Thứ bảy, 20/07/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án

  • 1248 lượt thi

  • 30 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0.

a, un=1n3n+2.

Xem đáp án

a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có

 un=1n3n+2=13n+2<13n<ε

 n>131ε2.

Đặt n0=1+13ε  thì n0*  un<ε,nn0.

Vậy  limun=0.


Câu 2:

Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0.

b, un=sin4nn+3.

Xem đáp án

b) Ta có n*thì

 sin4n1un=sin4nn+31n+31n=1n.

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước  thì lim1nk=0" ta được  lim1n=0.

Từ đó suy ra limun=0.   

Câu 3:

Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.

un=1+sinn44n+5.

Xem đáp án

Ta có n*  thì sinn41un=1+sinn44n+524n+524n=12n  .

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim1nk=0 ” ta được lim1n=0.Từ đó suy ra  limun=0.


Câu 4:

Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.

un=1n2n+115n1.

Xem đáp án

Ta có  un=1n2n+115n+112n+1+15n+1<12n+1+12n+1=12n,n.

 lim12n=lim12n=0.

Từ đó suy ra limun=0.


Câu 5:

Chứng minh rằng: lim1n+1=0.

Xem đáp án

Ta có 0<1n+1<1n   lim1n=0.

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 6:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.

un=2n+32n.

Xem đáp án

Ta có  2n+32n2n+3+2n=2n+322n2=3

 2n+32n=32n+3+2n.

32n+3+2n<32n+2n=322n<3n    lim3n=0.

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 7:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
un=n+2n2
Xem đáp án

Ta có  n+2n2n+2+n2=n+2n2=4

n+2n2=4n+2+n2. 

4n+2+n2<2n2    lim2n2=0.

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 8:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.

a, un=cosnn+4.

Xem đáp án

a) Ta có cosnn+4<1n+4<1n    lim1n=0. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 9:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.

c, un=cosnπ54n.

Xem đáp án

b) Ta có 1ncosnn2+1<cosnn2+1<1n2+1<1n2    lim1n=0.

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 10:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
c, un=1ncosnn2+1.
Xem đáp án

c) Ta có cosnπ54n<14n=14n  lim14n=0  (do14<1 ).

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 11:

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
d, un=sinnπ51,01n
Xem đáp án

d) Ta cósinnπ51,01n<11,01n=11,01n  lim11,01n=0.

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 12:

Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.

a, lim2n+3n4n=0.

Xem đáp án

a) Ta có lim2n+3n4n=lim24n+lim34n=0+0=0  (do 24<1  34<1 ).

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.


Câu 13:

Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.

b, limann!=0.

Xem đáp án

b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m+1>a  . Khi đó với mọi  n>m+1.

Ta có 0<ann!=a1.a2...am.am+1...an<amm!.am+1nm .

limam+1nm=0 amm!am . Từ đó suy ra  limann!=0.


Câu 14:

Cho dãy số un với  un=n3n.

 a) Chứng minh rằng un+1un23  với mọi n.

Xem đáp án

a) Với mọi n ta có  un+1un=n+13n+1:n3n=n+13n2n3n=23.

ta được điều phải chứng minh.


Câu 15:

b) Chứng minh rằng  0<un23n với mọi n.

Xem đáp án

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 0<un23n;n*

Ÿ n=1 ta có 0<u1=13<23  , suy ra (*) đúng với  n=1

Ÿ Giả sử (*) đúng với n=k  tức là 0<k3k23k  . Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k+1

 Thật vậy,uk+1=k+13k+1>0 . Mặt khác  uk+123ukuk+123.23k=23k+1.

Ta được điều phải chứung minh.


Câu 16:

c) Chứng minh rằng dãy số un  có giới hạn 0.

Xem đáp án

c) Do 0<un23n lim23n=0  nên  limun=0.

Ta được điều phải chứng minh.


Câu 17:

Tính giới hạn sau:  lim1n+1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Tính giới hạn sau: lim 1/n+1 (ảnh 1)

Ÿ Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?”

Tính giới hạn sau: lim 1/n+1 (ảnh 2)

Ÿ Nhập: x=9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Tính giới hạn sau: lim 1/n+1 (ảnh 3)


Câu 18:

Tính giới hạn sau:lim1nn+5 .

Xem đáp án

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

        Tính giới hạn sau: lim (-1)^n /n +5. (ảnh 1)

Ÿ Sau đó bấm CALC.

       

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n /n +5. (ảnh 2)

   

Ÿ Nhập x=9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

        

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n /n +5. (ảnh 3)

Kết quả:9,999999996.1011  là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy  lim1nn+5=0.


Câu 19:

Tính giới hạn sau: lim1n.cosnn2+1.  

Xem đáp án

Ÿ Nếu ta nhập 1n.cosnn2+1 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu unvn  với mọi nlimvn=0  thì  limun=0.

Ta có đánh giá sau:1n.cosnn2+1<cosnn2+1<1n2+1 , ta chỉ cần ghi 1n2+1 vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

    

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 1)

    

Ÿ Sau đó bấm CALC.

        

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 2)

Ÿ Nhập:x=9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

        

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 3)

Kết quả: 1.1020 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy  lim1n.cosnn2+1=0.


Câu 20:

Tính giới hạn sau lim1n2n+1.  
Xem đáp án

  Ÿ Nếu ta nhập 1n2n+1 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh nên sẽ không tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

     

Tính giới hạn sau lim (-1)^n/ 2^n +1  (ảnh 1)

Ÿ Bấm CALC.

        

Tính giới hạn sau lim (-1)^n/ 2^n +1  (ảnh 2)

Ÿ Nhâp: x=100, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

        

Tính giới hạn sau lim (-1)^n/ 2^n +1  (ảnh 3)

Kết quả:  7,888609052.1031là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy  lim1n2n+1=0.


Câu 21:

Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn 0?

Xem đáp án

Ta có 42+5<1  nên lim42+5n=0.

Chọn đáp án C 


Câu 22:

Dãy số  với un=1.cos5n3n  có giới hạn bằng

Xem đáp án

Ta có 01.cos5n3n=cos5n3n<13n=13n  lim13n=0  nên lim1n+13n+5=0.

Chọn đáp án D


Câu 23:

Giới hạn limsinπn63n2+1  bằng 
Xem đáp án

Ta có 0sinπn63n2+1<13n2+1<13n2  lim13n2=0  nên limsinπn63n2+1=0. 


Câu 24:

Giới hạn lim1n+13n+5  bằng

Xem đáp án

Ta có 01n+13n+5=1n3n+5<13n+5<13n lim13n=0  nên lim1n+13n+5=0. 

Chọn đáp án D


Câu 25:

Giới hạn lim2+1nn+2  
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có 2+1nn+22=1nn+2 1nn+2<1n,n  lim1n=0. 

 Suy ra lim2+1nn+22=0lim2+1nn+2=2. 

Câu 26:

Giới hạn limn2n+3n3+2n  bằng

Xem đáp án

Ta có n2n+3n3+2n=n211n+3n2n31+2n2=1n.11n+3n21+2n2 lim1n=0;lim11n+3n21+2n2=1. 

Suy ra limn2n+3n3+2n=0. 

Chọn đáp án B


Câu 27:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào có giới hạn 0?

          (1): 1nn+5;   (2):  sinnn+5;   (3):  cos2nn+1; (4):      n2+2nn+1;      (5):  1n.cosnn2+2.

Xem đáp án

Dễ dàng nhận thấy các các phương án (1); (2); (3); (5) đều có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.

Ta xét phương án:

(4): n2+2nn+1=n2+2n2+1=n21+2n2n21+1n2=1+2n21+1n2, lim1+2n21+1n2=1. 

Vậy phương án (4) không thỏa mãn.

Chọn đáp án C


Câu 28:

Xét các câu sau:

(1) Ta có  lim13n=0;

(2) Ta có lim1nk=0 , với k là số nguyên tùy ý.

Xem đáp án

Dễ dàng nhận thấy phương án (1) hoàn toàn chính xác do: 13<1 nên lim13n=0. 

Phương án (2) là sai, vì lim1nk=0  khi k là số nguyên dương k+. Vậy phương án (2) sai.


Câu 29:

Cho dãy số un  được xác định un=m,m12nun+1=2nun1,n*.

Tham số m để dãy số un  có giới hạn bằng 0 là

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có 2nun+1=2n.un1un+1=un12n. 

Chứng minh: un21n (bằng quy nạp).

* Với n=1  ta có u1=m1=20. 

* Giả sử uk>21k (với k>1)

* Cần chứng minh: uk+1>2k. 

Ta có uk+1=uk2k>21k2k=2k . Suy ra điều phải chứng minh.

Từ đó suy ra un2n>0 với mọi nun+1=un12n. 

Ta có u2=u112;u3=u2122;u4=u3123;...;un=un112n1

un=u112+122+123+...+12n1. 

Công thức tổng quát un=m12.112n112=m1+12n1 

limun=0limm1+lim12n1=0 

 


Câu 30:

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Dễ dàng chứng minh được các đáp án A, B và D có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.

Ta xét phương án C:

2n+1n=n2+1nn=2+1n, mà lim2+1n=20. Vậy phương án C không thỏa mãn.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương