9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Xác định ảnh qua một phép dời hình có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép dời hình F biến điểm $M (x; y)$ thành điểm $M' (x'; y')$ có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y + 1 \end{cases}$ .

a, Xác định ảnh của điểm $M (1; 2)$ qua phép biến hình F.

Xem đáp án

a) Ta có: $F (M (1; 2)) = M' (x'; y')$ với $\{\begin{cases} x' = - x = - 1 \\ y' = y + 1 = 2 + 1 = 3 \end{cases}$ hay $M' (- 1; 3)$ .

Câu 2:

b, Xác định phương trình đường thẳng

∆'

là ảnh của đường thẳng

Δ : x - y + 1 = 0

qua phép biến hình F.

Xem đáp án

b, Chọn 2 điểm M, N bất kỳ trên , xác định ảnh tương ứng là M’, N’. Đường thẳng $∆'$ cần tìm là đường thẳng qua hai điểm M’, N’.

Chọn $\{\begin{cases} M (1; 2) \in Δ \\ N (0; 1) \in Δ \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} F (M) = M' (- 1; 3) \\ F (N) = N' (0; 2) \end{cases}$ .

Vậy đường thẳng $∆'$ cần tìm là đường thẳng M’N’.

Đường thẳng M’N’ đi qua $M' (- 1; 3)$ và nhận vectơ chỉ phương $\vec{M' N'} = (1; - 1)$ có phương trình là: $Δ' : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 3 - t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Câu 3:

c, Xác định phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn

(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0

qua phép biến hình F.

Xem đáp án

c, Theo tính chất của phép dời hình: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ta có đường tròn (C) có tâm $I (1; 2)$ và bán kính R=2.

$F (I) = I' (- 1; 3)$ là tâm của đường tròn ảnh (C').

Vì phép biến hình F là phép dời hình nên bán kính của (C') là 2.

Vậy đường tròn $(C') : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

Câu 4:

d, Xác định phương trình elip (E') là ảnh của elip $(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

d) Sử dụng quỹ tích: $\forall M \in (E)$ thì $F (M) = M' \in (E')$

Gọi $M (x; y) \in (E)$ ta có $F (M) = M' (x'; y') : \{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - x' \\ y = y' - 1 \end{cases}$ .

Lúc đó $M (- x'; y' - 1) \in (E) \Leftrightarrow \frac{{(- x')}^{2}}{9} + \frac{{(y' - 1)}^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{{(x')}^{2}}{9} + \frac{{(y' - 1)}^{2}}{4} = 1$

Vậy $(E') : \frac{x^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$ .

Câu 5:

Cho biến hình F đặt tương ứng điểm $M (x_{M}; y_{M})$ với điểm $M' (x'; y')$ theo công thức $F : \{\begin{cases} x' = x_{M} - 1 \\ y' = y_{M} + 2 \end{cases}$ . Ảnh của điểm $A (1; 2)$ qua phép biến hình F là:

A. $A' (1; 4)$

B. $A' (2; 0)$

C. $A' (1; - 2)$

D. $A' (0; 4)$

Xem đáp án

Theo cônh thức, ta có: $\{\begin{cases} x' = x_{M} - 1 = 0 \\ y' = y_{M} + 2 = 4 \end{cases} \Rightarrow A' (0; 4)$

Câu 6:

Cho biến hình F đặt tương ứng điểm $M (x_{M}; y_{M})$ với điểm $M' (x'; y')$ theo công thức $F : \{\begin{cases} x' = x_{M} \\ y' = y_{M} + 1 \end{cases}$ . Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng là ảnh của hai điểm $A (1; 0)$ và $B (- 1; 2)$ qua phép biến hình F.

A. $P Q = \sqrt{2}$

B. $P Q = 2 \sqrt{2}$

C. $P Q = 3 \sqrt{2}$

D. $P Q = 4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Theo công thức, ta có: $P (1; 1); Q (- 1; 3) \Rightarrow \vec{P Q} = (- 2; 2) \Rightarrow P Q = 2 \sqrt{2}$ .

Câu 7:

Cho biến hình F đặt tương ứng điểm $M (x_{M}; y_{M})$ với điểm $M' (x'; y')$ theo công thức $F : \{\begin{cases} x' = 2 x_{M} \\ y' = 2 y_{M} \end{cases}$ . Phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng $d : x + 2 y + 1 = 0$ qua phép biến hình F là:

A. $d' : 2 x + y + 2 = 0$

B. $d' : x + 2 y + 3 = 0$

C. $d' : x + 2 y + 2 = 0$

D. $d' : x + 2 y = 0$

Xem đáp án

Gọi $M (x_{M}; y_{M}) \in d \Leftrightarrow x_{M} + 2 y_{M} + 1 = 0 (1)$

Với $F (M) = M' (x'; y')$ , theo công thức, ta có: $\{\begin{cases} x' = 2 x_{M} \\ y' = 2 y_{M} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = \frac{x'}{2} \\ y_{M} = \frac{y'}{2} \end{cases}$

Thay vào (1) ta có: $(\frac{x'}{2}) + 2 (\frac{y'}{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow x' + 2 y' + 2 = 0$ .

Vậy $d' : x + 2 y + 2 = 0$ .

Câu 8:

Cho biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm

M (x_{M}; y_{M})

có ảnh là điểm

M' (x'; y')

theo công thức

F : \{\begin{cases} x' = x_{M} \\ y' = - y_{M} \end{cases}

. Phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C') qua phép biến hình F là:

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4

A. $(C') : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

B. $(C') : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

C. $(C') : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

D. $(C') : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

Xem đáp án

Gọi $M (x_{M}; y_{M}) \in (C) \Leftrightarrow {(x_{M} - 1)}^{2} + {(y_{M} - 2)}^{2} = 4 (1)$

Với $F (M) = M' (x'; y')$ , theo công thức: $\{\begin{cases} x' = x_{M} \\ y' = - y_{M} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = x' \\ y_{M} = y' \end{cases}$ .

Thay vào (1) ta có: ${(x - 1)}^{2} + {(- y - 2)}^{2} = 4 \Rightarrow M' \in (C') : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ .

Câu 9:

Cho biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm $M (x_{M}; y_{M})$ có ảnh là điểm $M' (x'; y')$ theo công thức $F : \{\begin{cases} x' = x_{M} + 1 \\ y' = y_{M} - 1 \end{cases}$ . Phương trình elip $(E')$ là ảnh của elip $(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ qua phép biến hình F là:

A . $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

B. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

C. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Gọi $M (x_{M}; y_{M}) \in (E) : \frac{x_{M}^{2}}{9} + \frac{y_{M}^{2}}{4} = 1 (1)$ .

Với $F (M) = M' (x'; y')$ , theo công thức, ta có: $\{\begin{cases} x' = x_{M} + 1 \\ y' = y_{M} - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = x' - 1 \\ y_{M} = y' + 1 \end{cases}$ .

Thay vào (1) ta được: $\frac{{(x_{M} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y_{M} + 1)}^{2}}{4} = 1$ .

Ta có $M' \in (E')$ nên phương trình của $(E')$ là $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$ .