41 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Câu 1:

Tìm đạo hàm các hàm số $y = - x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 2020 x$

Xem đáp án

$y^{'} = {(- x^{4})}^{'} + {(\frac{3}{2} x^{2})}^{'} + {(2020 x)}^{'} \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 3 x + 2020$

Câu 2:

Tìm đạo hàm các hàm số $y = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 1}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{'} . (x + 1) - (\sqrt{x} + 2) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} . (x + 1) - (\sqrt{x} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{x + 1 - 2 x - 4 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{1 - x - 4 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$

Câu 3:

Tìm đạo hàm các hàm số $y = x^{2} + x \sqrt{x} - 5.$

Xem đáp án

$y^{'} = {(x^{2})}^{'} + {(x \sqrt{x})}^{'} - 5^{'}$

$= 2 x + x^{'} . \sqrt{x} + {(\sqrt{x})}^{'} . x$

$= 2 x + \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} . x$

$= 2 x + \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Câu 4:

Chứng minh các công thức tổng quát sau

${(\frac{a x + b}{c x + d})}^{'} = \frac{|\begin{array}{l} a b \\ c d \end{array}|}{{(c x + d)}^{2}};$

(a, b, c, d là hằng số)

Xem đáp án

Ta có ${(\frac{a x + b}{c x + d})}^{'} = \frac{{(a x + b)}^{'} (c x + d) - (a x + b) {(c x + d)}^{'}}{{(c x + d)}^{2}}$

$= \frac{a (c x + d) - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

$= \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Vậy ${(\frac{a x + b}{c x + d})}^{'} = \frac{|\begin{array}{l} a b \\ c d \end{array}|}{{(c x + d)}^{2}}$

Câu 5:

Chứng minh các công thức tổng quát sau ${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}})}^{'} = \frac{|\begin{array}{l} a b \\ a_{1} b_{1} \end{array}| x^{2} + 2 |\begin{array}{l} a c \\ a_{1} c_{1} \end{array}| x + |\begin{array}{l} b c \\ b_{1} c_{1} \end{array}|}{{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{2}}$

(a, b, c, $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ là hằng số)

Xem đáp án

${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}})}^{'} = \frac{{(a x^{2} + b x + c)}^{'} (a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}) - (a x^{2} + b x + c) {(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{'}}{{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{2}}$

$= \frac{(2 a x + b) . (a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}) - (a x^{2} + b x + c) . (2 a_{1} x + b_{1})}{{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{2}}$

$= \frac{(a . b_{1} - a_{1} . b) x^{2} - 2 (a . c_{1} - a_{1} . c) x + (b . c_{1} - b_{1} . c)}{{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{2}}$

Vậy ${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}})}^{'} = \frac{|\begin{array}{l} a b \\ a_{1} b_{1} \end{array}| x^{2} + 2 |\begin{array}{l} a c \\ a_{1} c_{1} \end{array}| x + |\begin{array}{l} b c \\ b_{1} c_{1} \end{array}|}{{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})}^{2}}$

(điều phải chứng minh).

Câu 6:

Chứng minh các công thức tổng quát sau

${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x + b_{1}})}^{'} = \frac{a . a_{1} x^{2} + 2 a . b_{1} x + |\begin{array}{l} b c \\ a_{1} b_{1} \end{array}|}{{(a_{1} x + b_{1})}^{2}}$

(a, b, c, $a_{1}, b_{1}$ là hằng số)

Xem đáp án

Ta có ${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x + b_{1}})}^{'} = \frac{{(a x^{2} + b x + c)}^{'} . (a_{1} x + b_{1}) - (a x^{2} + b x + c) . {(a_{1} x + b_{1})}^{'}}{{(a x_{1} + b_{1})}^{2}}$

$= \frac{(2 a x + b) . (a_{1} x + b_{1}) - (a x^{2} + b x + c) . a_{1}}{{(a_{1} x + b_{1})}^{2}}$

$= \frac{a . a_{1} x^{2} + 2 a . b_{1} x + (b . b_{1} - a_{1} . c)}{{(a_{1} x + b_{1})}^{2}}$ (điều phải chứng minh).

Vậy ${(\frac{a x^{2} + b x + c}{a_{1} x + b_{1}})}^{'} = \frac{a . a_{1} x^{2} + 2 a . b_{1} x + |\begin{array}{l} b c \\ a_{1} b_{1} \end{array}|}{{(a_{1} x + b_{1})}^{2}}$

Câu 7:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = {(x^{4} + 2 x)}^{2} + \sqrt{2 x^{2} - 1}$

Xem đáp án

$y^{'} = {[{(x^{4} + 2 x)}^{2}]}^{'} + {(\sqrt{2 x^{2} - 1})}^{'}$

$y^{'} = 2 (x^{4} + 2 x) . {(x^{4} + 2 x)}^{'} + \frac{{(2 x^{2} - 1)}^{'}}{2 \sqrt{2 x^{2} - 1}}$

$\Rightarrow y^{'} = 2 (x^{4} + 2 x) . (4 x^{3} + 2) + \frac{4 x}{2 \sqrt{2 x^{2} - 1}}$

$\Rightarrow y^{'} = 4 x (x^{3} + 2) . (2 x^{3} + 1) + \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$

Câu 8:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{3}$

Xem đáp án

$y^{'} = 3. {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{2} . {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{'} = 3. {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{2} . \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{9 {(2 x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Câu 9:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{'}}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 1}} = \frac{6 x - 2}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 1}} = \frac{3 x - 1}{\sqrt{3 x^{2} - 2 x + 1}}$

Câu 10:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = {(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2};$

Xem đáp án

$y^{'} = 2 (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) {(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{'}$

$= 2 (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) \frac{- 2}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}} {(\sqrt{x})}^{'}$

$= - \frac{2}{\sqrt{x}} \frac{1 - \sqrt{x}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}}$

Câu 11:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y = {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} .

Xem đáp án

$y^{'} = {[{(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}]}^{'} = 2. (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) . {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{'}$

$= 2. (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 x \sqrt{x}})$

$= 2. \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) (1 + \frac{1}{x})$

$= (1 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$

$= 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Câu 12:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{\sqrt{x^{2} + 1} + 2 x - 1}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 2}{2 \sqrt{\sqrt{x^{2} + 1} + 2 x - 1}} = \frac{x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 1} + 2 x - 1)}}$

Câu 13:

Cho hàm số f(x)=ax+b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

f^{'} (x) = a .

B.

f^{'} (x) = - a .

C.

f^{'} (x) = b .

D.

f^{'} (x) = - b .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 14:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 5 x - 1$ tại $x = 4$ là

A. – 1.

B. – 5.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có đạo hàm là

A.

y^{'} = 2.

B.

y^{'} = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} .

C.

y^{'} = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} .

D.

y^{'} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 16:

Cho các hàm số $u = u (x), v = v (x)$ có đạo hàm trên khoảng J và $v (x) \neq 0$ với $\forall x \in J$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

{[u (x) + v (x)]}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)

.

B. ${[\frac{1}{v (x)}]}^{'} = \frac{v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$ .

C.

{[u (x) . v (x)]}^{'} = u^{'} (x) . v (x) + v^{'} (x) . u (x) .

D. ${[\frac{u (x)}{v (x)}]}^{'} = \frac{u^{'} (x) . v (x) - v^{'} (x) . u (x)}{v^{2} (x)}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 8$

A.

y^{'} = 2 x^{3} + 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 1

B.

y^{'} = 2 x^{3} + 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}

C.

y^{'} = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1

D.

y^{'} = 2 x^{3} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + x}{x - 2}$ . Đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ là

A.

y^{'} (1) = - 4.

B.

y^{'} (1) = - 5.

C.

y^{'} (1) = - 3.

D.

y^{'} (1) = - 2.

Xem đáp án

Đáp án B

$y^{'} = \frac{(2 x + 1) (x - 2) - (x^{2} + x)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x - 2}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (1) = - 5$

Câu 19:

Đạo hàm của hàm số $y = {(1 - x^{3})}^{5}$ là

A.

y^{'} = 5 {(1 - x^{3})}^{4} .

B.

y^{'} = - 15 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4} .

C.

y^{'} = - 3 {(1 - x^{3})}^{4} .

D.

y^{'} = - 5 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(1 - x^{3})}^{'} = - 15 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4}$

Câu 20:

Hàm số $y = \frac{{(x - 2)}^{2}}{1 - x}$ có đạo hàm là

A.

y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}

.

B.

y^{'} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}

C.

y^{'} = - 2 (x - 2)

.

D.

y^{'} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = \frac{2 (x - 2) (1 - x) - {(x - 2)}^{2} (- 1)}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Câu 21:

Tìm đạo hàm của hàm số

y = x^{2} (2 x + 1) (5 x - 3)

.

A.

y^{'} = 40 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x .

B.

y^{'} = 40 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x .

$y^{'} = 40 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x .$ C.

D.

y^{'} = 40 x^{3} - 3 x^{2} - x .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = 10 x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} = 40 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Câu 22:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{2} x^{6} - \frac{3}{x} + 2 \sqrt{x}$ là

A.

y^{'} = 3 x^{5} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} .

B.

y^{'} = 6 x^{5} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

C.

y^{'} = 3 x^{5} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} .

D. $y^{'} = 6 x^{5} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = 3 x^{5} + \frac{3}{x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Câu 23:

Tìm đạo hàm của hàm số

y = {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{3}

.

A.

y^{'} = 3 (4 + \frac{10}{x^{3}}) {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{2} .

B.

y^{'} = 3 (4 - \frac{10}{x^{3}}) {(4 x - \frac{5}{x^{2}})}^{2} .

C.

y^{'} = {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{2} .

D.

y^{'} = 3 (4 - \frac{10}{x^{3}}) {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{2 - 3 x^{2}}$ là

A.

\frac{- 3 x}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} .

B.

\frac{1}{2 \sqrt{2 - 3 x^{2}}} .

C.

\frac{- 6 x^{2}}{2 \sqrt{2 - 3 x^{2}}} .

D.

\frac{3 x}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 25:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ . Giá trị $y^{'} (0)$ bằng

A.

y^{'} (0) = \frac{1}{2} .

B.

y^{'} (0) = \frac{1}{3} .

C.

y^{'} (0) = 1.

D.

y^{'} (0) = 2.

Xem đáp án

Đáp án A

$y^{'} = f^{'} (x) = {(\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}})}^{'} = \frac{x^{'} . \sqrt{4 - x^{2}} - x . {(\sqrt{4 - x^{2}})}^{'}}{4 - x^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}}{4 - x^{2}} \Rightarrow y^{'} (0) = \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{1}{2}$

Câu 26:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ có dạng $\frac{a x}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}}$ .

Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?

A.

a = - 4.

B.

a = - 1.

C.

a = 2.

D.

a = - 3.

Xem đáp án

Đáp án B

$y^{'} = - \frac{{(\sqrt{x^{2} + 1})}^{'}}{x^{2} + 1} = \frac{- {(x^{2} + 1)}^{'}}{2 \sqrt{x^{2} + 1} . (x^{2} + 1)} = \frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 1} . (x^{2} + 1)} \Rightarrow a = - 1$

Câu 27:

Tìm đạo hàm của hàm số

y = x^{2} + x \sqrt{x + 1}

.

A.

y^{'} = 2 x + \sqrt{x + 1} - \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}

B.

y^{'} = 2 x - \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}

C.

y^{'} = \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}

D.

y^{'} = 2 x + \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = 2 x + \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}$

Câu 28:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = {(x + 2)}^{3} {(x + 3)}^{2}$ .

A.

y^{'} = 3 {(x^{2} + 5 x + 6)}^{3} + 2 (x + 3) {(x + 2)}^{3}

B.

y^{'} = 2 {(x^{2} + 5 x + 6)}^{2} + 3 (x + 3) {(x + 2)}^{3}

C.

y^{'} = 3 (x^{2} + 5 x + 6) + 2 (x + 3) (x + 2)

.

D.

y^{'} = 3 {(x^{2} + 5 x + 6)}^{2} + 2 (x + 3) {(x + 2)}^{3}

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = 3 {(x^{2} + 5 x + 6)}^{2} + 2 (x + 3) {(x + 2)}^{3}$

Câu 29:

Đạo hàm của hàm số $y = {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{7}$ là

A.

y^{'} = 7 (- 2 x + 3) {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6}

B.

y^{'} = 7 {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6}

C.

y^{'} = (- 2 x + 3) {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6}

D.

y^{'} = 7 (- 2 x + 3) {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6}

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = 7 {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6} {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{'} = 7 (- 2 x + 3) {(- x^{2} + 3 x + 7)}^{6}$

Câu 30:

Cho $f (x) = \sqrt{1 + 3 x} - \sqrt[3]{1 + 2 x}$ . Giá trị của $f^{'} (0)$ bằng

A.

\frac{5}{6} .

B.

- \frac{5}{6} .

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

$f^{'} (x) = \frac{3}{2 \sqrt{1 + 3 x}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{{(1 + 2 x)}^{2}}} \Rightarrow f^{'} (0) = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

Câu 31:

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} \sqrt{x}$ là

A.

\frac{x \sqrt{x}}{2} .

B.

\frac{5 \sqrt{x}}{2} .

C.

\frac{5 x \sqrt{x}}{3} .

.

D.

\frac{5 x \sqrt{x}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D $y^{'} = {(x^{2} \sqrt{x})}^{'} = {(x^{2})}^{'} . \sqrt{x} + {(\sqrt{x})}^{'} . x^{2} = 2 x . \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} . x^{2} = 2 x \sqrt{x} + \frac{1}{2} x \sqrt{x} = \frac{5 x . \sqrt{x}}{2}$

Câu 32:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ có dạng $\frac{a x^{2} + b x}{{(x - 1)}^{2}}$ . Khi đó $a . b$ bằng

A.

a . b = - 2.

B.

a . b = - 1.

C.

a . b = 3.

D.

a . b = 4.

Xem đáp án

Đáp án A

$y^{'} = \frac{(2 x - 1) (x - 1) - (x^{2} - x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow a b = - 2$

Câu 33:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{(x - 1) (x + 3)}$ bằng

A. .

\frac{1}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

B.

\frac{1}{2 x + 2} .

C. .

- \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{2}}

D.

\frac{- 4}{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{2}}

Xem đáp án

Đáp án C

$y = \frac{1}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{1}{x^{2} + 2 x - 3} \Rightarrow y^{'} = - \frac{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{'}}{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{2}} = - \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{2}}$

Câu 34:

Cho hàm số $f (x) = (2018 + x) (2017 + 2 x) (2016 + 3 x) ... (1 + 2018 x)$ . Giá trị của $f^{'} (1)$ bằng

A.

{2019.2018}^{1009}

B.

{2018.1009}^{2019}

C.

{1009.2019}^{2018}

D.

{2018.2019}^{1009}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$f^{'} (x) = (2017 + 2 x) (2016 + 3 x) ... (1 + 2018 x) + ...2 (2018 + x) (2016 + 3 x) ... (1 + 2018 x) +$ $... + 2018 (2018 + x) (2017 + 2 x) ... (1 + 2017 x)$

Suy ra $f^{'} (1) = 2019^{2017} + {2.2019}^{2017} + {3.2019}^{2017} + ... + {2018.2019}^{2017} = 2019^{2017} (1 + 2 + 3 + ... + 2018)$

$= 2019^{2017} . \frac{2018.2019}{2} = {1009.2019}^{2018}$

Câu 35:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$

A. $y^{'} = - \frac{a^{2}}{\sqrt{{(a^{2} - x^{2})}^{3}}} .$

B. $y^{'} = \frac{a^{2}}{\sqrt{{(a^{2} + x^{2})}^{3}}} .$

C. $y^{'} = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{{(a^{2} - x^{2})}^{3}}} .$

D. $y^{'} = \frac{a^{2}}{\sqrt{{(a^{2} - x^{2})}^{3}}} .$

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{(a^{2} - x^{2})} = \frac{a^{2}}{\sqrt{{(a^{2} - x^{2})}^{3}}}$

Câu 36:

Đạo hàm của hàm số $y = (x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 1}$ là

A.

\frac{4 x^{2} - 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} .

B.

\frac{4 x^{2} + 5 x - 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} .

C.

\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} .

D.

\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} .

Xem đáp án

Đáp ánD

$y^{'} = \sqrt{x^{2} + x + 1} + (x + 1) \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} = \frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Câu 37:

Cho ${(\frac{3 - 2 x}{\sqrt{4 x - 1}})}^{'} = \frac{a x - b}{(4 x - 1) \sqrt{4 x - 1}}, \forall x > \frac{1}{4} .$ Giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. – 16.

B. – 4.

C. – 1.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C ${(\frac{3 - 2 x}{\sqrt{4 x - 1}})}^{'} = \frac{{(3 - 2 x)}^{'} \sqrt{4 x - 1} - (3 - 2 x) {(\sqrt{4 x - 1})}^{'}}{{(\sqrt{4 x - 1})}^{2}} = \frac{- 2 \sqrt{4 x - 1} - (3 - 2 x) . \frac{2}{\sqrt{4 x - 1}}}{4 x - 1}$

$= \frac{- 2 (4 x - 1) - 2 (3 - 2 x)}{(4 x - 1) \sqrt{4 x - 1}}$

$= \frac{- 4 x - 4}{(4 x - 1) \sqrt{4 x - 1}}$

$a = - 4, b = 4$

Vậy

\frac{a}{b} = - 1

Câu 38:

Cho $f (x) = x (x + 1) (x + 2) (x + 3) ... (x + n)$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tính $f^{'} (0)$ .

A.

f^{'} (0) = 0.

B.

f^{'} (0) = n

C. $f^{'} (0) = n!$

D.

f^{'} (0) = \frac{n (n + 1)}{2}

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $u (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) ... (x + n)$ .

Ta có: $f (x) = x . u (x) \Rightarrow f^{'} (x) = u (x) + x . u^{'} (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) ... (x + n) + x . u^{'} (x) \Rightarrow f^{'} (0) = 1.2.3.4... n = n!$

Câu 39:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0, \forall x \in ℝ$ . Giá trị của $A = 3 f (2) + 4 f^{'} (2)$ bằng

A. 11.

B. 14.

C. 13.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0 (1)$

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:

$3 f^{2} (2 - x) . {[f (2 - x)]}^{'} - 4. f (2 + 3 x) . {[f (2 + 3 x)]}^{'} + 2 x g (x) + x^{2} g^{'} (x) + 36 = 0$

$\Leftrightarrow - 3 f^{2} (2 - x) . f^{'} (2 - x) - 12. f (2 + 3 x) . f^{'} (2 + 3 x) + 2 x g (x) + x^{2} g^{'} (x) + 36 = 0 (2)$

Thế $x = 0$ vào (1) ta được $f^{3} (2) - 2 f^{2} (2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (2) = 0 \\ f (2) = 2 \end{array}$

Với $f (2) = 0$ thế $x = 0$ vào (2) ta có: $36 = 0$ (vô lí).

Với $f (2) = 2$ thế $x = 0$ vào (2) ta có: $- 3 f^{2} (2) . f^{'} (2) - 12 f (2) . f^{'} (2) + 36 = 0 \Leftrightarrow - {3.2}^{2} . f^{'} (2) - 12.2. f^{'} (2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (2) = 1.$

Vậy $A = 3 f (2) + 4 f^{'} (2) = 3.2 + 4.1 = 10$

Câu 40:

Cho hai hàm số

f (x)

và

g (x)

xác định và liên tục trên thoả mãn:

f (x) = x^{2}, \forall x \in ℝ

và

g (1) = 3; g^{'} (1) = 5

. Tính đạo hàm của hàm số hợp

f (g (x))

tại

x = 1

.

A. 0.

B. 9.

D. 30.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x, f^{'} [g (1)] = f^{'} (3) = 6$

{[f (g (x))]}^{'} (x) = f^{'} (g (x)) . g^{'} (x) = 30

, suy ra

{[f (g (x))]}^{'} (1) = f^{'} (g (1)) . g^{'} (1) = 30

Câu 41:

Biết hàm số f(x)-f(2x) có đạo hàm bằng 5 tại x=1 và đạo hàm bằng 7 tại x=2 . Tính đạo hàm của hàm số f(x)-f(4x) tại x=1

A. 8.

B. 12.

C. 16.

D. 19.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ${(f (x) - f (2 x))}^{'} = f^{'} (x) - 2 f^{'} (2 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f^{'} (1) - 2 f^{'} (2) = 5 \\ f^{'} (2) - 2 f^{'} (4) = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f^{'} (1) - 2 f^{'} (2) = 5 \\ 2 f^{'} (2) - 4 f^{'} (4) = 14 \end{cases} \Rightarrow f^{'} (1) - 4 f^{'} (4) = 19$

Vậy $f^{'} (1) - f^{'} (4) = 19$ .