7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Phương trình sinx=a

Câu 1:

$2 \sin (3 x + \frac{π}{4}) = \sqrt{3}$

$(1) \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{3}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 3 x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{3} + k 2 π \\ 3 x = π - \frac{π}{3} - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{36} + k \frac{2 π}{3} \\ x = \frac{5 π}{36} + k \frac{2 π}{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{36} + k \frac{2 π}{3} \\ x = \frac{5 π}{36} + k \frac{2 π}{3} \end{array}$ .

Câu 2:

Giải phương trình

$\sin (3 x + \frac{2 π}{3}) + \sin (x - \frac{7 π}{5}) = 0$

Xem đáp án

$(2) \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{2 π}{3}) - \sin (x - \frac{2 π}{5}) = 0 \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{2 π}{3}) = \sin (x - \frac{2 π}{5})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x + \frac{2 π}{3} = x - \frac{2 π}{5} + k 2 π \\ 3 x + \frac{2 π}{3} = π - (x - \frac{2 π}{5}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{8 π}{15} + k π \\ x = \frac{11 π}{60} + \frac{k π}{2} \end{array}$

Phương trình đã cho có nghiệm là $[\begin{array}{l} x = - \frac{8 π}{15} + k π \\ x = \frac{11 π}{60} + \frac{k π}{2} \end{array}$

Câu 3:

Giải phương trình

${\sin [\frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80})] = 0}^{}$

Xem đáp án

Ta có : $\sin [\frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80})] = 0 \Leftrightarrow \frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80}) = k π$

$\Leftrightarrow 3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 4 k \Leftrightarrow \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 3 x - 4 k$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x \geq 4 k \\ 9 x^{2} - 16 x - 80 = 9 x^{2} - 24 k x + 16 k^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x \geq 4 k \\ x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \end{cases}$

Xét $x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \Rightarrow 9 x = \frac{18 k^{2} + 90}{3 k - 2} = \frac{2 (9 k^{2} - 4) + 98}{3 k - 2} = 2 (3 k + 2) + \frac{98}{3 k - 2}$ .

Vì $x \in ℕ^{*}$ nên $9 x \in ℕ^{*} \Rightarrow 3 k - 2 \in$ Ư $(98)$ $= \{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14; \pm 49; \pm 98\}$ .

Lại có $\{\begin{cases} x \in ℕ^{*} \\ 2 k^{2} + 10 > 0 (k \in ℤ) \end{cases} \Rightarrow 3 k - 2 > 0$ $\Rightarrow 3 k - 2 \in \{1; 2; 7; 14; 49; 98\} \Leftrightarrow k \in \{1; 3; 17\}$

- Với $k = 1$ thì $x = 12$ (thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

- Với $k = 3$ thì $x = 4$ (thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

- Với $k = 17$ thì $x = 12$ (không thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là $x \in \{4; 12\}$ .

Câu 4:

Cho phương trình $\sin (x + π) = \frac{m + 2}{m - 1}$ , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

A. $m \leq - \frac{1}{4}$

B. $m \leq - \frac{1}{2}$

C.

\forall m \in ℝ

.

D. Không tồn tại giá trị của m

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin (x + π) = \frac{m + 2}{m - 1}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ , $m \neq 1$ .

Ta có $- 1 \leq \sin (x + π) \leq 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq \frac{m + 2}{m - 1} \\ \frac{m + 2}{m - 1} \leq 1 \end{cases}$ .

Giải (1) . Ta có $- 1 \leq \frac{m + 2}{m - 1} \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m \leq \frac{- 1}{2} \end{array}$ .

Giải (2) . Ta có $- 1 \leq \frac{m + 2}{m - 1} \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m \leq \frac{- 1}{2} \end{array}$ .

Kết hợp nghiệm ta có $m \leq - \frac{1}{2}$ .

Câu 5:

Phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có nghiệm thỏa mãn $\frac{- π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$

A. $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

B.

x = \frac{π}{6}

.

C.

x = \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ

.

D.

x = \frac{π}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Do $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ nên $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ .

Vì $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$ nên $x = \frac{π}{6}$ .

Câu 6:

Số nghiệm của phương trình $\frac{\sin 2 x}{1 - \cos x} = 0$ trên đoạn $[0; 3 π]$ là

A. 8.

B. 7.

C. 4.

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\frac{\sin 2 x}{1 - \cos x} = 0$ có nghĩa $\Leftrightarrow 1 - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π \Leftrightarrow D = ℝ \ \{k 2 π\}$ .

Ta có $\frac{\sin 2 x}{1 - \cos x} = 0 \Leftrightarrow \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}$ .

Kết hợp với điều kiện ta có $[\begin{array}{l} x = (2 k + 1) π \\ x = \frac{π}{2} + k π \end{array}$ .

Do $x \in [0; 3 π] \Rightarrow x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{5 π}{2}$ , $x = 3 π$ , $x = π$ .

Vậy phương trình có 5 nghiệm.

Câu 7:

Cho phương trình $\sin \frac{x}{3} = m^{2} + 9$ , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?

A. $- 3 < m < 3$

B. m<3.

C. $\forall m \in ℝ$

D. Không tồn tại giá trị của .

Xem đáp án

Phương trình $\sin \frac{x}{3} = m^{2} + 9$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin \frac{x}{3} \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq m^{2} + 9 \leq 1 \Leftrightarrow - 10 \leq m^{2} \leq - 8$ (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm với $\forall m \in ℝ$ .