Thứ bảy, 20/07/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án

  • 1930 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 13:

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

 I    kA;IInAn+1A,nk

Lúc đó ta có

Xem đáp án

Chọn C

(I)kA: số nguyên dương k thuộc tập A.

(II)nAn+1A,nk: nếu số nguyên dương n   nk thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

Câu 15:

Với mọi n*, khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn D

Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.

Ta có 22+42+62+...+2n2=2nn+12n+13 mới là kết quả đúng.


Câu 16:

Cho Sn=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1 với n*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Chọn B

Ta có S1=12,S2=23,S3=34dự đoán Sn=nn+1

Với n=1 ta được S1=11.2=11+1 (đúng)

Giả sử mệnh đề đúng khi n=kk1 tc là 11.2+12.3+...+1k(k+1)=kk+1

Ta có:

11.2+12.3+...+1kk+1=kk+111.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=kk+1+1k+1k+211.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=k2+2k+1k+1k+211.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=k+1k+2

Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1


Câu 17:

Cho dãy số (un ) với u1=1un+1=un+12n.  Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Xem đáp án

Chọn D

Ta có un+1=un+12n=un+1u2=2;u3=3;u4=4;...

Dễ dàng dự đoán được un=n   

Thật vậy, ta chứng minh được un=n  (*) bằng phương pháp quy nạp như sau

Với n=1u1=1. Vậy (*) đúng với n=1.

Giả sử (*) đúng với n=k  k*, ta có uk=k 

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1, tức là uk+1=k+1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk+1=uk+12k=k+1

Vậy (*) đúng với mọi n*. Số hạng tổng quát của dãy số là un=n


Câu 18:

Cho dãy xác định bởi công thức u1=3un+1=12un,n*.  Số hạng tổng quát của dãy un  
Xem đáp án

Chọn A

Ta có u1=3;u2=12u1=32;u3=12u2=322;...

Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là un=32n1

Thật vậy, n=1 thì u1=3 (đúng).

Giả sử với n=k  k1 thì uk=32k-1. Ta đi chứng minh uk+1=32k

Ta có uk+1=12uk=12.32k1=32k (điều phải chứng minh).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un=32n1


Câu 19:

Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2  un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn)

Xem đáp án

Chọn B

Chứng minh un2vn=212n    (1)

Ta có un=2vn=un12+2vn1222un1vn1=un12vn12

Mặt khác u12v1=322=212 nên  (1) đúng với n=1

Giả sử uk2vk=212k, ta có uk12vk+1=u2vk2=212k+1

Vậy (1) đúng với n1

Ta có un+2vn=2+12n

Do đó ta suy ra 2un=2+12n+212n22vn=2+12n212nun=122+12n+212nvn=1222+12n212n

Câu 20:

Cho dãy số (un)  xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,n1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là
Xem đáp án

Chọn B

Do 0<α<π nên u2=1+cosα2=cos2α2=cosα2;u3=1+cosα22=cos2α2=cosα4

Vậy u=cosα2n1 với mọi n*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với n=1 thì u1=cosα (đúng).

Giả sử với n=k* ta có uk=cosα2k1. Ta chứng minh uk+1=cosα2k1

Thật vậy uk+1=1+uk2=1+cosα2k12=cos2α2k=cosα2k 

Từ đó ta có u2020=cosα22019

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương