17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 2: Góc Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' bằng

A. 30°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 45°.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' bằng (ảnh 1)

Ta thấy $A^{'} C^{'} / / A C \Rightarrow (\hat{C D^{'}, A^{'} C^{'}}) = (\hat{C D^{'}, A C}) = φ .$

Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.

Ta có $A C = C D^{'} = A D^{'} = a \sqrt{2} .$

Suy ra $∆$ ACD' đều nên $\hat{(C D^{'}, A C)} = φ = 60^{o} .$

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc

\hat{(I J, C D)}

bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có $I J / / S B$ (do IJ là đường trung bình của $∆$ SCB) và $A B / / C D \Rightarrow (\hat{I J, C D}) = (\hat{S B, A B}) .$

Mặt khác, ta lại có $∆$ SAB đều nên $\hat{S B A} = 60^{o} .$

Suy ra $\hat{(S B, A B)} = 60^{o} \Rightarrow \hat{(I J, C D)} = 60^{o} .$

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,

A B = a, S A = a \sqrt{3}

và SA vuông góc với (ABCD). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là

A. 60°.

B. 30°.

C. 45°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, SA = a căn bậc 2 3 và SA vuông (ảnh 1)

Ta có ABCD là hình bình hành nên $A B / / C D .$

Do đó $\hat{(S B, C D)} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} .$

Vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B \Rightarrow Δ S A B$ vuông tại A

Xét tam giác vuông SAB ta có $\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60^{o} .$

Vậy $\hat{(S B, C D)} = 60^{o} .$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

S A ⊥ (A B C D), S A = a, A B = a, B C = a \sqrt{3} .

Côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng

A. $\sqrt{\frac{3}{10}} .$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5} .$

C. $\frac{\sqrt{3}}{5} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{10} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với (ABCD), SA = a, AB = a, BC = a căn bậc (ảnh 1)

Kẻ $O M / / S C \Rightarrow \hat{(S C, B D)} = \hat{(O M, B D)} .$

Ta có ABCD là hình chữ nhật có $A B = a, B C = a \sqrt{3} \Rightarrow A C = B D = 2 a .$

$\begin{array}{l} B O = \frac{B D}{2} = a, O M = \frac{S C}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}; B M = \sqrt{M A^{2} + A B^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} . \\ \cos \hat{M O B} = \frac{O M^{2} + B O^{2} - B M^{2}}{2 O M . B O} = \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \cos (\hat{S C, B D}) = \frac{\sqrt{5}}{5} . \end{array}$

Câu 5:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. Góc giữa (ảnh 1)

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.

Do $M N / / A C$ nên $\hat{(M N, A P)} = \hat{(A C, A P)} .$

Ta cần tính góc $\hat{P A C} .$

Vì $∆$ A'D'P vuông tại D' nên $A^{'} P = \sqrt{A^{'} {D^{'}}^{2} + D^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

$∆$ AA'P vuông tại A' nên $A P = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{3 a}{2} .$

$∆$ CC'P vuông tại C' nên $C P = \sqrt{C {C^{'}}^{2} + C^{'} P^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên $A C = a \sqrt{2} .$

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có:

$C P^{2} = A C^{2} + A P^{2} - 2 A C . A P . \cos \hat{C A P} \Rightarrow \cos \hat{C A P} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{C A P} = 45^{o} < 90^{o} .$

Suy ra $\hat{(A C, A P)} = \hat{C A P} = 45^{o}$ hay $\hat{(M N, A P)} = 45^{o} .$

Câu 6:

Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BF là

A. $\frac{\sqrt{5}}{10} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{5} .$

C. $\frac{\sqrt{5}}{5} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{10} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai (ảnh 1)

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB.

Khi đó $\{\begin{cases} M N / / B F \\ M K / / A C \end{cases} \Rightarrow \hat{(A C, B F)} = \hat{(M N, M K)} .$

Xét tam giác MNK, ta có:

$\begin{array}{l} M N = \frac{1}{2} B F = \frac{1}{2} \sqrt{B C^{2} + C F^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}; \\ M K = \frac{1}{2} A C = \frac{a}{2}, C K = \frac{a \sqrt{3}}{2}; \\ N K = \sqrt{K C^{2} + N C^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} . \end{array}$

Suy ra $\cos \hat{E M N} = \frac{M E^{2} + M N^{2} - E N^{2}}{2 M E . M N} = \frac{\frac{a^{2}}{4} + \frac{5 a^{2}}{4} - \frac{7 a^{2}}{4}}{2. \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{2}} = - \frac{1}{2 \sqrt{5}} .$

Vậy $\cos \hat{(A C, B F)} = |\cos \hat{E M N}| = \frac{\sqrt{5}}{10} .$

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết $A B = C D = a, M N = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB = CD = a, MN = a căn bậc 2(3)/2 (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC.

Ta có $\{\begin{cases} I M / / A B \\ I N / / C D \end{cases} \Rightarrow \hat{(A B, C D)} = \hat{(I M, I N)} .$

Đặt $\hat{M I N} = α .$

Xét tam giác IMN có $I M = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}, I N = \frac{C D}{2} = \frac{a}{2}, M N = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Theo định lí côsin, ta có:

$\cos α = \frac{I M^{2} + I N^{2} - M N^{2}}{2 I M . I N} = \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a}{2} . \frac{a}{2}} = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow \hat{M I N} = 120^{o} .$

Vậy $\hat{(A B, C D)} = 60^{o} .$

Câu 8:

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng AD và BB₁ bằng

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng AD và (ảnh 1)

A. 30°.

B. 60°.

C. 45°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng AD và (ảnh 2)

Ta có $\{\begin{cases} A D ⊥ (A B B_{1} A_{1}) \\ B B_{1} \subset (A B B_{1} A_{1}) \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ B B_{1} \Rightarrow \hat{(A D, B B_{1})} = 90^{o} .$

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng

A. 45°.

B. 90°.

C. 30°.

D. 60°.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng A. 45 độ B. 90 độ (ảnh 1)

Vì $B D / / B^{'} D^{'}$ nên góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng góc giữa hai đường thẳng BA' và BD.

Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'BD là tam giác đều. Khi đó góc giữa hai đường thẳng BA' và BD bằng $\hat{A B D} = 60^{o} .$

Câu 10:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

A. 45°.

B. 60°.

C. 30°.

D. 120°.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai (ảnh 1)

Gọi K là trung điểm của AB

Vì ABCD là hình vuông nên $K I / / A C .$

Suy ra góc giữa AC và IJ bằng góc giữa KI và IJ.

Ta có $I K = \frac{1}{2} A C; I J = \frac{1}{2} B^{'} C; K J = \frac{1}{2} A B^{'} .$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên

$A C = B^{'} C = A B^{'} \Rightarrow K I = I J = J K .$

Suy ra $∆$ IJK là tam giác đều, nên $\hat{K I J} = 60^{o} .$

Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60°.

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

và tam giác ABC vuông tại

B, S A = a, A B = a, B C = a \sqrt{2} .

Gọi I là trung điểm BC. Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là

A. $- \sqrt{\frac{2}{3}} .$

B. $\frac{2}{3}$ .

C. $\sqrt{\frac{2}{3}} .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông tại B, SA = a, AB = a, BC = a căn (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm SB ta có $S C / / H I .$

Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI.

$\begin{array}{l} A H = \frac{1}{2} S B = \frac{\sqrt{A B^{2} + S A^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}; \\ A I = \sqrt{A B^{2} + B I^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} a . \\ H I = \frac{S C}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + 3 a^{2}}}{2} = a; A I^{2} = A H^{2} + H I^{2} . \end{array}$

Suy ra tam giác AHI vuông tại $H, \cos \hat{A I H} = \frac{H I}{A I} = \sqrt{\frac{2}{3}} .$

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là

\cos \hat{A I H} = \sqrt{\frac{2}{3}} .

Câu 12:

Cho tứ diện OABC có

O A = O B = O C = a; O A, O B, O C

vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng

A. 45°.

B. 30° .

C. 90°.

D. 60°.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là trung (ảnh 1)

Vì tứ diện OABC có $O A = O B = O C = a; O A, O B, O C$ vuông góc với nhau từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình vẽ) với I là trung điểm $B C; \{I\} = O D \cap B C .$

Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên $A B = A N = N B = a \sqrt{2}$ vậy tam giác ABN đều.

Dễ thấy $O I / / A N$ nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng 60°.

Câu 13:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết

A B = C D = a

và

M N = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. 30°.

B. 90°.

C. 120°.

D. 60°.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = a và MN = a căn bậc (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của BD.

Vì $\{\begin{cases} A B / / N E \\ C D / / M E \end{cases}$ nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng NE và ME.

Trong tam giác MNE ta có:

$\cos \hat{M E N} = \frac{M E^{2} + N E^{2} - M N^{2}}{2 M E . N E} = \frac{\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4} - \frac{3 a^{2}}{4}}{2. \frac{a^{2}}{4}} = - \frac{1}{2} .$

Suy ra $\hat{M E N} = 120^{o} .$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60°.

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D = 2 a .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết

M N = a \sqrt{3},

góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. 45°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 30°.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết MN = a căn bậc 2(3) (ảnh 1)

Gọi P là trung điểm AC, ta có $P M / / C D$ và $P N / / A B$ suy ra $\hat{(A B, C D)} = \hat{(P M, P N)} .$

Dễ thấy $P M = P N = a .$ Xét $∆$ PMN ta có:

$\begin{array}{l} \cos \hat{M P N} = \frac{P M^{2} + P N^{2} - M N^{2}}{2 P M . P N} = \frac{a^{2} + a^{2} - 3 a^{2}}{2. a . a} = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \hat{M P N} = 120^{o} . \end{array}$

Suy ra $\hat{(A B, C D)} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o} .$

Câu 15:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6} .$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm của AC.

Khi đó $A B / / M N$ nên $\hat{(D M, A B)} = \hat{(D M, M N)} .$

Dễ dàng tính được $D M = D N = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $M N = \frac{a}{2} .$

Trong tam giác DMN, ta có:

$\cos \hat{D M N} = \frac{D M^{2} + M N^{2} - D N^{2}}{2 D M . M N} = \frac{\frac{a^{2}}{4}}{2. \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

Vì $\cos \hat{D M N} = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$ nên $\cos \hat{(D M, M N)} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$ Vậy $\cos \hat{(D M, A B)} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

Câu 16:

Cho tứ diện S.ABC có

S A = S B = S C = A B = A C = a; B C = a \sqrt{2} .

Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. 0°.

B. 120°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a căn bậc 2 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và (ảnh 1)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA.

Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN.

Ta có: $M N = \frac{a}{2} = N P; P C = B P = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow P M = \sqrt{P C^{2} - C M^{2}}$

$= \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a}{2} .$

Suy ra $∆$ MNP là tam giác đều $\Rightarrow \hat{M N P} = 60^{o} .$ Vậy góc giữa AB và SC bằng 60°.

Câu 17:

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB (ảnh 1)

Đặt $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c} .$

Khi đó, ta có $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = m$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{c}) = (\vec{c}, \vec{a}) = 60^{o} .$

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{c} = \vec{c} . \vec{a} = \frac{m}{2} .$

Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

$\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b}) .$

$\begin{array}{l} M N^{2} = \frac{1}{4} ({\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + {\vec{c}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{c} - 2 \vec{a} . \vec{b} - 2 \vec{b} . \vec{c}) = \frac{m^{2}}{2} \Rightarrow M N = \frac{m \sqrt{2}}{2} . \\ \vec{M N} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b}) (- \vec{b} + \vec{c}) = \frac{m^{2}}{2} \Rightarrow \cos \hat{(M N, B C)} = \frac{\vec{M N} . \vec{B C}}{|\vec{M N}| . |\vec{B C}|} = \frac{\frac{m^{2}}{2}}{m . \frac{m \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} . \end{array}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.