46 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 1: Vectơ trong không gian

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng vectơ AC (ảnh 1)

Ta có $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D}$

$\Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C}$ (đẳng thức này đúng).

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD

nên $\{\begin{cases} \vec{A M} + \vec{B M} = 0 \\ \vec{N C} + \vec{N D} = 0 \end{cases}$

Do đó $\vec{A D} + \vec{B C} = (\vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N B}) + (\vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D})$

$= (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{N B} + \vec{N D}) + 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A A^{'}}$

Xem đáp án

a) Ta có

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của (ảnh 1)

+) $\vec{A B} = \vec{D C} = \vec{A^{'} B^{'}} = \vec{D^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A D} = \vec{B C} = \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{B^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}} = \vec{D D^{'}}$

Câu 3:

Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ $\vec{B C}$ .

Xem đáp án

Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các vectơ luôn có độ dài bằng độ dài của vectơ $\vec{B C}$ là $\vec{B C}, \vec{C B}, \vec{A D}, \vec{D A}, \vec{A^{'} D^{'}}, \vec{D^{'} A^{'}}, \vec{B^{'} C^{'}}, \vec{C^{'} B^{'}}$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Chứng minh vectơ SA + vectơ SC (ảnh 1)

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.

Do đó $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}$ và $\vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$

Vậy $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Câu 5:

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì

{\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}

Xem đáp án

b) Ta có ${\vec{S A}}^{2} = {(\vec{S O} + \vec{O A})}^{2} = {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + 2 \vec{S O} . \vec{O A}$ ,

${\vec{S C}}^{2} = {(\vec{S O} + \vec{O C})}^{2} = {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{S O} . \vec{O C}$

Suy ra ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = 2 {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{S O} (\vec{O A} + \vec{O C})$

$= 2 ({\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2})$ (vì $\vec{O A}$ và $\vec{O C}$ là hai vectơ đối nhau nên $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ )

$= 2 (S O^{2} + O A^{2})$

Tương tự ${\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2} = 2 (S O^{2} + O B^{2})$

Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB

Suy ra ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Câu 6:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho $A M = 2 M D, B C = 3 N C$ . Chứng minh ba vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM = 2MD (ảnh 1)

Ta có $\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N} \\ 2 \vec{M N} = 2 (\vec{M D} + \vec{D C} + \vec{C N}) \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được $3 \vec{M N} = (\vec{M A} + 2 \vec{M D}) + (\vec{B N} + 2 \vec{C N}) + (\vec{A B} + 2 \vec{D C})$

Do $\vec{M A} + 2 \vec{M D} = \vec{0}, \vec{B N} + 2 \vec{C N} = \vec{0}$ nên $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{C D}$

Vậy $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho $S A = a . S A^{'}, S B = b . S B^{'}, S C = c . S C^{'}$ , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $a + b + c = 3$ .

Xem đáp án

Từ giả thiết ta suy ra $\vec{S A} = a . \vec{S A^{'}}, S \vec{B} = b . \vec{S B^{'}}, \vec{S C} = c . \vec{S C^{'}}$

Gọi G là trọng tâm của tam giác $Δ A B C$ . Ta có $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S G}$

$G \in (A^{'} B^{'} C^{'}) \Leftrightarrow \vec{S G} = x . \vec{S A^{'}} + y . \vec{S B^{'}} + z . \vec{S C^{'}}$ với $x + y + z = 1$

$\Leftrightarrow 3 \vec{S G} = 3 x . \vec{S A^{'}} + 3 y . \vec{S B^{'}} + 3 z . \vec{S C^{'}}$ với $x + y + z = 1$

$\Leftrightarrow a . \vec{S A^{'}} + b . \vec{S B^{'}} + c . \vec{S C^{'}} = 3 x . \vec{S A^{'}} + 3 y . \vec{S B^{'}} + 3 z . \vec{S C^{'}}$

$\Leftrightarrow (a - 3 x) . \vec{S A^{'}} + (b - 3 y) . \vec{S B^{'}} + (c - 3 z) . \vec{S C^{'}} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow a - 3 x = b - 3 y = c - 3 z = 0$ (do $\vec{S A^{'}}, \vec{S B^{'}}, \vec{S C^{'}}$ không đồng phẳng)

+) Nếu $G \in (A^{'} B^{'} C^{'})$ ta có $a - 3 x = b - 3 y = c - 3 z = 0$ (với $x + y + z = 1$ ).

Do đó $a + b + c = 3$

+) Nếu $a + b + c = 3$ , ta đặt $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$ thì

$x + y + z = \frac{a + b + c}{3} = 1$ và $a - 3 x = b - 3 y = c - 3 z = 0$

Do đó $G \in (A^{'} B^{'} C^{'})$

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

\vec{M A} = - 2 \vec{M B}, \vec{N D} = - 2 \vec{N C}

; các điểm I, J, K lần lượt thuộc

A D, M N, B C

sao cho

\vec{I A} = k . \vec{I D}, \vec{J M} = k . \vec{J N}, \vec{K B} = k . \vec{K C}

. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho vectơ MA = -2 vectơ MB (ảnh 1)

Ta có $\vec{M A} = - 2 \vec{M B}$ nên với điểm O bất kỳ thì $\vec{O M} = \frac{\vec{O A} + 2 \vec{O B}}{3}$

Tương tự, ta chỉ ra được

$\vec{O N} = \frac{\vec{O D} + 2. \vec{O C}}{3}, \vec{O I} = \frac{\vec{O A} - k . \vec{O D}}{1 - k}, \vec{O K} = \frac{\vec{O B} - k . \vec{O C}}{1 - k}, \vec{O J} = \frac{\vec{O M} - k . \vec{O N}}{1 - k}$

Ta có $\vec{O J} = \frac{1}{1 - k} . \frac{1}{3} (\vec{O A} + 2 \vec{O B} - k . \vec{O D} - 2 k . \vec{O C})$

$= \frac{1}{1 - k} . \frac{1}{3} [(1 - k) \vec{O I} + 2 (1 - k) \vec{O K}]$

$= \frac{1}{3} (\vec{O I} + 2 \vec{O K}) = \frac{1}{3} \vec{O I} + \frac{2}{3} \vec{O K}$

Suy ra $\frac{1}{3} (\vec{O I} - \vec{O J}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} - \vec{O J}) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \vec{J I} + \frac{2}{3} \vec{J K} = 0 \Leftrightarrow \vec{I J} = 2 \vec{J K}$

Suy ra I, J, K thẳng hàng.

Câu 9:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác $B D A^{'}, C B^{'} D^{'}$ . Chứng minh các điểm $A, G, G^{'}, C^{'}$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA', CB'D'. Chứng (ảnh 1)

Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A^{'}} = \vec{c}$

Ta có $\vec{A C^{'}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ (quy tắc hình hộp).

Theo quy tắc trọng tâm, ta có $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{A G^{'}} = \frac{1}{3} (\vec{A C} + \vec{A B^{'}} + \vec{A D^{'}}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{2}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Vậy $\vec{A C^{'}} = 3 \vec{A G} = \frac{3}{2} \vec{A G^{'}}$ nên các điểm $A, G, G^{'}, C^{'}$ thẳng hàng.

Câu 10:

Cho bốn vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}

bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\vec{a} = \vec{b}$ và $\vec{c} = \vec{d} \Rightarrow \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

B. $|\vec{a}| = |\vec{b}| \Leftrightarrow \vec{a} = \pm \vec{b}$

C. $\vec{a} - \vec{c} = \vec{b} - \vec{d} \Leftrightarrow \vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{a} = - \vec{b}$ và $\vec{c} = - \vec{d} \Rightarrow \vec{a} - \vec{d} = \vec{c} - \vec{b}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Với ABC là tam giác đều ta có $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ nhưng $\vec{A B} \neq \vec{A C}$ và $\vec{A B} \neq - \vec{A C}$ nên B sai.

Câu 11:

Trong không gian cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Cho các khẳng định sau.

(1) Nếu các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ thuộc một mặt phẳng nào đó.

(2) Nếu các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương.

(3) Nếu tồn tại hai số thực m, n sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ thì các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

(4) Nếu các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì giá của chúng song song với mặt phẳng nào đó.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Khẳng định (1) sai vì khi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì giá của chúng luôn song song với mặt mặt phẳng.

Khẳng định (2) sai vì các vectơ đồng phẳng không yêu cầu là phải cùng phương.

Khẳng định (3) và (4) đúng theo điều kiện và định nghĩa ba vectơ đồng phẳng.

Câu 12:

Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn

S = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - 2 k {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}

?

A. $k = \frac{1}{4}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{2}$

D. k = 1

Xem đáp án

Chọn đáp án C

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} . \sqrt{A B^{2} . A C^{2} \sin^{2} A} = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} (1 - \cos^{2} A)}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - A B^{2} . A C^{2} \cos^{2} A} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

Vậy $k = \frac{1}{2}$

Câu 13:

Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?

A. $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{D B}$

B. $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A B} + \vec{C D}$

C. $\vec{A D} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{D C}$

D. $\vec{B A} + \vec{C D} = \vec{B D} + \vec{C A}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

A sai vì $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{D B} \Leftrightarrow \vec{C A} + \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{D C} \Leftrightarrow \vec{C D} = \vec{D C} (s a i)$

B sai vì $\vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + \vec{C D} \Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A B} = \vec{C D} + \vec{D B} \Leftrightarrow \vec{B C} = \vec{C B} (s a i)$

C sai vì $\vec{A D} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{D C} \Leftrightarrow \vec{A D} - \vec{A B} = \vec{D C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{B D} = \vec{D B} (s a i)$

D đúng vì $\vec{B A} + \vec{C D} = \vec{B D} + \vec{C A} \Leftrightarrow \vec{B A} - \vec{B D} = \vec{D C} + \vec{C A} \Leftrightarrow \vec{D A} = \vec{D A}$ (đúng)

Câu 14:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Từ $\vec{A B} = 3 \vec{A C}$ ta suy ra $\vec{B A} = - 3 \vec{C A}$ .

B. Từ $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ ta suy ra $\vec{C B} = 2 \vec{A C}$ .

C. Nếu $\vec{A B} = - 2 \vec{A C} + 5 \vec{A D}$ thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.

D. Nếu $\vec{A B} = - \frac{1}{2} \vec{B C}$ thì B là trung điểm của đoạn AC.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có $\vec{A B} = 3 \vec{A C} \Rightarrow - \vec{B A} = - 3 \vec{C A} \Rightarrow \vec{B A} = 3 \vec{C A} \neq - 3 \vec{C A}$ . Từ đó phương án A sai.

Ta có $\vec{A B} = - 3 \vec{A C} \Rightarrow \vec{C B} - \vec{C A} = 3 \vec{C A} \Rightarrow \vec{C B} = 4 \vec{C A} \neq 2 \vec{A C}$ . Từ đó phương án B sai.

Ta có $\vec{A B} = - 2 \vec{A C} + 5 \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng $\Rightarrow A, B, C, D$ đồng phẳng (C đúng).

Phương án D sai vì nếu B là trung điểm của đoạn thẳng AC thì $\vec{A B} = \vec{B C}$ mà $\vec{B C} \neq - \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Câu 15:

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.

A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có $\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ .

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A

+) $\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C} \Leftrightarrow \vec{S B} - \vec{S A} = \vec{S C} - \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành (A đúng).

+) $\vec{A B} = \vec{C D}$ ta phải suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành chứ không phải ABCD (B sai).

+) C sai vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ đúng với mọi vị trí của A, B, C, D .

+) D sai vì với $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ thì AD là đường chéo của hình bình hành ABCD.

Câu 16:

Cho

|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5

, góc giữa

\vec{a}

và

\vec{b}

bằng 120⁰. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. $|\vec{a} - \vec{b}| = 7$

B. $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}$

C. $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 9$

D. $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{139}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2 |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 3^{2} + 5^{2} + 2.3.5. c o s 120 ° = 19$

Suy ra $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}$

Câu 17:

Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$

B. $\vec{O M} = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$

C. $\vec{O M} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$

D. $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A D}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có O là trọng tâm tam giác $Δ B C D$ nên $\vec{B O} + \vec{C O} + \vec{D O} = \vec{0}$ (1)

Ta có: $\vec{A O} = \vec{A B} + \vec{B O}; \vec{A O} = \vec{A C} + \vec{C O}; \vec{A O} = \vec{A D} + \vec{D O}$

Từ (1) suy ra $3 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} \Rightarrow \vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

Suy ra $\vec{O A} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ (2)

Mà $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{A M} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$

Câu 18:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Khi đó ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n là duy nhất.

B. Nếu có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.

D. Ba tia $O x, O y, O z$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

C sai vì chỉ cần ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Câu 19:

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{O B} = k \vec{B A}$ .

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{O B} = k (\vec{O B} - \vec{O A})$ .

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{O M} = k \vec{O A} + (1 - k) \vec{O B}$ .

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

A, B sai vì $\vec{O M} = \vec{O B} \Leftrightarrow M \equiv B$ và $O, M, B, A$ thẳng hàng mà O là điểm bất kì.

C đúng vì $\vec{O M} = k \vec{O A} + (1 - k) \vec{O B} \Leftrightarrow \vec{O M} - \vec{O B} = k (\vec{O A} - \vec{O B}) \Leftrightarrow \vec{B M} = k . \vec{B A}$

D sai vì $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} \Leftrightarrow O A M B$ là hình bình hành. Khi đó $M \notin A B$ .

Câu 20:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị

\vec{A B} . \vec{C^{'} A^{'}}

bằng

A. $- a^{2}$

B. $- a^{2} \sqrt{2}$

C. $a^{2} \sqrt{2}$

D. $a^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có: $\vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C^{'} A^{'}} = - \vec{A^{'} B^{'}} . \vec{A^{'} C^{'}} = - (a^{2} \sqrt{2} \cos \frac{π}{4}) = - a^{2}$

Câu 21:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì có $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ với m, n là các số duy nhất.

C. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng khi có $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với $\vec{d}$ là vectơ bất kì.

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

A sai khi $\vec{a}, \vec{b}$ có giá cùng nằm trong (P), còn $\vec{c}$ có giá song song với (P)

B sai với ba vectơ $\vec{a}, \vec{0}, \vec{c}$ ta có $\vec{0} = \vec{0} . \vec{a} + \vec{0} . \vec{c}$ thì $\vec{a}, \vec{0}, \vec{c}$ đồng phẳng nhưng $\vec{c} = m . \vec{a} + n . \vec{0}$ chỉ đúng khi $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương với nhau.

C sai vì với 3 vectơ $\vec{d}, \vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ đồng phẳng với nhau ta có $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Khi đó $\vec{d} = (m - 1) \vec{a} + n \vec{b} + \vec{a}$

Đặt $\vec{c} = \vec{a}$ thì $\vec{d} = (m - 1) \vec{a} + n \vec{b} + \vec{c}$ nhưng $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ lại đồng phẳng với nhau.

Vậy cả ba khẳng định trên đều sai.

Câu 22:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Vì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}$ nên N là trung điểm của đoạn MP.

B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có $O I = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

C. Từ hệ thức $\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}$ ta suy ra ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng.

D. Vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ nên bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Phương án D sai do đẳng thức $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ luôn đúng với vị trí bất kì trong không gian của bốn điểm $A, B, C, D$ nên không đủ điều kiện để khẳng định $A, B, C, D$ đồng phẳng.

Câu 23:

Cho tứ diện SABC. Đặt

\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}

. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho

N C = 3 N B

. Phân tích vectơ

\vec{M N}

theo ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}

và

\vec{c}

ta được

A. $\vec{M N} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

C. $\vec{M N} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$

D. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: $A C^{2} = {\vec{A C}}^{2} = {(\vec{B C} - \vec{B A})}^{2} = B C^{2} - 2 \vec{B A} . \vec{B C} + B A^{2} \Rightarrow \vec{B A} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (B A^{2} + B C^{2} - A C^{2})$

Câu 24:

Cho tứ diện ABCD. Đặt

\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}

. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho

N D = 2 N C

. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ

\vec{A O}

theo ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}

và

\vec{c}

ta có

A. $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

B. $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

C. $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

D. $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD. Đặt vectơ AB = vectơ A, vectơ AC = vectơ b, vectơ AD = vectơ c. Gọi M là trung (ảnh 1)

Ta có $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A M} + \vec{A N})$ , trong đó $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{a}$ ;

$\vec{A N} = \vec{A C} + \vec{C N} = \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{C D} = \vec{A C} + \frac{1}{3} (\vec{A D} - \vec{A C}) = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

Vậy

\vec{A O} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}) = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}

Câu 25:

Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức

P = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M là trọng tâm tam giác ABC.

B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. M là trực tâm tam giác ABC.

D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C$ thì G cố định và $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta cos: $P = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= 3 M G^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} \geq G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 26:

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?

A. $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2} = 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2})$

B. $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2} = 4 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2})$

C. $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2} = 6 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2})$

D. $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2} = 2 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2})$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng? A. AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2 = 4*(GA^2 + GB^2 (ảnh 1)

Ta có $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2}$

$= {(\vec{A G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{A G} + \vec{G C})}^{2} + {(\vec{A G} + \vec{G D})}^{2} + {(\vec{B G} + \vec{G C})}^{2} + {(\vec{B G} + \vec{G D})}^{2} + {(\vec{C G} + \vec{G D})}^{2}$

$= 3 A G^{2} + 3 B G^{2} + 3 C G^{2} + 3 D G^{2} + 2 (\vec{A G} . \vec{G B} + \vec{A G} . \vec{G C} + \vec{A G} . \vec{G D} + \vec{B G} . \vec{G D} + \vec{B G} . \vec{G D} + \vec{C G} . \vec{G D}) (1)$

Mà $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Leftrightarrow {(\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2}$

$= 2 (\vec{A G} . \vec{G B} + \vec{A G} . \vec{G C} + \vec{A G} . \vec{G D} + \vec{B G} . \vec{G D} + \vec{B G} . \vec{G D} + \vec{C G} . \vec{G D}) (2)$

Từ (1) và (2) ta có $A B^{2} + A C^{2} + A D^{2} + B C^{2} + B D^{2} + C D^{2} = 4 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2})$

Câu 27:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{a} = \vec{A A^{'}}, \vec{b} = \vec{A B}, \vec{c} = \vec{A C}$

Xét hai mệnh đề

(I) $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ (II) $\vec{B C^{'}} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt vectơ a = vectơ AA', vectơ b = vectơ AB, vectơ c = vectơ AC Xét hai mệnh đề (ảnh 1)

(I) Đúng vì $\vec{B^{'} C} = \vec{B^{'} B} + \vec{B C} = - \vec{A A^{'}} + (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= - \vec{A A^{'}} - \vec{A B} + \vec{A C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(II) Sai vì $\vec{B C^{'}} = \vec{B B^{'}} + \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{A A^{'}} + \vec{B C} = \vec{A A^{'}} + (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A A^{'}} - \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Câu 28:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt

\vec{a} = \vec{A A^{'}}, \vec{b} = \vec{A B}, \vec{c} = \vec{A C}

. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ

\vec{A G}

bằng

A. $\frac{1}{3} (\vec{a} + 3 \vec{b} + \vec{c})$

B. $\frac{1}{3} (3 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

C. $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + 3 \vec{c})$

D. $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt vectơ a = vectơ AA', vectơ b = vectơ AB. vectơ c = vectơ AC. Gọi G' là (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} G} = \vec{A A^{'}} + \frac{2}{3} \vec{A^{'} I}$

$= \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} (\vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} C^{'}})$

$\Rightarrow \vec{A G} = \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (3 \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{3} (3 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Câu 29:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết

\vec{M A^{'}} = k . \vec{M C}, \vec{N C^{'}} = l . \vec{N D}

. Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. $k - l = - \frac{3}{2}$

B. $k + l = - 3$

C. $k + l = - 4$

D. $k + l = - 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A^{'}} = \vec{c}$

Từ $\vec{M A^{'}} = k . \vec{M C}$ , ta có $\vec{A A^{'}} - \vec{A M} = k (\vec{A C} - \vec{A M})$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A A^{'}} - k \vec{A C}}{1 - k} = \frac{- k (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{1 - k}$

Từ $\vec{N C^{'}} = l . \vec{N D}$ , ta có $\vec{A C^{'}} - \vec{A N} = l . (\vec{A D} - \vec{A N})$

$\Leftrightarrow \vec{A N} = \frac{\vec{A C^{'}} - l . \vec{A D}}{1 - l} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - l \vec{b}}{1 - l}$

Suy ra $\vec{M N} = \vec{A M} - \vec{A N}$

$= \frac{- k (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{1 - k} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - l \vec{b}}{1 - l} = (- \frac{k}{1 - k} - \frac{1}{1 - l}) \vec{a} + (- \frac{k}{1 - k} - 1) . \vec{b} + (\frac{1}{1 - k} - \frac{1}{1 - l}) \vec{c}$

Mặt khác $\vec{B D^{'}} = \vec{A D^{'}} - \vec{A B} = - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Để $M N / / B D^{'}$ thì $\vec{M N} / / \vec{B D^{'}}$ nên

$\{\begin{cases} \frac{k}{1 - k} + \frac{1}{1 - l} = - \frac{k}{1 - k} - 1 \\ - \frac{k}{1 - k} - 1 = \frac{1}{1 - k} - \frac{1}{1 - l} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 k}{1 - k} + \frac{1}{1 - l} = - 1 \\ \frac{k + 1}{1 - k} - \frac{1}{1 - l} = - 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{3 k + 1}{1 - k} = - 2 \Leftrightarrow k = - 3$

Từ đó ta có:

\frac{1}{1 - l} = \frac{1}{2} \Rightarrow l = - 1

. Vậy

k + l = - 4

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị

\vec{M S} . \vec{C B}

bằng

A. $\frac{a^{2}}{2}$

B. $- \frac{a^{2}}{2}$

C. $\frac{a^{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi (ảnh 1)

Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S.ABCD là hình chóp đều.

Suy ra $\vec{O C}; \vec{O S}; \vec{O D}$ đôi một vuông góc.

Do M là trung điểm của CD nên ta có:

$\vec{M S} = \vec{O S} - \vec{O M} = - \frac{1}{2} \vec{O C} - \frac{1}{2} \vec{O D} + \vec{O S}$

$\vec{C B} = \vec{O B} - \vec{O C} = - \vec{O D} - \vec{O C}$

Do $\vec{O C}; \vec{O S}; \vec{O D}$ đôi một vuông góc với nhau nên

$\vec{M S} . \vec{C B} = \frac{1}{2} O C^{2} + \frac{1}{2} O D^{2} = O C^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABC có

\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}

và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho

P Q / / C M

. Biểu diễn vectơ

\vec{P Q}

theo ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

được kết quả

A. $\vec{P Q} = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{4}{3} \vec{c}$

B. $\vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$

C. $\vec{P Q} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{4}{3} \vec{c}$

D. $\vec{P Q} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có vectơ SA = vectơ a, vectơ SB = vectơ b, vectơ SC = vectơ c và các điểm M, N (ảnh 1)

Đặt $\vec{P A} = x \vec{S A}; \vec{B Q} = y \vec{B N}$

Suy ra: $\vec{P Q} = \vec{P A} + \vec{A B} + \vec{B Q}$

$= x \vec{S A} + \vec{S B} - \vec{S A} + y \vec{B N}$

$= (x - 1) \vec{S A} + \vec{S B} + y (\vec{S N} - \vec{S B})$

$= (x - 1) \vec{S A} + (1 - y) \vec{S B} + \frac{y}{2} \vec{S C}$

$= (x - 1) \vec{a} + (1 - y) \vec{b} + \frac{y}{2} \vec{c}$ (*)

Lại có $\vec{C M} = \vec{S M} - \vec{S C} = \frac{1}{2} (\vec{S A} + \vec{S B}) - \vec{S C} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

Để $P Q / / C M$ thì $\vec{P Q} = k \vec{C M}$ hay

$\frac{x - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{y}{2}}{- 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 - y \\ 1 - y = - \frac{y}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{4}{3} \end{cases}$

Thay vào (*) ta được $\vec{P Q} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

Câu 32:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow$ bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. ABCD là một tứ diện $\Leftrightarrow \vec{B C}, \vec{C D}, \vec{A C}$ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

D. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba vectơ đó, vectơ này không thể biểu diễn được theo hai vectơ kia.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

C sai vì khi $A B / / (M N P)$ ta vẫn có $\vec{A B}, \vec{M N}, \vec{N P}$ đồng phẳng nhưng $\vec{A B} ⊄ (M N P)$ hay giá của $\vec{A B}$ không nằm trong $(M N P)$ .

Câu 33:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị

A G^{2}

bằng

A. $a^{2}$

B. $\frac{2 a^{2}}{3}$

C. $3 a^{2}$

D. $\frac{a^{2}}{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG^2 bằng (ảnh 1)

\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A D})

Suy ra $A G^{2} = {\vec{A G}}^{2} = \frac{1}{9} (A {A^{'}}^{2} + 4 A B^{2} + A D^{2})$

$= \frac{1}{9} (a^{2} + 4 a^{2} + a^{2}) = \frac{2}{3} a^{2}$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề

(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ .

(II). Nếu $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Xem đáp án

Chọn đáp án D

$Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề (I). Nếu ABCD là hình\ (ảnh 1)$

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Do O là giao điểm của AC và BD nên

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$

$\Leftrightarrow (\vec{O S} + \vec{S A}) + (\vec{O S} + \vec{S C}) + (\vec{O S} + \vec{S B}) + (\vec{O S} + \vec{S D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{O A} + \vec{O C}) + (\vec{O B} + \vec{O D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{O M} + 2 \vec{O N} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O M} = \vec{O N} \Leftrightarrow O \equiv M \equiv N$

$\Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành.

Vậy mệnh đề (I) và (II) đều đúng.

Bình luận: Để chứng minh mệnh đề (I) và (II) đúng, ta áp dụng: Cho $A \in a, B \in b$ và $\{O\} = a \cap b$ .

Khi đó $\vec{O A} = \vec{O B} \Leftrightarrow O \equiv A \equiv B$ .

Chứng minh: Nếu A không trùng O thì B không trùng O (do $\vec{O A} = \vec{O B}$ ) $\Rightarrow O A \equiv a$ và $O B \equiv b$

Nhưng $\vec{O A} = \vec{O B} \Rightarrow O, A, B$ thẳng hàng $\Rightarrow a \equiv b \Rightarrow a \cap b = a$ (trái với giả thiết $O = a \cap b$ )

Câu 35:

Cho tứ diện S.ABC có

S A = S B = S C = A B = A C = a, B C = a \sqrt{2}

. Tích vô hướng giữa

\vec{S C} . \vec{A B}

bằng

A. $- \frac{a^{2}}{2}$

B. $\frac{a^{2}}{2}$

C. $a^{2}$

D. $- a^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a căn bậc 2 2. Tích vô hướng giữa vectơ SC. vectơ AB (ảnh 1)

Từ giả thiết suy ra $Δ S B C$ vuông cân tại $S; Δ S A C$ là tam giác đều.

Có $\vec{S C} . \vec{A B} = \vec{S C} . (\vec{S B} - \vec{S A}) = \vec{S C} . \vec{S B} - \vec{S C} . \vec{S A}$

$= - S C . S A . c o s \hat{A S C} = - a . a . c o s 60 ° = - \frac{a^{2}}{2}$

Vậy $\vec{S C} . \vec{A B} = a^{2} . \frac{- 1}{2} = \frac{- a^{2}}{2}$

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề

(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

(II) Nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Ta có: $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} \Leftrightarrow 2 \vec{S M} = 2 \vec{S N} \Leftrightarrow \vec{S M} = \vec{S N} \Leftrightarrow M \equiv N \Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành.

Câu 37:

Cho ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

không đồng phẳng. xét các vectơ

\vec{x} = 2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{y} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}, \vec{z} = - 3 \vec{b} - 2 \vec{c}

. Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.

B. Hai vectơ $\vec{x}, \vec{a}$ cùng phương.

C. Hai vectơ $\vec{x}, \vec{b}$ cùng phương.

D. Ba vectơ $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đôi một cùng phương.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có $\vec{y} = \frac{1}{2} (\vec{x} + \vec{z})$ nên ba vectơ $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.

Câu 38:

Cho ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Các vectơ $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}, \vec{y} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} - 6 \vec{c}, \vec{z} = - \vec{a} + 3 \vec{b} + 6 \vec{c}$ đồng phẳng.

B. Các vectơ $\vec{x} = \vec{a} - 2 \vec{b} + 4 \vec{c}, \vec{y} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b} + 2 \vec{c}, \vec{z} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} - 3 \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Các vectơ $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{y} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c}, \vec{z} = - \vec{a} - 4 \vec{b}$ đồng phẳng.

D. Các vectơ $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}, \vec{y} = 2 \vec{a} - \vec{b} + 3 \vec{c}, \vec{z} = \vec{a} - 2 \vec{b} + 4 \vec{c}$ đồng phẳng.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Khẳng định B sai.

Các vectơ $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m, n : \vec{x} = m \vec{y} + n \vec{z}$

Ta có $\vec{x} = m \vec{y} + n \vec{z}$

$\Leftrightarrow \vec{a} - 2 \vec{b} + 4 \vec{c} = m (3 \vec{a} - 3 \vec{b} + 2 \vec{c}) + n (2 \vec{a} - 3 \vec{b} - 3 \vec{c}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 m + 2 n = 1 \\ - 3 m - 3 n = - 2 \\ 2 m - 3 n = 4 \end{cases}$ (hệ vô nghiệm).

Vậy không tồn tại hai số $m, n : \vec{x} = m \vec{y} + n \vec{z}$

Câu 39:

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của $\vec{A B} . \vec{E G}$ bằng

A. $a^{2}$

B. $a^{2} \sqrt{2}$

C. $a^{2} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. (ảnh 1)

Ta có $\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} (\vec{E F} + \vec{E H}) = \vec{A B} . \vec{E F} + \vec{A B} . \vec{E H}$

Do $A B ⊥ E H$ nên $\vec{A B} . \vec{E H} = 0$

Suy ra $\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . \vec{E F} = {\vec{A B}}^{2} = a^{2}$

Câu 40:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $|\vec{A C^{'}}| = a \sqrt{3}$

B. $\vec{A D^{'}} . \vec{A B^{'}} = a^{2}$

C. $\vec{A B^{'}} . \vec{C D^{'}} = 0$

D. $2 \vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{C D} + \vec{D^{'} A^{'}} = \vec{0}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai? A. |vectơ AC'| (ảnh 1)

+) A đúng vì ${\vec{A C^{'}}}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})}^{2}$

$= {\vec{A B}}^{2} + {\vec{A D}}^{2} + {\vec{A A^{'}}}^{2} (d o \vec{A B} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A A^{'}} = \vec{A A^{'}} . \vec{A B} = \vec{0})$

$= 3 a^{2}$

Suy ra $|\vec{A C^{'}}| = a \sqrt{3}$

+) B đúng vì $\vec{A D^{'}} . \vec{A B^{'}} = (\vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}) (\vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} B^{'}}) = {\vec{A A^{'}}}^{2} = a^{2}$

$(d o \vec{A A'} . \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A A^{'}} . \vec{A^{'} B^{'}} = \vec{A^{'} B^{'}} . \vec{A^{'} D^{'}} = 0)$

+) C đúng vì $\vec{A B^{'}} . \vec{C D^{'}} = \vec{D C^{'}} . \vec{C D^{'}} = 0 (d o D C^{'} ⊥ C D^{'})$

+) D sai vì $2 \vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{C D} + \vec{D^{'} A^{'}} = 2 \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} \neq \vec{0}$

Câu 41:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho

\vec{M B^{'}} = k \vec{M C^{'}}

. Tìm k để bốn điểm

A, I, M, K

đồng phẳng.

A. $k = - 1$

B. $k = - \frac{3}{2}$

C. $k = - \frac{1}{2}$

D. $k = - 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh (ảnh 1)

Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$

Ta có $\vec{A I} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A B^{'}}) = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A A^{'}}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{A K} = \frac{1}{2} (\vec{A A^{'}} + \vec{A C^{'}}) = \frac{1}{2} (\vec{A A^{'}} + \vec{A A^{'}} + \vec{A C}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

Do $\vec{M B^{'}} = k \vec{M C^{'}}$ nên $\vec{A B^{'}} - \vec{A M} = k (\vec{A C^{'}} - \vec{A M})$

$\Rightarrow (k - 1) \vec{A M} = k \vec{A C^{'}} - \vec{A B^{'}} = k (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = (k - 1) \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

Vì bốn điểm $A, M, I, K$ đồng phẳng nên $\vec{A M}, \vec{A I}, \vec{A K}$ đồng phẳng, do đó

$(k - 1) \vec{A M} = x \vec{A I} - y \vec{A K}$

$\Leftrightarrow (k - 1) \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c} = x (\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}) + y (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c})$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (k - 1) = \frac{1}{2} x + y \\ - 1 = x \\ k = \frac{y}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \\ k = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy $k = - \frac{1}{2}$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số

\frac{S M}{S O}

sao cho biểu thức

P = M S^{2} + M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}

nhỏ nhất bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{5}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SM/SO (ảnh 1)

Gọi I là điểm thỏa mãn $\vec{S I} = 4 \vec{I O}$

$\Rightarrow P = {(\vec{M I} + \vec{I S})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I D})}^{2}$

$= 5 M I^{2} + I S^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I S} + \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D})$

$= 5 M I^{2} + I S^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I S} + 4 \vec{I O} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

$= 5 M I^{2} + I S^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} (d o \vec{S I} = 4 \vec{I O}; \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0})$

Vậy $P_{\min} \Leftrightarrow M \equiv I \Rightarrow \frac{S M}{S O} = \frac{4}{5}$

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho

A B = 2 a, C D = 2 b, E F = 2 c

. Với M là một điểm tùy ý, tổng

M A^{2} + M B^{2}

bằng

A. $2 M F^{2} + 2 b^{2}$

B. $2 M E^{2} + 2 a^{2}$

C. $2 M F^{2} + 2 a^{2}$

D. $2 M E^{2} + 2 b^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB = 2a, CD = 2b, EF = 2c. Với M là một (ảnh 1)

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:

$M E^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} \Rightarrow M A^{2} + M B^{2} = 2 M E^{2} + \frac{A B^{2}}{2}$

$= 2 M E^{2} + 2 a^{2}$

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn

\vec{M S} = - 2 \vec{M A}; \vec{N B} = k \vec{N C}

. Tìm k để ba vectơ

\vec{A B}, \vec{M N}, \vec{S C}

đồng phẳng.

A. k = -2

B. $k = \frac{1}{2}$

C. k = 2

D. $k = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn vectơ MS = -2vectơ MA, vectơ NB = kvectơ NC (ảnh 1)

Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$ , ta có:

$\vec{A B} = \vec{S B} - \vec{S A} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{M S} = - 2 \vec{M A} \Rightarrow - \vec{S M} = - 2 (\vec{S A} - \vec{S M}) \Rightarrow \vec{S M} = \frac{2}{3} \vec{S A} = \frac{2}{3} \vec{a}$

$\vec{N B} = k \vec{N C} \Rightarrow \vec{S B} - \vec{S N} = k (\vec{S C} - \vec{S N})$

$\Rightarrow (k - 1) \vec{S N} = k \vec{S C} - \vec{S B} = k \vec{c} - \vec{b}$

$(k - 1) \vec{M N} = (k - 1) (\vec{S N} - \vec{S M}) = k \vec{c} - \vec{b} - \frac{2 (k - 1)}{3} \vec{a}$

Để ba vectơ $\vec{A B}, \vec{M N}, \vec{S C}$ đồng phẳng ta có

$(k - 1) \vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{S C}$

$\Leftrightarrow k \vec{c} - \vec{b} - \frac{2 (k - 1)}{3} \vec{a} = x (\vec{b} - \vec{a}) + y \vec{c}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} - x = - \frac{2 (k - 1)}{3} \\ x = - 1 \\ y = k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ k = - \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow k = - \frac{1}{2}$

Vậy $k = - \frac{1}{2}$

Câu 45:

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho

B C = 4 B M, A C = 3 A P, B D = 2 B N

. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số

\frac{A Q}{A D}

.

A. $\frac{A Q}{A D} = \frac{5}{2}$

B. $\frac{A Q}{A D} = \frac{3}{5}$

C. $\frac{A Q}{A D} = \frac{2}{5}$

D. $\frac{A Q}{A D} = \frac{5}{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC = 4BM (ảnh 1)

Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}$

Theo bài ra ta có $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}; \vec{A N} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{c}); \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{b}$

Đặt $\vec{A Q} = k \vec{A D} = k \vec{c}$

Ta có $\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = - \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ \vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = - \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} \\ \vec{M Q} = \vec{A Q} - \vec{A M} = - \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + k \vec{c} \end{cases}$

Vì $M, N, P, Q$ đồng phẳng nên $x \vec{M N} + y \vec{M P} = \vec{M Q}$

$\Leftrightarrow x (- \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}) + y (- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b}) = - \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + k \vec{c}$

$- (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4} y) \vec{a} - (\frac{1}{4} x - \frac{1}{12} y) \vec{b} + \frac{1}{2} x \vec{c} = - \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + k \vec{c}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{4} x + \frac{3}{4} y = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} x - \frac{1}{12} y = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} x = k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{5} \\ k = \frac{3}{5} \end{cases}$

Vậy $\vec{A Q} = \frac{3}{5} \vec{A D} \Rightarrow \frac{A Q}{A D} = \frac{3}{5}$

Câu 46:

Trong không gian xét

\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}, \vec{q}

là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

S = {|\vec{m} - \vec{n}|}^{2} + {|\vec{m} - \vec{p}|}^{2} + {|\vec{m} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{p}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{p} - \vec{q}|}^{2}

là

A. 16.

B. 6.

C. 25.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có $0 \leq {|\vec{m} + \vec{n} + \vec{p} + \vec{q}|}^{2} = 4 + 2 (\vec{m} . \vec{n} + \vec{m} . \vec{p} + \vec{m} . \vec{q} + n . \vec{p} + \vec{n} . q + \vec{p} . \vec{q})$

Suy ra $\vec{m} . \vec{n} + \vec{m} . \vec{p} + \vec{m} . \vec{q} + \vec{n} . \vec{p} + \vec{n} . \vec{q} + \vec{p} . \vec{q} \geq - 2$

$S = {|\vec{m} - \vec{n}|}^{2} + {|\vec{m} - p|}^{2} + {|\vec{m} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{p}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{p} - \vec{q}|}^{2}$

$= 12 - 2 (\vec{m} . \vec{n} + \vec{m} . \vec{p} + \vec{m} . \vec{q} + \vec{n} . \vec{p} + \vec{n} . \vec{q} + \vec{p} . \vec{q}) (d o |\vec{m}| = |\vec{n}| = |\vec{p}| = |\vec{q}| = 1)$

Vậy ${|\vec{m} - \vec{n}|}^{2} + {|\vec{m} - \vec{p}|}^{2} + {|\vec{m} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{p}|}^{2} + {|\vec{n} - \vec{q}|}^{2} + {|\vec{p} - \vec{q}|}^{2} \leq 12 - 2. (- 2) = 16$

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi $\vec{m} = \vec{n} = (1; 0; 0)$ và $\vec{p} = \vec{q} = (- 1; 0; 0)$ .