} = 2$ .

Xem đáp án

Giả sử là số gia của đối số tại .

Ta có: $Δ y = f (2 + Δ x) - f (2) = 2 {(2 + Δ x)}^{2} + 3 - ({2.2}^{2} + 3)$

$= 2 Δ x (Δ x + 4) .$

Tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x (Δ x + 4)}{Δ x} = 2 Δ x + 8$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 Δ x + 8) = 8.$

Vậy

f^{'} (2) = 8.

Câu 2:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại $x_{0} = 3$ .

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 3$ .

Ta có: $Δ y = f (3 + Δ x) - f (3) = \frac{2 (3 + Δ x) - 1}{3 + Δ x + 1} - \frac{5}{4} = \frac{5 + 2 Δ x}{4 + Δ x} - \frac{5}{4} = \frac{3 Δ x}{4 (4 + Δ x)};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{4 (4 + Δ x)} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3}{4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{16} .$

Vậy $f^{'} (3) = \frac{3}{16} .$

Câu 3:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại $x_{0} = 1.$

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1.$

Ta có: $Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = \sqrt{2 (1 + Δ x) - 1} - 1 = \frac{2 Δ x}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x}{Δ x (\sqrt{2 Δ x + 1} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1} = 1$ .

Vậy $f^{'} (1) = 1.$

Câu 4:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Ta có: $Δ y = f (\frac{π}{3} + Δ x) - f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3} + Δ x) - \sin \frac{π}{3} = 2 \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Vì $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = 1$ nên $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $f^{'} (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

Câu 5:

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại nhưng có đạo

hàm tại $x = 2$ .

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} {(x - 1)}^{2} = 1; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x^{2}) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x) .$

Suy ra hàm số gián đoạn tại nên không có đạo hàm tại đó.

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - 1^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f^{'} (2) = 2.$

Câu 6:

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ liên tục tại $x = - 1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Xem đáp án

Vì $f (x)$ là hàm số sơ cấp xác định tại $x = - 1$ nên nó liên tục tại đó.

Ta có: $f^{'} [{(- 1)}^{+}] = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{2 x}{x - 1} = 1;$

$f^{'} [{(- 1)}^{-}] = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} 2 = 2.$

Do đó $f^{'} [{(- 1)}^{+}] \neq f^{'} [{(- 1)}^{-}]$ nên $f (x)$ không có đạo hàm tại $x = - 1$ .

Câu 7:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ như hình vẽ.

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} .$

a, Hàm số có liên tục không?

b, Hàm số có đạo hàm không?

Cho đồ thị hàm số xác định trên khoảng như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm x1,x2,x3,x4 a, Hàm số có liên tục không? b, Hàm số có đạo hàm không? (ảnh 1)

Xem đáp án

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm $x_{1}, x_{3}$ vì đồ thị bị đứt tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại $x_{2}, x_{4}$ vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm đó.

b, Tại các điểm $x_{1}, x_{3}$ hàm số không có đạo hàm do hàm số gián đoạn tại các điểm $x_{1}, x_{3} .$

Hàm số không có đạo hàm tại $x_{2}$ vì đồ thị bị gãy (không có tiếp tuyến tại đó).

Hàm số có đạo hàm tại $x_{4}$ và vì tại $f^{'} (x_{4}) = 0$ đồ thị hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0).

Câu 8:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = x^{2}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số .

Ta có: $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = {(x + Δ x)}^{2} - x^{2}$

$= 2 Δ x . x + {(Δ x)}^{2} .$

Tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x . x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} = 2 x + Δ x .$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x .$

Vậy $f^{'} (x) = 2 x .$

Câu 9:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số x .

Ta có $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = \frac{x + Δ x}{x + Δ x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{- Δ x}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- Δ x}{Δ x . (x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Vậy $f^{'} (x) = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số y= cosx trên khoảng

(- \infty; + \infty)

?

Xem đáp án

Ta có: $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = \cos (x + Δ x) - \cos x = - 2 \sin (x + \frac{Δ x}{2}) . s i n \frac{Δ x}{2}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 2 \sin (x + \frac{Δ x}{2}) . s i n \frac{Δ x}{2}}{Δ x} = - \frac{\sin (x + \frac{Δ x}{2}) . s i n \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}}$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} - \frac{\sin (x + \frac{Δ x}{2}) . s i n \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = - \sin x .$

Vậy $f^{'} (x) = - \sin x .$

Câu 11:

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} khi x \neq 1 \\ 2 m khi x = 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2; f (1) = 2 m .$

Để hàm số có đạo hàm tại thì phải liên tục tại $x = 1$ , suy ra $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1) \Rightarrow 2 m = 2 \Rightarrow m = 1.$

Thay

m = 1

vào hàm số

f (x)

thỏa mãn có đạo hàm

x = 1

.

Câu 12:

Tìm a, b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x khi x \geq 2 \\ a x + b khi x < 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 3 x) = - 2; \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x + b) = 2 a + b$

Để hàm số có đạo hàm tại $x = 2$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$ .

Do đó $2 a + b = - 2 \Rightarrow b = - 2 a - 2$ . Ta lại có:

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} (x - 1) = 1;$

\lim_{x \to 2^{-}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x + b - (- 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x + b + 2}{x - 2} .

Do $b = - 2 a - 2$ nên $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x + b + 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x - 2 a - 2 + 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a x - 2 a}{x - 2} = a$

Để hàm số có đạo hàm tại $x = 2$ thì $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 a - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 4 \end{cases}$

Câu 13:

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} c o s x, x \geq 0 \\ - \sin x, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Xem đáp án

Ta có:

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} c o s x = 1; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- \sin x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ .

Suy ra hàm số gián đoạn tại $x = 0$ nên không có đạo hàm tại đó.

Câu 14:

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Xem đáp án

Điều kiện cần

Ta có $f (1) = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3}$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x + b) = a + b .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Do đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow a + b = \frac{1}{3} .$

Điều kiện đủ: $f^{'} (1^{+}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{3} = 1.$

$f^{'} (1^{-}) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x + b - (a + b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x - a}{x - 1} = a .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f^{'} (1^{+}) = f^{'} (1^{-}) \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - \frac{2}{3} .$

Vậy

a = 1; b = - \frac{2}{\begin{array}{l} 3 \end{array}}

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu 15:

Số gia của hàm số $f (x) = x^{3}$ tại điểm $x_{0} = 1$ ứng với $Δ x = 1$ là

A. 0.

B. 1.

C. 7.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $Δ y = f (2) - f (1) = 2^{3} - 1^{3} = 7.$

Câu 16:

Biểu thức $Δ y$ và $\frac{Δ y}{Δ x}$ của hàm số $y = x^{2} - 1$ tính theo $x$ và $Δ x$ là

A.

Δ y = 0, \frac{Δ y}{Δ x} = 0.

B.

Δ y = {(Δ x)}^{2} + 2 x . Δ x, \frac{Δ y}{Δ x} = Δ x + 2 x .

C.

Δ y = 2 x . Δ x + {(Δ x)}^{2} - 2, \frac{Δ y}{Δ x} = 2 x + Δ x .

D.

Δ y = {(Δ x)}^{2}, \frac{Δ y}{Δ x} = Δ x .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = {(x + Δ x)}^{2} - 1 - (x^{2} - 1) = 2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}; \frac{Δ y}{Δ x} = 2 x + Δ x .

Câu 17:

Đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ tại điểm $x_{0} = - 1$ là

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $Δ y = 2 (- 1 + Δ x) + 1 - (2 (- 1) + 1) = 2 Δ x \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = 2.$ Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 2 = 2.$

Vậy $y^{'} (- 1) = 2.$

Câu 18:

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

A.

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x] .

B. $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x - {x_{0}}^{2} + x_{0}] .$

C.

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [2 x_{0} Δ x + {(Δ x)}^{2} - Δ x] .

D. .

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [Δ x + 2 x_{0} - 1]

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $y = f (x) = x^{2} - x$ . Gọi $Δ x$ là số gia của đối số tại x .

Ta có $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = [{(x_{0} + Δ x)}^{2} - (x_{0} + Δ x)] - [{x_{0}}^{2} - x_{0}] = {(Δ x)}^{2} + 2 x_{0} Δ x - Δ x .$

Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (Δ x + 2 x_{0} - 1)$ .

Vậy $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} (Δ x + 2 x_{0} - 1) .$

Câu 19:

Đạo hàm của hàm số

y = x^{2} + x

tại điểm

x_{0} = 1

là

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = {(1 + Δ x)}^{2} + (1 + Δ x) - (1^{2} + 1) = 3 Δ x + Δ x^{2}$ ; suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 + Δ x) = 3.$

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x} .$ Giá trị của $y^{'} (2)$ bằng

A.

- \frac{1}{4} .

B.

- \frac{1}{x^{2}} .

C.

\frac{1}{2} .

D.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $Δ y = \frac{1}{2 + Δ x} - \frac{1}{2} = \frac{- Δ x}{(2 + Δ x) 2} \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 1}{(2 + Δ x) 2} .$ Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(2 + Δ x) 2} = - \frac{1}{4} .$

Vậy $y^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ .

Câu 21:

Giá trị đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại điểm $x_{0} = 5$ là

A. 9.

B. 6.

C.

\frac{1}{3} .

D.

\frac{1}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $Δ y = f (5 + Δ x) - f (5) = \sqrt{9 + 2 Δ x} - 3$ ; suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{\sqrt{9 + 2 Δ x} - 3}{Δ x} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{9 + 2 Δ x - 3^{2}}{Δ x (\sqrt{9 + 2 Δ x} + 3)} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{9 + 2 Δ x} + 3} = \frac{1}{3}$

Vậy $y^{'} (5) = \frac{1}{3} .$

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x) = x + |x|$ . Giá trị $f^{'} (0)$ bằng

A. 2.

B. 0

C. -1.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + |x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + x}{x} = 2, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x + |x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - x}{x} = 0.$

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x_{0} = 0.$

Câu 23:

Cho hàm số $f (x)$ xác định bởi $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0 \end{cases} .$ Giá trị $f^{'} (0)$ bằng

A. 0

B. 1.

C.

\frac{1}{2}

.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2} .$

Câu 24:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sin^{2} x}{x} khi x > 0 \\ x + x^{2} khi x \leq 0 \end{cases}$ tại $x_{0} = 0$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{\sin x}{x} . s i n x) = 0; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + x^{2}) = 0$ nên hàm số liên tục tại $x = 0$ .

Ta lại có: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} = 1$ và $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x + x^{2}}{x} = 1.$

Vậy $f^{'} (0) = 1.$

Câu 25:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại x=-1.

B. Hàm số f(x) liên tục tại x=-1 nhưng không có đạo hàm tại x=-1 .

C. Hàm số f(x) không liên tục tại x=-1.

D. Hàm số f(x) có tập xác định là R.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ có tập xác định là $D = ℝ \ \{1\}$ .

Ta có $\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1} = - 1 = f (- 1)$ nên hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

Ta có $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1} = \{\begin{cases} 2 x + 1 khi x \leq - 1 \\ \frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1} khi x > - 1, x \neq 1 \end{cases}$ nên

$\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{2 x + 1 - (- 1)}{x + 1} = 2$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1} - (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{2 x}{x - 1} = 1.$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)}$ . Do đó hàm số không có đạo hàm tại $x = - 1$ .

Câu 26:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 3 khi x \geq 1 \\ \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4}{x - 1} khi x < 1 \end{cases}$ tại $x_{0} = 1$ bằng

A. 0.

B. 4.

C. 5.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2 x + 3) = 5$

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Suy ra $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ hàm số không liên tục tại $x = 1$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x_{0} = 1$ .

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = c$ ( c là hằng số) trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ bằng

A.

y^{'} = 0.

B.

y^{'} = c .

C.

y^{'} = 1.

D. $y^{'} = x .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{c - c}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 0 = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 0.$

Câu 28:

Đạo hàm của hàm số $y = f (x) = \frac{1}{x}$ trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ bằng

A.

y^{'} = \frac{1}{x}

B.

y^{'} = 0.

C.

y^{'} = x .

D. $y^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x + Δ x) x} = - \frac{1}{x^{2}} .$ Vậy $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} .$

Câu 29:

Đạo hàm của hàm số $y = f (x) = \sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng

A.

y^{'} = \frac{1}{\sqrt{x}} .

B.

y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

C.

y^{'} = \sqrt{x} .

D.

y^{'} = 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sqrt{x + Δ x} - \sqrt{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + Δ x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} .$

Câu 30:

Giá trị của m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 4}{x - 2}, khi x \neq 2 \\ m khi x = 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$ bằng

A.

m = 3.

B.

m = 4.

C.

m = 1.

D.

m = 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta dễ dàng chứng minh được $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = 4.$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì $\lim_{x \to 2} f (x) = f (2) = 4 \Leftrightarrow m = 4.$

Mặt khác $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{2} - 4}{x - 2} - 4}{x - 2} = 1.$

Vậy với thì hàm số dã cho có đạo hàm tại $x = 2$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = \{\begin{cases} x^{2} + a x + b khi x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8 x + 10 khi x < 2 \end{cases},$ biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 2$ .

Giá trị của ab bằng

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. -8.

Xem đáp án

Đáp án D

Để hàm số có đạo hàm tại thi hàm số phải liên tục tại .

Do đó $\lim_{x \to 2^{-}} (x^{3} - x^{2} - 8 x + 10) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} + a x + b) \Leftrightarrow - 2 = 4 + 2 a + b \Leftrightarrow 2 a + b = - 6.$

Hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 2$ nên

$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow 4 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 4.$

Suy ra $a = 2$ . Vậy $a b = - 8.$

Câu 32:

Nếu hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x + 1} khi x \geq - 1 \\ a x^{2} + a x + b khi x < - 1 \end{cases}$ có đạo hàm trên R thì giá trị $a + b$ là

A. -1.

B. 4.

C. 1.

D. -4

Xem đáp án

Đáp án B

Với $x \neq - 1$ hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi $x \in ℝ$ thì hàm số phải có đạo hàm tại $x = - 1$ .

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x + 1} = 0; \lim_{x \to - 1^{-}} (a x^{2} + a x + b) = b$ . Để hàm số liên tục tại $x = - 1$ thì

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (- 1) = 0 \Leftrightarrow b = 0$

Với $b = 0; a \in ℝ$ , ta có:

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{\frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x + 1} - 0}{x + 1} = 4; \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{a x^{2} + a x - 0}{x + 1} = - a .$

Hàm số có đạo hàm tại điểm khi và chỉ khi:

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = 4 \Rightarrow a = - 4.$

Vậy $a = - 4, b = 0 \Rightarrow a + b = - 4.$