9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước có đáp án

Câu 1:

Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{12}$ ta có hệ số của một số hạng chứa $x^{m}$ bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

Xem đáp án

Số hạng thứ

k + 1

trong khai triển là

C_{12}^{k} {(x^{2})}^{12 - k} . {(\frac{1}{x})}^{k} = C_{12}^{k} . x^{24 - 2 k} . x^{- k} = C_{12}^{k} . x^{24 - 3 k} .

Hệ số của số hạng

x^{m}

là 495 nên

C_{12}^{k} = 495 \Leftrightarrow \frac{12!}{k! (12 - k)!} = 495 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 4 \\ k = 8. \end{array}

Khi đó

m = 24 - 3 k

sẽ có 2 giá trị là

m = 0

và

m = 12

.

Câu 2:

Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ${(1 + x)}^{n}$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $\frac{7}{15}$ .

Xem đáp án

Ta có

{(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + ... + C_{n}^{k} x^{k} + C_{n}^{k + 1} x^{k + 1} + ... + C_{n}^{n} x^{n}

.

\begin{array}{l} \frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k + 1}} = \frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} . \frac{(k + 1)! (n - k - 1)!}{n!} = \frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{k + 1}{n - k} = \frac{7}{15} . \\ \Rightarrow 15 (k + 1) = 7 (n - k) \Leftrightarrow 7 n = 15 + 22 k \Leftrightarrow 7 n = 7 (3 k + 2) + k + 1. \end{array}

Vì

k; n \in ℕ

nên ta có

k + 1 ⋮ 7 \Rightarrow k_{\min} = 6 \Rightarrow n_{\min} = 21

.

Câu 3:

Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của $(1 + a x) {(1 + x)}^{4}$ có chứa số hạng $22 x^{3}$ .

A. a=5

B. a=-3

C. a=3

D. a=2

Xem đáp án

Ta có

(1 + a x) {(1 + x)}^{4} = {(1 + x)}^{4} + a x . {(1 + x)}^{4}

.
Xét khai triển

{(x + 1)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

là

4 x^{3}

.
Xét khai triển

a x {(x + 1)}^{4} = a x (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) = a x^{5} + 4 a x^{4} + 6 a x^{3} + 4 a x^{2} + a x

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

là

6 a x^{3}

.
Suy ra số hạng chứa

x^{3}

trong cả khai triển là

(6 a + 4) x^{3}

.
Theo đề ra, ta có

6 a + 4 = 22 \Leftrightarrow a = 3

.

Đáp án C

Câu 4:

Biết rằng hệ số của $x^{n - 2}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{4})}^{n}$ bằng 31. Tìm n.

A. n=32

B. n=30

C. n = 31

D. n=33

Xem đáp án

Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có

{(x - \frac{1}{4})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{n - k} {(- \frac{1}{4})}^{k}

.
Hệ số của

x^{n - 2}

nên ta có

x^{n - 2} = x^{n - k} \Leftrightarrow k = 2

.
Ta có

C_{n}^{2} {(- \frac{1}{4})}^{2} = 31 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 492 \Leftrightarrow n = 32

.
Vậy n=32.

Đáp án A

Câu 5:

Xét khai triển ${(1 + 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}$ với $n \in ℕ^{*}, n \geq 3$ . Giả sử $a_{1} = 27$ , khi đó $a_{2}$ bằng

A. 1053.

B. 243.

C. 324.

D. 351.

Xem đáp án

Ta có:

{(1 + 3 x)}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k} {(3 x)}^{k} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}

.
Theo giả thiết: .

a_{1} = 27 \Leftrightarrow C_{n}^{1} 3^{1} = 27 \Leftrightarrow C_{n}^{1} = 9 \Leftrightarrow n = 9

Suy ra

a_{2} = C_{9}^{2} 3^{2} = 324

.

Đáp án C

Câu 6:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ biết $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105$ là

A. -3003.

B. -5005.

C. 5005.

D. 3003.

Xem đáp án

Ta có:

A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{n!}{2! (n - 2)!} = 105

\Leftrightarrow \frac{1}{2} n (n - 1) = 105 \Leftrightarrow n^{2} - n - 210 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 15 \\ n = - 14 \end{array} \Rightarrow n = 15

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là

T_{k + 1} = C_{15}^{k} . {(x^{2})}^{15 - k} . {(- \frac{1}{x})}^{k} = C_{15}^{k} . {(- 1)}^{k} . x^{30 - 3 k}

.
Số hạng không chứa x ứng với

30 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 10

.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là

C_{15}^{10} . {(- 1)}^{10} = 3003

.

Đáp án D

Câu 7:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P (x) = {(x^{2} + \frac{3}{x})}^{n}, x \neq 0$ bằng

A. 18564.

B. 64152.

C. 192456.

D. 194265.

Xem đáp án

Với

n \geq 2

, ta có:

A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4 n + 6 \Leftrightarrow n (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} + n + 4 n + 6

\Leftrightarrow n^{2} - 11 n - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = - 1 \\ n = 12 \end{array} \Rightarrow n = 12

Với n=12 ta có khai triển:

P (x) = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} . {(x^{2})}^{12 - k} . {(\frac{3}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {.3}^{k} . x^{24 - 3 k}

Số hạng chứa

x^{9}

ứng với

24 - 3 k = 9 \Leftrightarrow k = 5

Vậy hệ số cần tìm là

3^{5} C_{12}^{5} = 192456

Đáp án C

Câu 8:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5 C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{3}$ . Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $P = {(\frac{n x^{2}}{14} - \frac{1}{x})}^{n}$ với $x \neq 0$ là

A. $- \frac{35}{16}$

B. $- \frac{16}{35}$

C. $- \frac{35}{16} x^{5}$

D. $- \frac{16}{35} x^{5}$

Xem đáp án

Điều kiện:

n \in ℕ, n \geq 3

.
Ta có

5 C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{3} \Leftrightarrow \frac{5. n!}{1! . (n - 1)!} = \frac{n!}{3! . (n - 3)!} \Leftrightarrow \frac{5}{(n - 3)! (n - 2) (n - 1)} = \frac{1}{6. (n - 3)!}

.

\Leftrightarrow n^{2} - 3 n - 28 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 7 \\ n = - 4 \end{array} \Rightarrow n = 7

Với n=7, ta có

P = {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x})}^{7}

Số hạng thứ k+1 trong khai triển là

T_{k + 1} = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{7 - k}} . C_{7}^{k} . x^{14 - 3 k}

Số hạng chứa

x^{5}

ứng với

14 - 3 k = 5 \Leftrightarrow k = 3

Vậy số hạng chứa

x^{5}

trong khai triển là

\frac{{(- 1)}^{3}}{2^{4}} C_{7}^{3} x^{5} = - \frac{35}{16} x^{5}

Đáp án C

Câu 9:

Số hạng không chứa x trong khai triển của ${(x \sqrt{x} + \frac{1}{x^{4}})}^{n}$ với $x > 0$ nếu biết rằng $C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44$ là

A. 165.

B. 238.

C. 485.

D. 525.

Xem đáp án

Với

n \geq 2

ta có:

C_{n}^{2} - C_{n}^{1} = 44 \Leftrightarrow \frac{n (n - 1)}{2} - n = 44 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 11 \\ n = - 8 \end{array} \Rightarrow n = 11

Với

n = 11

ta có khai triển:

{(x \sqrt{x} + \frac{1}{x^{4}})}^{11} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} . {(x \sqrt{x})}^{11 - k} . {(\frac{1}{x^{4}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} . x^{\frac{33 - 11 k}{2}}

Số hạng không chứa x ứng với

\frac{33 - 11 k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 3

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là

C_{11}^{3} = 165

Đáp án A