23 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Tìm số hạng của hàm số dạng vô định có đáp án

Câu 1:

Tìm giới hạn $E = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - x)$ .

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng $\infty - \infty$ , để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x.

Chú ý khi $x \to + \infty$ thì $x = \sqrt{x^{2}}$ .

Ta có

E = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x + 1}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + x} = - \frac{1}{2}

.

Câu 2:

Tìm giới hạn $F = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

F = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1} - 2 x} = - \frac{1}{4}

Câu 3:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + x + 1})$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có . $B = \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + x + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x - 1}{x - \sqrt{x^{2} + x + 1}} = - \frac{1}{2}$

Câu 4:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to + \infty} \frac{3}{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} - 2 x}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $C = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + 2 x}{x + 1} = 4$

Câu 5:

Tìm giới hạn $M = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

M = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}} = - 2

Câu 6:

Tìm giới hạn .

K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1} - 2 x)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $K = \lim_{x \to + \infty} x (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} + \frac{- 1}{\sqrt{x^{2} - 1} + x}) = 0$ .

Tiếp theo, ta xét bài tập liên hợp của căn bậc ba hay sự kết hợp căn ở cả tử và mẫu.

Câu 7:

Tìm giới hạn $N = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{8 x^{3} + 2 x} - 2 x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

N = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{\sqrt[3]{{(8 x^{3} + 2 x)}^{2}} + 2 x \sqrt[3]{8 x^{3} + 2 x} + 4 x^{2}} = 0

Câu 8:

Tìm giới hạn

B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} + 2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} + 2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(4 - 3 x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{(x + 1) (\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} - 2 x)} = - \frac{3}{2}$

Câu 9:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} - 2 \sqrt{x^{2} - x} + x)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to + \infty} ((\sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} - x) - 2 (\sqrt{x^{2} - x} - x))$

$= \lim_{x \to + \infty} (\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt[3]{{(x^{3} + 2 x^{2} + 1)}^{2}} + x \sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x} + x}) = \frac{5}{3}$

Câu 10:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x)

được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $\frac{- 3}{2}$

C. $\frac{- 1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x) \Leftrightarrow A = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} + x} \Leftrightarrow A = - \frac{3}{2}$

Vậy $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x) = \frac{- 3}{2}$

Câu 11:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1})$ được kết quả là

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{- 1}{4}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có : $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1}) \Leftrightarrow B = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x + 1}{\sqrt{4 x^{2} - x + 1} - 2 x} \Leftrightarrow B = \frac{1}{4}$

Vậy $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1}) = \frac{1}{4}$

Câu 12:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})} - x)$ được kết quả là

A. $n (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})$

B. $\frac{a_{1} a_{2} ... a_{n}}{n}$

C. $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{2 n}$

D. $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}$

Xem đáp án

Sử dụng công thức $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$ .

Ta có $C = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})} - x) \Leftrightarrow C = \lim_{x \to + \infty} \frac{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n}) - x^{n}}{{\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})}}^{n - 1} + ... + x^{n - 1}}$

\Leftrightarrow C = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}

.

Câu 13:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x)$ được kết quả là

A. $\frac{- 1}{6}$

B. $\frac{- 2}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $D = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + 3} = \frac{1}{6}$

Câu 14:

Tìm giới hạn $G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 2 x})$ được kết quả là

A. 0

B. 1

C. $\frac{- 5}{2}$

D. -2

Xem đáp án

Ta có $G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 2 x}) \Leftrightarrow G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} - x) + \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} - 2 x})$

$\Leftrightarrow G = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2}}{\sqrt[3]{{(x^{3} - 3 x^{2})}^{2}} + x \sqrt[3]{x^{3} - 3 x} + x^{2}} + \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} \Leftrightarrow G = - 1 + 1 = 0$

Câu 15:

Tìm giới hạn $H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - \sqrt{4 x^{2} + 2})$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - \sqrt{4 x^{2} + 2})$

$\Leftrightarrow H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - 2 x) + \lim_{x \to + \infty} (2 x - \sqrt{4 x^{2} + 2})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 1}{\sqrt[4]{{(16 x^{4} + 3 x + 1)}^{3}} + 2 x . \sqrt[4]{{(16 x^{4} + 3 x + 1)}^{2}} + 4 x^{2} \sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} + 8 x^{3}} + \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2}{2 x + \sqrt{4 x^{2} + 2}} \Leftrightarrow H = 0$

Câu 16:

Kết quả giới hạn $I = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + x + 1} - 4 \sqrt{x^{4} + 2 x - 1}}{{(2 x + 3)}^{2}} = - \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ . Tổng a+b bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $I = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + x + 1} - 4 \sqrt{x^{4} + 2 x - 1}}{{(2 x + 3)}^{2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^{5}} + \frac{1}{x^{6}}} - 4 \sqrt{1 + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{2}} = - \frac{3}{4}$

Suy ra $a + b = 7$

Câu 17:

Kết quả giới hạn $J = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - 2 \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + x) = - \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ . Tổng a+b bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $J = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - 2 \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + x) = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x) + \lim_{x \to + \infty} 2 (x - \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x} + \lim_{x \to + \infty} 2 \frac{- x^{2} + 1}{x^{2} + x \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + \sqrt[3]{{(x^{3} + x^{2} - 1)}^{2}}} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}$

suy ra a+b =7

Câu 18:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}}) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ .

Tổng a+b bằng

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Ta có: $K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}}) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x - 1) + \lim_{x \to + \infty} x (x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + (x + 1)} + \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2} + (x + 1) \sqrt[3]{x^{3} + 3 x} + \sqrt[3]{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Suy ra $a + b = 3$

Câu 19:

Cho $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} + 2 x) = 5$ Giá trị của a là

A. 10

B. -6

C. 6

D. -20

Xem đáp án

Ta có: $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} + 2 x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{a x + 12}{\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} - 2 x} = - \frac{a}{4}$

Suy ra $- \frac{a}{4} = 5 \Leftrightarrow a = - 20$

Câu 20:

Cho a, b là các số dương. Biết $M = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5}) = \frac{3}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của ab.

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5}) = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + 2 x) + \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5} - 2 x)$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{- a x}{\sqrt{4 x^{2} - a x} - 2 x} + \lim_{x \to - \infty} \frac{b x^{2} + 5}{\sqrt[3]{{(8 x^{3} + b x^{2} + 5)}^{2}} + 2 x \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5} + 4 x^{2}} = \frac{a}{4} + \frac{b}{12}$

Ta có $\frac{2}{3} = \frac{a}{4} + \frac{b}{12} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{b}{12}} \Leftrightarrow a b \leq \frac{16}{3}$

Câu 21:

Biết rằng $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} + x \sqrt{2}) = \frac{a}{b} \sqrt{2}$ (a là số nguyên, b là số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Tổng a+b có giá trị là

A. 1

B. 5

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} + x \sqrt{2}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} - x \sqrt{2}} = \frac{3}{4} \sqrt{2}$

Suy ra a+ b =7

Câu 22:

Biết rằng $b > 0, a + 3 b = 9$ và $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{a x + 1} - \sqrt{1 - b x}}{x} = 2$ . Khẳng định nào dưới đây sai?

A. $1 < a < 3$

B. $b > 1$

C. $a^{2} + b^{2} > 12$

D. $b - a < 0$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{a x + 1} - \sqrt{1 - b x}}{x} = \lim_{x \to 0} [\frac{\sqrt[3]{a x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt{1 - b x}}{x}]$

$= \lim_{x \to 0} [\frac{a x}{x (\sqrt[3]{{(a x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{a x + 1} + 1)} + \frac{b x}{x (1 + \sqrt{1 - b x})}]$

$= \lim_{x \to 0} [\frac{a}{\sqrt[3]{{(a x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{a x + 1} + 1} + \frac{b}{1 + \sqrt{1 - b x}}] = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$

Theo bài ra ta có $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 2 \Leftrightarrow 2 a + 3 b = 12$ . Từ giả thiết $a + 3 b = 9$ suy ra $a = 3; b = 2$ , vậy A sai.

Câu 23:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $c^{2} + a = 18$ và $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{a x^{2} + b x} - c x) = - 2$ . Tính $P = a + b + 5 c$ .

A, P=18

B. P=12

C. P= 9

D. P= 5

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{a x^{2} + b x} - c x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{{(a - c)}^{2} x^{2} + b x}{\sqrt{a x^{2} + b x} + c x}$

Để giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{(a - c^{2}) x^{2} + b x}{\sqrt{a x^{2} + b x} + c x} = - 2$ thì $\{\begin{cases} a - c^{2} = 0 \\ \frac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \end{cases}$ .

Theo đầu bài ta có hệ $\{\begin{cases} a - c^{2} = 0 \\ a + c^{2} = 18 \\ \frac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 9 \\ c = 3 \\ b = - 12 \end{cases}$ (nếu c=-3 thì $\sqrt{a} + c = 0$ ).

Suy ra $P = a + b + 5 c = 9 - 12 + 15 = 12$ .