17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn có đáp án

Câu 1:

Cho khai triển ${(2 x + 1)}^{10}$ .

a) Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển trên.

Ta có ${(2 x + 1)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} 2^{k} C_{10}^{k} . x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{5}$ ứng với $k = 5$ .

Hệ số cần tìm là

C_{10}^{5} {.2}^{5} = 8064

.

Câu 2:

b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên.

Xem đáp án

Số hạng không chứa x ứng với k=0.

Hệ số cần tìm là

C_{10}^{0} {.2}^{0} = 1

.

Câu 3:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

{(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}

(x \neq 0)

Xem đáp án

Ta có số hạng tổng quát là

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} = C_{21}^{k} x^{21 - k} . {(- \frac{2}{x^{2}})}^{k} = {(- 2)}^{k} C_{21}^{k} x^{21 - 3 k}$ .

Số hạng không chứa x ứng với $21 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 7$ .

Vậy hệ số cần tìm là $- 2^{7} C_{21}^{7}$ .

Câu 4:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ trong khai triển $x^{3} {(1 - x)}^{8}$

Xem đáp án

Số hạng tổng quát của khai triển là

x^{3} . C_{8}^{k} {(- x)}^{k} = C_{8}^{k} {(- 1)}^{k} x^{k + 3}

.
Số hạng chứa

x^{6}

khi

k + 3 = 6 \Leftrightarrow k = 3

.
Vậy hệ số cần tìm là

C_{8}^{3} {(- 1)}^{3} = - 56

.

Câu 5:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{10}, x > 0$ .

Xem đáp án

Ta có

{(2 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{10} = {(2. x^{\frac{1}{3}} - 3. x^{- \frac{1}{2}})}^{10}

.
Số hạng tổng quát trong khai triển là

C_{10}^{k} {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{10 - k} . {(- 3 x^{- \frac{1}{2}})}^{k} = {(- 1)}^{k} {.2}^{10 - k} {.3}^{k} . x^{\frac{10 - k}{3}} . x^{- \frac{k}{2}} = {(- 1)}^{k} C_{10}^{k} {.2}^{10 - k} {.3}^{k} . x^{\frac{20 - 5 k}{6}} .

Số hạng không chứa x ứng với

20 - 5 k = 0 \Leftrightarrow k = 4

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là

{(- 1)}^{4} C_{10}^{4} {.2}^{6} {.3}^{4} = 210.64.81 = 1088640

.

Câu 6:

Tìm hệ số của số hạng chứa

x^{2}

trong khai triển

P (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}

.

Xem đáp án

Với

0 \leq q \leq p \leq 10

thì số hạng tổng quát của khai triển là

P (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}

.

T_{p} = C_{10}^{p} . C_{p}^{q} . {(x^{2})}^{10 - p} . x^{p - q} {.1}^{q} = C_{10}^{p} . C_{p}^{q} . x^{p - q + 20 - 2 p}

Theo đề bài thì

p - q + 20 - 2 p = 2 \Leftrightarrow p + q = 18

.
Do

0 \leq q \leq p \leq 10

nên

(p; q) \in \{(9; 9); (10; 8)\}

.
Vậy hệ số của

x^{2}

trong khai triển

P (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}

là

C_{10}^{9} . C_{9}^{9} + C_{10}^{10} . C_{10}^{8} = 55

.

Câu 7:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(1 - 2 x + 2015 x^{2016} - 2016 x^{2017} + 2017 x^{2018})}^{60}$

Xem đáp án

Ta có

{(1 - 2 x + 2015 x^{2016} - 2016 x^{2017} + 2017 x^{2018})}^{60}

= {[(1 - 2 x) + x^{2016} (2015 - 2016 x + 2017 x^{2})]}^{60}

= C_{60}^{0} {(1 - 2 x)}^{60} + C_{60}^{1} {(1 - 2 x)}^{59} [x^{2016} (2015 - 2016 x + 2017 x^{2})] + ... + C_{60}^{60} {[x^{2016} (2015 - 2016 x + 2017 x^{2})]}^{60}

Ta thấy chỉ có số hạng chứa nên hệ số của số hạng

C_{60}^{0} {(1 - 2 x)}^{60}

chứa

x^{3}

là

C_{60}^{0} . C_{60}^{3} {(- 2)}^{3} = - 8 C_{60}^{3}

Câu 8:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức $P (x) = {(2 x + 1)}^{13} = a_{0} x^{13} + a_{1} x^{12} + ... + a_{13}$

Xem đáp án

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức

{(2 x + 1)}^{13}

là

a_{k} = C_{13}^{k} {.2}^{13 - k}

với

k = 1; 2; 3; ...; 13

Giả sử

a_{k}

là hệ số lớn nhất trong các hệ số

a_{0}, a_{1}, ..., a_{13}

.
Khi đó ta có

\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{13}^{k} {.2}^{13 - k} \geq C_{13}^{k + 1} {.2}^{12 - k} \\ C_{13}^{k - 1} {.2}^{14 - k} \leq C_{13}^{k} {.2}^{13 - k} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq \frac{11}{3} \\ k \leq \frac{14}{3} \end{cases} \Rightarrow k = 4

.
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là

a_{4} = C_{13}^{4} {.2}^{9} = 366080

.

Câu 9:

Cho khai triển biểu thức ${(\sqrt{3} + \sqrt[3]{2})}^{9}$ . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Số hạng tổng quát trong khai triển là

T_{k} = C_{9}^{k} {(\sqrt{3})}^{9 - k} {(\sqrt[3]{2})}^{k}

.
Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để

T_{k}

là một số nguyên thì

\{\begin{cases} k \in ℕ \\ 0 \leq k \leq 9 \\ (9 - k) ⋮ 2 \\ k ⋮ 3 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 3 \Rightarrow T_{3} = C_{9}^{3} {(\sqrt{3})}^{6} {(\sqrt[3]{2})}^{3} = 4536 \\ k = 9 \Rightarrow T_{9} = C_{9}^{9} {(\sqrt{3})}^{0} {(\sqrt[3]{2})}^{9} = 8. \end{array}

Dễ thấy

4536 > 8

nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là

T_{3} = 4536

.

Câu 10:

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = {(x + 1)}^{6} + {(x + 1)}^{7} + ... + {(x + 1)}^{12}$ là

A. 1715.

B. 1711.

C. 1287.

D. 1716.

Xem đáp án

Xét khai triển

{(x + 1)}^{6}

thấy ngay số hạng chứa

x^{5}

có hệ số là

C_{6}^{1}

.
Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của

x^{5}

là

C_{7}^{2}, C_{8}^{3}, ..., C_{12}^{7}

.
Do đó hệ số cần tìm là

C_{6}^{1} + C_{7}^{2} + ... + C_{12}^{7} = 1715

.

Đáp án A

Câu 11:

Trong khai triển ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ , hệ số của $x^{3}$ với $x > 0$ là

A. 60.

B. 80.

C. 160.

D. 240.

Xem đáp án

Số hạng tổng quát của khai triển:

T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{k} = C_{6}^{k} 2^{k} x^{6 - \frac{3}{2} k}

Số hạng chứa

x^{3}

ứng với

6 - \frac{3}{2} k = 3 \Leftrightarrow k = 2

Vậy hệ số của

x^{3}

là

C_{6}^{2} {.2}^{2} = 60

.

Đáp án A

Câu 12:

Hệ số của

x^{7}

trong khai triển

{(3 - 2 x)}^{15}

là

A. $C_{15}^{7} {.3}^{8} {.2}^{7}$

B.

- C_{15}^{7} {.3}^{7} {.2}^{8}

C.

- C_{15}^{7} {.3}^{8} {.2}^{7}

D.

C_{15}^{7} {.3}^{7} {.2}^{8}

Xem đáp án

Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn

{(3 - 2 x)}^{15}

là

T_{k + 1} = C_{15}^{k} {.3}^{15 - k} . {(- 2 x)}^{k} = {(- 1)}^{k} C_{15}^{k} 3^{15 - k} 2^{k} x^{k}

Để số hạng chứa

x^{7}

thì

k = 7

.
Vậy hệ số của số hạng chứa

x^{7}

là

- C_{15}^{7} 3^{8} 2^{7}

.

Đáp án C

Câu 13:

Hệ số của $x^{5}$ trong triển khai thành đa thức ${(2 x - 3)}^{8}$ là

A.

C_{8}^{5} {.2}^{5} {.3}^{3}

B.

- C_{8}^{3} {.2}^{5} {.3}^{3}

C.

- C_{8}^{3} {.2}^{3} {.3}^{5}

D.

C_{8}^{5} {.2}^{2} {.3}^{6}

Xem đáp án

Ta có khai triển

{(2 x - 3)}^{8} = \sum_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} {.2}^{8 - k} . x^{8 - k} . {(- 3)}^{k}

Số hạng chứa

x^{5}

ứng với

8 - k = 5 \Leftrightarrow k = 3

.
Hệ số cần tìm là

C_{8}^{3} {.2}^{8 - 3} . {(- 3)}^{3} = - C_{8}^{3} {.2}^{5} {.3}^{3}

.

Đáp án B

Câu 14:

Trong khai triển biểu thức ${(x - y)}^{20}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{12} y^{8}$ là

A. 77520.

B. -125970.

C. 125970.

D. -77520.

Xem đáp án

Ta có khai triển

{(x - y)}^{20} = \sum_{k = 0}^{20} C_{20}^{k} x^{20 - k} y^{k} . {(- 1)}^{k}

.
Ứng với số hạng chứa

x^{12} y^{8}

thì

\{\begin{cases} 20 - k = 12 \\ k = 8 \end{cases} \Leftrightarrow k = 8

.
Vậy hệ số của số hạng chứa

x^{12} y^{8}

là

{(- 1)}^{8} . C_{20}^{8} = 125970

.

Đáp án C

Câu 15:

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$ là

A. 61204.

B. 3160.

C. 3320.

D. 61268.

Xem đáp án

Hệ số của

x^{5}

trong khai triển

x {(1 - 2 x)}^{5}

là

{(- 2)}^{4} . C_{5}^{4}

.
Hệ số của

x^{5}

trong khai triển

x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}

là

3^{3} . C_{10}^{3}

.
Vậy hệ số của

x^{5}

trong khai triển

x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}

là

{(- 2)}^{4} . C_{5}^{4} + 3^{3} . C_{10}^{3} = 3320

.

Đáp án C

Câu 16:

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển $P (x) = {(3 x^{2} + x + 1)}^{10}$ là

A. 1695.

B. 1485.

C. 405.

D. 360.

Xem đáp án

Với

0 \leq q \leq p \leq 10

thì số hạng tổng quát của khai triển

P (x) = {(3 x^{2} + x + 1)}^{10}

là
.

T_{p} = C_{10}^{p} . C_{p}^{q} . {(3 x^{2})}^{10 - p} . x^{p - q} {.1}^{q} = C_{10}^{p} . C_{p}^{q} {.3}^{10 - p} . x^{p - q + 20 - 2 p}

Theo đề bài ta có

p - q + 20 - 2 p = 4 \Leftrightarrow p + q = 16

.
Do

0 \leq q \leq p \leq 10

nên

(p; q) \in \{(8; 8); (9; 7); (10; 6)\}

.
Vậy hệ số của

x^{4}

trong khai triển

P (x) = {(3 x^{2} + x + 1)}^{10}

là

C_{10}^{8} . C_{8}^{8} {.3}^{10 - 8} + C_{10}^{9} . C_{9}^{7} {.3}^{10 - 9} + C_{10}^{10} . C_{10}^{6} {.3}^{10 - 10} = 1695

Đáp án A

Câu 17:

Khai triển ${(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})}^{124}$ . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

A. 30.

B. 31.

C. 32.

D. 33.

Xem đáp án

Ta có

{(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})}^{124} = \sum_{k = 0}^{124} C_{124}^{k} . {(- 1)}^{k} {.5}^{\frac{124 - k}{2}} {.7}^{\frac{k}{4}}

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với

\{\begin{cases} \frac{124 - k}{2} \in ℤ \\ \frac{k}{4} \in ℤ \end{cases} \Leftrightarrow k \in \{0; 4; 8; 12; ...; 124\}

.
Vậy số các giá trị k là

\frac{124 - 0}{4} + 1 = 32

.

Đáp án C