50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 1:

(C) : y = x^{3} + 2 x^{2}

tại điểm

M (1; 3)

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 4 x \Rightarrow k = y^{'} (1) = 7$ .

Phương trình tiếp tuyến tại $M (1; 3)$ là $d : y = {y^{'}}_{0} (x - x_{0}) + y_{0} \Leftrightarrow y = 7 (x - 1) + 3$

\Leftrightarrow y = 7 x - 4

.

Câu 2:

Cho điểm M thuộc đồ thị $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M.

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

Ta có: $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = y (- 1) = \frac{1}{2}$ và $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow k = y^{'} (- 1) = \frac{- 3}{4}$ .

Phương trình tiếp tuyến tại M là

y = - \frac{3}{4} (x + 1) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4}

.

Câu 3:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 5}$ tại giao điểm với trục hoành

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{5\} .$ .

Tọa độ giao điểm với trục hoành $y = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{x - 5} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = - \frac{1}{2}$ là $y = y^{'} (- \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) + y (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{11} (x + \frac{1}{2}) = - \frac{4}{11} x - \frac{2}{11} .$

Câu 4:

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2}$ .

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N (x_{N}; y_{N})$ (khác M) nên $x_{M}, x_{N}$ là nghiệm của phương trình:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

$\Leftrightarrow (x^{3} - x_{M}^{3}) - 3 (x^{2} - x_{M}^{2}) - (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) = 0$

$\Leftrightarrow {(x - x_{M})}^{2} (x + 2 x_{M} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{M} \\ x = - 2 x_{M} + 3 \end{array}$

$\Rightarrow x_{N} = - 2 x_{M} + 3$

Khi đó $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2} = 5 x_{M}^{2} + {(- 2 x_{M} + 3)}^{2} = 9 x_{M}^{2} - 12 x_{M} + 9 \geq 9 {(x_{M} - \frac{2}{3})}^{2} + 5$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_{M} = \frac{2}{3} .$

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M (1; - 2)$ lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{2\}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (1) = - 3$ .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M (1; - 2)$ là đường thẳng $(Δ)$ có dạng:

$y = y^{'} (1) (x - 1) + y (1) = - 3 (x - 1) - 2 \Leftrightarrow y = - 3 x + 1$

Suy ra

(Δ) \cap O x = A (\frac{1}{3}; 0); (Δ) \cap O y = B (0; 1) \Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} .1 = \frac{1}{6}

.

Câu 6:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x + 2$ có hệ số góc bằng 9.

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ .

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M (x_{0}; y_{0})$ , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

$k = y^{'} (x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 3 = 9 \Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0} = \pm 2$ .

+ Với $x_{0} = 2$ ta có $y_{0} = 4$ , suy ra tiếp điểm .

+ Với $x_{0} = - 2$ ta có $y_{0} = 0$ , suy ra tiếp điểm $M_{2} (- 2; 0)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại $M_{1}$ là

$(d_{1}) : y = 9 (x - 2) + 4 \Rightarrow (d_{1}) : y = 9 x - 14.$ .

Phương trình tiếp tuyến tại $M_{2}$ là

$(d_{1}) : y = 9 (x - 2) + 4 \Rightarrow (d_{1}) : y = 9 x - 14.$ .

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

$(d_{1}) : y = 9 x - 14; (d_{2}) : y = 9 x + 18$ .

Câu 7:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $(Δ) : 3 x - y + 2 = 0$ .

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ và $(Δ) : 3 x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3 x + 2$ .

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M (x_{0}; y_{0})$ .

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $(Δ)$ nên $k = \frac{3}{{(x_{0} + 2)}^{2}} = 3 \Leftrightarrow {(x_{0} + 2)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} + 2 = 1 \\ x_{0} + 2 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \end{array}$

+ Với $x_{0} = - 1$ suy ra , suy ra tiếp điểm $M_{1} (- 1; - 1)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại là: $d_{1} : y = 3 (x + 1) - 1 \Rightarrow d_{1} : y = 3 x + 2$ .

Lúc này: $d_{1} \equiv Δ$ nên không thỏa mãn.

+ Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 5$ ta có tiếp điểm .

Phương trình tiếp tuyến tại là $(d_{2}) : y = 3 (x + 3) + 5 \Rightarrow (d_{2}) : y = 3 x + 14$ .

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là $d_{2} : y = 3 x + 14$ .

Câu 8:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2}

có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng

d : y = (m^{2} - 4) x + 2 m - 1

.

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M (1; - 2) \in (C)$ là

$Δ : y + 2 = ({3.1}^{2} - 6.1) (x - 1) \Leftrightarrow y = - 3 x + 1$ .

Khi đó: .

Δ / / d \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 = m^{2} - 4 \\ 2 m - 1 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 1 \end{array} \\ m \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 1

Câu 9:

Cho hàm số

y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m + 2

có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với đường thẳng x-4y+1=0.

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x$ .

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc $k = y^{'} (1) = 4 - 4 (m + 1) = - 4 m$ .

Do đó: $d ⊥ Δ \Leftrightarrow - 4 m . \frac{1}{4} = - 1 \Leftrightarrow 4 m = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 10:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x - 2}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc $k = 2$ .

Xem đáp án

Tập xác định:

Gọi $M (x_{0}; y_{o})$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} - 4 x + 5}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k = 2$ nên

+ Với ta có , suy ra phương trình tiếp tuyến

$y^{'} (x_{0}) = 2 \Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 5}{{(x_{0} - 2)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \\ x_{0} = 3 \end{array}$ .

+ Với $x_{0} = 1$ ta có $y_{0} = 1$ , suy ra phương trình tiếp tuyến

$y = 2 (x - 1) + 1 \Leftrightarrow y = 2 x - 1.$ .

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 2 x - 1, y = 2 x - 5$ .

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Tập xác định:

D = ℝ \ \{1\}

.

Ta có: $y^{'} = \frac{- 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là

$Δ : y = \frac{- 4}{{(x_{0} - 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{2 x_{0} + 2}{x_{0} - 1}$

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$ .

$\frac{- 4}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = \pm 1 \Leftrightarrow x_{0} = - 1, x_{0} = 3$ .

+ Với $x_{0} = - 1$ ta có $y_{0} = 0 \Rightarrow Δ : y = - x - 1$ .

+ Với $x_{0} = 3$ ta có $y_{0} = 4 \Rightarrow Δ : y = - x + 7$ .

Câu 12:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị:

(C) : y = - 4 x^{3} + 3 x + 1

đi qua điểm A(-1;2)

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có: $y^{'} = - 12 x^{2} + 3$ .

Đường thẳng d đi qua $A (- 1; 2)$ với hệ số góc k có phương trình $d : y = k (x + 1) + 2$ .

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình $\{\begin{cases} - 4 x^{3} + 3 x + 1 = k (x + 1) + 2 (1) \\ k = - 12 x^{2} + 3 (2) \end{cases}$ có nghiệm.

Thay k từ (2) vào (1) ta được:

$- 4 x^{3} + 3 x + 1 = (- 12 x^{2} + 3) (x + 1) + 2$

$\Leftrightarrow 8 x^{3} + 12 x^{2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x - \frac{1}{2}) {(x + 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

+ Với $x = - 1$ ta có $k = - 9.$

Phương trình tiếp tuyến là $y = - 9 x + 7$ .

+ Với $x = \frac{1}{2}$ ta có $k = 0.$

Phương trình tiếp tuyến là . $y = 2$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

y = - 9 x - 7; y = 2

Câu 13:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 0$ là

A.

y = x + 2

.

B.

y = - x + 2

.

C.

y = - x - 2

D.

y = - x

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 1\}$ . Ta có $y^{'} = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = y^{'} (0) . x + y (0) \Leftrightarrow y = - x + 2$

Câu 14:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {(x + 1)}^{2} (x - 2)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là

A. .

y = - 8 x + 4

B. .

y = 9 x + 18

C.

y = - 4 x + 4

D.

y = 9 x - 18

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 0$

$y = {(x + 1)}^{2} (x - 2) = x^{3} - 3 x + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow y^{'} (2) = 9$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9 (x - 2) + 0 \Leftrightarrow y = 9 x - 18$

Câu 15:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2}$ tại điểm M có tung độ bằng 5 là

A.

y = - 12 x - 7

B.

y = 12 x - 7

C.

y = - 12 x + 17

D.

y = 12 x + 17

Xem đáp án

Đáp án B

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: $2 x^{3} + 3 x^{2} = 5 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có: $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x \Rightarrow y^{'} (1) = 12$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 12 (x - 1) + 5 = 12 x - 7 \Leftrightarrow y = 12 x - 7$

Câu 16:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + (2 m - 1) x + 2 m - 3$ có đồ thị ( $C_{m}$ ). Với giá trị nào của tham số m thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị ( $C_{m}$ ) vuông góc với đường thẳng $Δ : x - 2 y - 4 = 0$ ?

A.

m = - 2.

B.

m = - 1.

C.

m = 0.

D.

m = 4.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x + 2 m - 1 = - 3 (x^{2} - 2 x + 1) + 2 m + 2 = - 3 {(x - 1)}^{2} + 2 m + 2 \leq 2 m + 2, \forall x \in ℝ$

Do đó giá trị lớn nhất của y' là $2 m + 2$ , đạt tại $x_{0} = 1$

Với $x_{0} = 1$ thì $y_{0} = 4 m - 2$

Phương trình tiếp tuyến của $(C_{m})$ tại $M (1; 4 m - 2)$ là

$d : y - (4 m - 2) = (2 m + 2) (x - 1) \Leftrightarrow y = (2 m + 2) x + 2 m - 4$

Theo đề bài ta có $Δ : x - 2 y - 4 = 0$ hay $Δ : y = \frac{1}{2} x - 2$

$d ⊥ Δ \Leftrightarrow 2 m + 2 = - 2 \Leftrightarrow m = - 2$

.

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x - 1}$ có đồ thị cắt trục tung tại $A (0; - 1)$ , tiếp tuyến tại A có hệ số góc $k = - 3$ . Các giá trị của a, b là

A. .

a = 1, b = 1

B.

a = 2, b = 1

C.

a = 1, b = 2

D.

a = 2, b = 2

Xem đáp án

Đáp án B

$A (0; - 1) \in (C) : y = \frac{a x + b}{x - 1} \Rightarrow \frac{b}{- 1} = - 1 \Leftrightarrow b = 1$ . Ta có $y^{'} = \frac{- a - b}{{(x - 1)}^{2}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là

k = y^{'} (0) = - a - b \Leftrightarrow - 3 = - a - b \Leftrightarrow a = 3 - b = 2

Câu 18:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{3} + 9 x^{2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ có phương trình là

A.

y = 30 x - 28.

B.

y = 30 x + 28.

C.

y = 42 x + 52.

D.

y = 42 x - 52.

Xem đáp án

Đáp án A

$y^{'} = - \frac{3}{2} x^{2} + 18 x \Rightarrow y^{'} (2) = 30; y (2) = 32$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 2$ có phương trình $y = 30 (x - 2) + 32$ hay $y = 30 x - 28$ .

Câu 19:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 m x^{2} + (m + 1) x + 1$ có đồ thị (C). Biết rằng khi $m = m_{0}$ thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng $x_{0} = - 1$ đi qua $A (1; 3)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

- 1 < m_{0} < 0.

B.

0 < m_{0} < 1.

C.

1 < m_{0} < 2.

D.

- 2 < m_{0} < - 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 m x + m + 1$

Với $x_{0} = - 1$ thì $y_{0} = 2 m - 1$ , gọi $B (- 1; 2 m - 1) \Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 2 m - 4)$

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - m + 2$

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là $k = y^{'} (x_{0}) \Leftrightarrow 3 {(x_{0})}^{2} + 6 m_{0} x_{0} + m_{0} + 1 = - m_{0} + 2$

.

Câu 20:

Phương trình tiếp tuyến của $(C) : y = x^{4} - 2 x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng – 2 là

A. .

y = - 24 x - 40

B.

y = - 24 x + 40

C. .

y = 24 x - 40

D.

y = 24 x + 40

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ .

Với $x_{0} = - 2$ thì $y_{0} = 8, y^{'} (- 2) = - 24$ .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M (- 2; 8)$ là $y = - 24 (x + 2) + 8 \Leftrightarrow y = - 24 x - 40$ .

Câu 21:

Cho hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y=3x-1 có tọa độ tiếp tuyến là

A.

A (0; - 1)

và

B (- 2; 5)

.

B.

A (0; - 1)

C.

B (- 2; 5)

.

D.

A (- 1; 0)

và

B (5; - 2)

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $y = 3 x - 1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = 3$ .

Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: $\frac{3}{{(x + 1)}^{2}} = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Trường hợp 1: $x = 0$ , suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_{0} = - 1$ .

Phương trình của tiếp tuyến là: $y + 1 = 3 (x - 0) \Leftrightarrow y = 3 x - 1$ (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x = - 2$ , suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_{0} = 5$

Phương trình của tiếp tuyến là: $y - 5 = 3 (x + 2) \Leftrightarrow y = 3 x + 11$ ( thỏa mãn).

Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là $B (- 2; 5)$

Câu 22:

Tiếp tuyến của đồ thị

(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} + 5

vuông góc với đường d:x+9y=0 có phương trình là

A. .

y = 9 x; y = 9 x + 32

B.

y = 9 x - 22; y = 9 x + 18

C.

y = 9 x; y = 9 x - 32

D.

y = 9 x + 22; y = 9 x - 18

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x; d : x + 9 y = 0$ hay $y = - \frac{1}{9} x$ .

Gọi $d^{'}$ là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm $M (x_{0}; y_{0})$

Do $d^{'} ⊥ d$ nên $d^{'}$ có hệ số góc $k = 9$ . Do đó $y^{'} (x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} + 6 x_{0} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 9 \\ x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 5 \end{array}$

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{1} (1; 9)$ là: $y = 9 (x - 1) + 9 \Leftrightarrow y = 9 x$ .

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{2} (- 3; 5)$ là: $y = 9 (x + 3) + 5 \Leftrightarrow y = 9 x + 32$ .

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 2}$ tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $d : 3 y - x + 6 = 0$ là

A. .

y = - 3 x - 3; y = - 3 x - 11

B.

y = - 3 x - 3; y = - 3 x + 11

C.

y = - 3 x + 3; y = - 3 x - 11

D.

y = - 3 x - 3; y = 3 x - 11

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 24:

Tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = - x^{4} - x^{2} + 6$ vuông góc với đường thẳng $Δ : y = \frac{1}{6} x - 1$ có phương trình là

A. .

y = - 6 x - 2

B. .

y = - 6 x + 2

C. .

y = - 6 x + 10

D. $y = - 6 x - 10$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = - 4 x^{3} - 2 x$

Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với $Δ : y = \frac{1}{6} x - 1$ và có tiếp điểm là $M_{0} (x_{0}; y_{0})$

Do $d ⊥ Δ$ nên d có hệ số góc $k = - 6$

Khi đó $k = - 6 \Leftrightarrow y^{'} (x_{0}) = - 6 \Leftrightarrow - 4 x_{0}^{3} - 2 x_{0} = - 6 \Leftrightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 4$

Phương trình tiếp tuyến tại $M (1; 4)$ là: $y = - 6 (x - 1) + 4 \Leftrightarrow y = - 6 x + 10$

Câu 25:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm M có hoành độ $m^{3} + 2 m^{2}$ thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng

A. – 2.

B. 1

C. 0.

D. – 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 26:

Tập hợp các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - m x^{2} - 2 m x + 2018$ đều có hệ số góc không âm là

A.

(- 6; 0)

B.

[- 6; 0]

C.

(- 24; 0)

D.

[- 24; 0]

Xem đáp án

Đáp án B

$y = x^{3} - m x^{2} - 2 m x + 2018 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 2 m x - 2 m$ Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi $y^{'} = 3 x^{2} - 2 m x - 2 m \geq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 > 0 \\ {Δ^{'}}_{y^{'}} = m^{2} + 6 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in [- 6; 0]$

Câu 27:

Khoảng cách lớn nhất từ điểm $I (1; 1)$ đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ bằng

A. 4

\sqrt{2}

.

B. 2

\sqrt{2}

.

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là $y = - \frac{2}{{(m - 1)}^{2}} (x - m) + \frac{m + 1}{m - 1} \Leftrightarrow 2 x + {(m - 1)}^{2} y - m^{2} - 2 m + 1 = 0$

Do đó $d (I, d) = \frac{|2.1 + {(m - 1)}^{2} .1 - m^{2} - 2 m + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(m - 1)}^{4}}} = \frac{4 |m - 1|}{\sqrt{4 + {(m - 1)}^{4}}} \leq \frac{4 |m - 1|}{\sqrt{2 \sqrt{4 {(m - 1)}^{4}}}} = 2$

Dấu bằng xảy ra khi

{(m - 1)}^{4} = 4 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt{2}

Câu 28:

Cho hàm số

y = \frac{3 - x}{x + 2} (C)

. Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm

A (- 1; - 2), B (1; 0)

A.

y = - 5 x - 1.

B.

y = - 5 x + 1.

C.

y = - 5 x + 3.

D. $y = - 5 x - 3.$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = m$ là $y = - \frac{5}{{(m + 2)}^{2}} (x - m) + \frac{3 - m}{m + 2}$

Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm $A (- 1; - 2), B (1; 0)$ thì có 2 khả năng

+) Tiếp tuyến đó song song với AB $\Rightarrow k_{T T} = k_{A B} \Leftrightarrow - \frac{5}{{(m + 2)}^{2}} = \frac{0 - (- 2)}{1 - (- 1)}$ (vô nghiệm).

+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB $\Rightarrow \frac{- 2 + 0}{2} = - \frac{5}{{(m + 2)}^{2}} (\frac{- 1 + 1}{2} - m) + \frac{3 - m}{m + 2} \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy tiếp tuyến cần tìm là $y = - 5 x - 1$

Câu 29:

Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} + (m - 1) x^{2} + (4 - 3 m) x + 1 (C_{m})$ tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại các điểm đó vuông góc với đường thẳng $d : x + 2 y - 3 = 0$ là

A.

(0; \frac{2}{3}) .

B.

(- \infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; + \infty) .

C.

(0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3}) .

D.

(- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{2}{3}; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = m x^{2} + 2 (m - 1) x + 4 - 3 m$

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $y^{'} . \frac{- 1}{2} = - 1$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình $m x^{2} + 2 (m - 1) x + 4 - 3 m = 2 \Leftrightarrow m x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 - 3 m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt. $\{\begin{cases} m \neq 0 \\ Δ^{'} = 4 m^{2} - 4 m + 1 > 0 \\ S = \frac{2 (1 - m)}{m} > 0 \\ P = \frac{2 - 3 m}{m} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < m < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} < m < \frac{2}{3} \end{array}$

Vậy $(0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ là những giá trị cần tìm.

Câu 30:

Cho hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng $y = x + m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $k_{1}, k_{2}$ lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

k_{1} . k_{2} = \frac{1}{9} .

B.

k_{1} . k_{2} = \frac{1}{4} .

C.

k_{1} . k_{2} = \frac{1}{16} .

D.

k_{1} . k_{2} = 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{- x + 1}{2 x - 1} = x + m \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 m x - 1 - m = 0$ . Theo Vi – ét $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1} x_{2} = \frac{- 1 - m}{2} \end{cases}$

$y^{'} = \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}} \Rightarrow k_{1} k_{2} = \frac{1}{{(2 x_{1} - 1)}^{2} {(2 x_{2} - 1)}^{2}} = \frac{1}{{[4 x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 1]}^{2}} = \frac{1}{{(- 2 - 2 m + 2 m + 1)}^{2}} = 1$

Câu 31:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ ?

A. 4 điểm.

B. 1 điểm.

C. 2 điểm.

D. 3 điểm

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ . Gọi $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = x^{2} . f (4 x - 3)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Biết rằng hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ vuông góc nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

\sqrt{3} < |f (1)| < 2

B. .

|f (1)| < 2

C.

|f (1)| \geq 2

D.

2 \leq |f (1)| < 2 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = {(x^{2} . f (4 x - 3))}^{'} = 2 x . f (4 x - 3) + x^{2} .4. f^{'} (4 x - 3)$

Vì $Δ_{1}, Δ_{2}$ vuông góc nhau nên $f^{'} (1) . (2 f (1) + 4 f^{'} (1)) = - 1 \Leftrightarrow 4 {(f^{'} (1))}^{2} + 2. f (1) . f^{'} (1) + 1 = 0$

Để tồn tại $f^{'} (1) \Leftrightarrow Δ^{'} = f^{2} (1) - 4 \geq 0 \Leftrightarrow |f (1)| \geq 2$

Câu 33:

Cho hàm số

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng

Δ : x + y - 1 = 0

một góc

α

sao cho

\cos α = \frac{4}{\sqrt{41}}

và tiếp điểm có hoành độ nguyên có phương trình là

A.

y = 9 x; y = 9 x - 32.

B.

y = 9 x - 21; y = 9 x + 7.

C.

y = 9 x; y = 9 x + 32.

D.

y = 9 x + 21; y = 9 x - 7.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 34:

Tìm m thuộc R để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số

(C_{m}) : y = x^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) x + 2 m

vuông góc với đường thẳng y=-x

A. .

m = \frac{10}{3}

B.

m = \frac{1}{3}

.

C.

m = \frac{10}{13}

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án

Đáp án A $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + m - 1 = 3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} + m - \frac{7}{3} \geq m - \frac{7}{3} \Rightarrow y^{'} \geq m - \frac{7}{3} \Rightarrow y^{'} = m - \frac{7}{3}$ khi $x = \frac{2}{3}$ .

Theo bài toán ta có: $y^{'} (- 1) = - 1 \Leftrightarrow (m - \frac{7}{3}) (- 1) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{10}{3}$

Câu 35:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và nhận giá trị dương trên . Biết tiếp tuyến có hoành độ tại $x_{0} = 1$ của hai đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = \frac{f (x)}{f (x^{2})}$ có hệ số góc lần lượt là – 10 và – 3. Tính giá trị của $f (1)$ .

A.

f (1) = - 10.

B.

f (1) = \frac{- 10}{3} .

C.

f (1) = 4.

D.

f (1) = - 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = {(\frac{f (x)}{f (x^{2})})}^{'} = \frac{f (x^{2}) . f^{'} (x) - f (x) .2 x . f^{'} (x^{2})}{f^{2} (x^{2})} = T (x)$

Từ giả thiết ta có $f^{'} (1) = - 10$ và $T (1) = - 3, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$

Do đó $10 f (1) = - 3 f^{2} (1) \Leftrightarrow f (1) = \frac{- 10}{3}$

Câu 36:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x$ có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng $d : y = k (x + 1) + 2$ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Biết $M (- 1; 2)$ , tích tất cả các phần tử của tập S bằng

A.

\frac{1}{9} .

B.

- \frac{2}{9} .

C.

\frac{1}{3} .

D. – 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 37:

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 2} (C)$ . Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ điểm $I (- 2; 2)$ đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A.

A B = 4.

B.

A B = 8.

C.

A B = 4 \sqrt{2} .

D.

A B = 2 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $A (a; \frac{2 a}{a + 2})$ . Ta có $y^{'} = \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: $\frac{4}{{(a + 2)}^{2}} x - y - \frac{4 a}{{(a + 2)}^{2}} + \frac{2 a}{a + 2} = 0 \Rightarrow d (A, d) = \frac{|8 (a + 2)|}{\sqrt{{(a + 2)}^{4} + 16}}$

Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử $x_{A} = a > - 2$

Đặt $t = a + 2 \Rightarrow t > 0$ . Khi đó $d (A, d) = \frac{8 t}{\sqrt{t^{4} + 16}}$

Xét $f (t) = \frac{8 t}{\sqrt{t^{4} + 16}} (t > 0)$ , từ bảng biến thiên ta có $\max_{t > 0} f (t) = f (2)$

Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi $a = 0$ hay $A (0; 0)$

Do tính đối xứng nên $B (- 4; 4)$ .

Vậy $A B = 4 \sqrt{2}$ .

Câu 38:

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị hàm số y=f(x) ; y=g(x) và $y = \frac{f (x) + 3}{g (x) + 3}$ bằng nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

f (1) \leq - \frac{11}{4} .

B.

f (1) < - \frac{11}{4} .

C.

f (x) \geq \frac{11}{4} .

D.

f (1) > \frac{11}{4} .

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $h (x) = \frac{f (x) + 3}{g (x) + 3}$ . Giả sử $f^{'} (1) = g^{'} (1) = h^{'} (1) = k$ .

Ta có: $h^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) [g (x) + 3] - g^{'} (x) [f (x) + 3]}{{[g (x) + 3]}^{2}} \Rightarrow k = \frac{k [g (1) - f (1)]}{{[g (1) + 3]}^{2}} \Rightarrow \frac{[g (1) - f (1)]}{{[g (1) + 3]}^{2}} = 1$

$\Rightarrow g^{2} (1) + 5 g (1) + f (1) + 9 = 0$ . Tồn tại $g (1) \Rightarrow Δ = - 11 - 4 f (1) \geq 0 \Rightarrow f (1) \leq - \frac{11}{4}$

Câu 39:

Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{x - 1}$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 là

A.

(- \frac{3}{4}; - \frac{4}{7})

.

B.

(0; - 1)

.

C.

(\frac{3}{4}; - 4)

D.

B (\frac{1}{4}; - \frac{4}{3})

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_{0}$ là $y = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + y (x_{0}) = - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{1}{x_{0} - 1}$

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là $A (2 x_{0} - 1; 0), B (0; \frac{2 x_{0} - 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}})$

Suy ra $S_{O A B} = \frac{1}{2} . \frac{{(2 x_{0} - 1)}^{2}}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow x_{0} = \frac{3}{4} \Rightarrow (\frac{3}{4}; - 4)$

Câu 40:

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = (2 m - 1) x^{4} - m + \frac{5}{4}

tại điểm có hoành độ x=-1 vuông góc với đường thẳng a:2x-y-3=0.

A.

\frac{3}{4} .

B.

\frac{1}{4} .

C.

\frac{7}{16} .

D.

\frac{9}{16} .

Xem đáp án

Đáp án D $d : 2 x - y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = 2 x - 3 \Rightarrow k_{d} = 2, y = (2 m - 1) x^{4} - m + \frac{5}{4} \Rightarrow y^{'} = 4 (2 m - 1) x^{3}$ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = (2 m - 1) x^{4} - m + \frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là $k_{t t} = y^{'} (- 1) = 4 (2 m - 1) {(- 1)}^{3} = - 4 (2 m - 1)$

Ta có

k_{t t} . k_{d} = - 1 \Leftrightarrow - 8 (2 m - 1) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{9}{16}

Câu 41:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x + 3}$ có đồ thị (C). Giả sử, đường thẳng $d : y = k x + m$ là tiếp tuyến của (C), biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác $Δ O A B$ cân tại gốc tọa độ O. Tổng $k + m$ có giá trị bằng

A. 1.

B. 3.

C. – 1.

D. – 3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 42:

Cho các hàm số $y = (x), y = f (f (x)), y = f (x^{3} + 2)$ có đồ thị lần lượt là $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ . Đường thẳng $x = 2$ cắt $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của $(C_{1})$ tại A và của $(C_{2})$ tại B lần lượt là $y = 3 x + 4$ và $y = 6 x + 13$ . Phương trình tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại C

A.

y = 24 x - 23

.

B.

y = 10 x - 21

.

C

y = 24 x - 21

. .

D.

y = 10 x - 5

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến của $(C_{1})$ tại A là $y = f^{'} (2) (x - 2) + f (2) = 3 x + 4 \Rightarrow \{\begin{cases} f^{'} (2) = 3 \\ f (2) = 10 \end{cases}$

Phương trình tiếp tuyến của $(C_{1})$ tại B là $y = f^{'} (2) . f^{'} (f (2)) (x - 2) + f (f (2)) = f^{'} (2) . f^{'} (10) (x - 2) + f (10) = 6 x + 13 \Rightarrow \{\begin{cases} f^{'} (10) = 2 \\ f (10) = 25 \end{cases}$

Phương trình tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại C là $y = 12. f^{'} (10) . (x - 2) + f (10) = 24. (x - 2) + 25 = 24 x - 23$ .

Câu 43:

Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}$ có đồ thị (C) và điểm $A (1; a)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 44:

Cho hàm số $y = {|x|}^{3} - 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?

A. 0.

B. 3.

C. 1

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 45:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và $A B = 4 \sqrt{2}$ . Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây?

A.

M (- 1; - 2) .

B.

N (4; 2) .

C.

P (- 1; 2) .

D.

Q (1; - 2) .

Xem đáp án

Đáp an B

Gọi $A (x_{1}; x_{1}^{3} - 3 x_{1}^{2} + 1), B (x_{2}; x_{2}^{3} - 3 x_{2}^{2} + 1)$ với $(x_{1} \neq x_{2})$

Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên chúng có cùng hệ số góc k.

Khi đó phương trình $3 x^{2} - 6 x - k = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} = 9 + 3 k > 0 \Leftrightarrow k > - 3 (*)$

$A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {[x_{2}^{3} - x_{1}^{3} - 3 (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})]}^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} [1 + {(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2})}^{2}]$

$\Leftrightarrow 32 = [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] [1 + {[{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2} - 3 (x_{1} + x_{2})]}^{2}] (1)$

Với $x_{1} + x_{2} = 2$ và $x_{1} x_{2} = - \frac{k}{3}$ nên $(1) \Leftrightarrow 32 = \frac{4 (k + 3)}{3} . \frac{9 + {(k - 6)}^{2}}{9} \Leftrightarrow (k - 9) (k^{2} + 9) = 0 \Rightarrow k = 9$ (thỏa mãn (*))

Khi đó $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \Rightarrow A (- 1; - 3) \\ x = 3 \Rightarrow B (3; 1) \end{array} \Rightarrow A B : x - y - 2 = 0$

Do đó đường thẳng AB đi qua điểm $N (4; 2)$ .

Câu 46:

Phương trình tiếp tuyến của elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ tại điểm $(x_{0}; y_{0})$ là

A.

\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1.

B.

\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1.

C.

\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = - 1.

D.

\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = - 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm $(x_{0}; y_{0})$ là $y = y^{'} (x_{0}) . (x - x_{0}) + y_{0} (1)$

Từ phương trình elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , đạo hàm hai vế ta được $\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{2 y . y^{'}}{b^{2}} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

$\Rightarrow y^{'} (x_{0}) = - \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}} (*)$

Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau:

$y = - \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}} (x - x_{0}) + y_{0} \Rightarrow a^{2} y_{0}^{2} + b^{2} x_{0}^{2} - b^{2} x . x_{0} = a^{2} y . y_{0} \Rightarrow \frac{x . x_{0}}{a^{2}} + \frac{y . y_{0}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \Rightarrow \frac{x . x_{0}}{a^{2}} + \frac{y . y_{0}}{b^{2}} = 1$

Do $(x_{0}; y_{0})$ thuộc elip nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

Câu 47:

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số $(P) : y = x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 2$ cắt trục hoành tại hai điểm $x_{1} < x_{2}$ sao cho phần phía trên Ox của tiếp tuyến với (P) tại mọi điểm có hoành độ $x_{0} \in (- \infty; 3)$ và tung độ không âm hợp với tia Ox một góc tù là

A. – 4.

B. 4.

C. 3.

D. – 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số $a = 1 > 0$ và (P) cắt Ox tại các điểm có hoành độ

$x_{1} = m - 1 < m + 2 = x_{2}$

Do đó yêu cầu đề bài $\Leftrightarrow 3 \leq m - 1 \Leftrightarrow m \geq 4$ .

Câu 48:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ . Giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm $M \in (C)$ mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng $d : y = 2 m - 1$ là

A.

\frac{1}{3} .

B.

\frac{\sqrt{3}}{3} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{3} .

D.

\frac{2}{3} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 49:

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{m}{2} x^{2} - m + 1$ có đồ thị là $(C_{m})$ . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của $(C_{m})$ tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8?

A. 1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $M (0; 1 - m)$ là giao điểm của $(C_{m})$ với trục tung $y^{'} = 3 x^{2} - m \Rightarrow y^{'} (0) = - m$

Phương trình tiếp tuyến với $(C_{m})$ tại điểm M là $y = - m x + 1 - m$

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ $A (\frac{1 - m}{m}; 0)$ và $B (0; 1 - m)$ .

Nếu $m = 0$ thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này.

Nếu $m \neq 0$ ta có: $S_{O A B} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2} O A . O B = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2} |\frac{1 - m}{m}| |1 - m| = 8 \Leftrightarrow \frac{{(1 - m)}^{2}}{|m|} = 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 9 \pm 4 \sqrt{5} \\ m = - 7 \pm 4 \sqrt{3} \end{array}$

Vậy có 4 giá trị cần tìm.

Câu 50:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn $O A = 4 O B$ là

A.

[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}

B.

[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}

C.

[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}

D.

[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại $M (x_{0}; y_{0}) \in (C)$ cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho

Do $Δ O A B$ vuông tại O nên $\tan A = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{4} \Rightarrow$ Hệ số góc của (d) bằng $\frac{1}{4}$ hoặc $- \frac{1}{4}$

Hệ số góc của (d) là $y^{'} (x_{0}) = - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 (y_{0} = \frac{3}{2}) \\ x_{0} = 3 (y_{0} = \frac{5}{2}) \end{array}$

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:

[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} (x + 1) + \frac{3}{2} \\ y = - \frac{1}{4} (x - 3) + \frac{5}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}