21 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Câu 1:

3 \sin^{2} 2 x + 7 c o s 2 x - 3 = 0.

Xem đáp án

Ta có $3 \sin^{2} 2 x + 7 c o s 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3 (1 - c o s^{2} 2 x) + 7 \cos 2 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3 c o s^{2} 2 x - 7 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x (3 \cos 2 x - 7) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = 0 \\ 3 \cos 2 x - 7 = 0 \end{array} .$

Trường hợp 1: $\cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, (k \in ℤ) .$

Trường hợp 2: $3 \cos 2 x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{7}{3} > 1$ (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0$ có nghiệm là

A.

k π (k \in ℤ) .

B.

- \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) .

C.

\frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

D.

- \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \frac{- 3}{2} \end{array} \Leftrightarrow t = 1$ (do ).

Với

t = 1,

ta có

\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

Câu 3:

Với $k \in ℤ$ , phương trình $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là

A.

x = k 2 π .

B. x=0

C.

x = \frac{π}{2} + k 2 π .

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \cos x, |t| \leq 1.$ Ta có $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} \Leftrightarrow t = 1$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = 1,$ ta có $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 4:

Nghiệm dương bé nhất của phương trình $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ là

A.

x = \frac{π}{6} .

B.

x = \frac{π}{2} .

C.

x = \frac{3 π}{2} .

D.

x = \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ có nghĩa

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 5 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \\ t = - 3 \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = \frac{1}{2},$ ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là $x = \frac{π}{6} .$

Câu 5:

Xét phương trình $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0$ trên đoạn $[0; 3 π] .$ Chọn câu trả lời đúng.

A. Phương trình có 3 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm

C. Phương trình có 2 nghiệm.

D. Phương trình vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \cos x, |t| \leq 1.$

Ta có $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 2 t - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3} \\ t = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3},$ ta có $\cos x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + k 2 π \\ x = - \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vì $x \in [0,3 π]$ nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.

$x = \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3}, x = \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + 2 π, x = - \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + 2 π .$

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq x < \frac{π}{2}$ là

A.

x = \frac{π}{3} .

B.

x = \frac{π}{2} .

C.

x = \frac{π}{6} .

D.

x = \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 3 t + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \\ t = 1 \end{array} .$

Với $t = \frac{1}{2},$ ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Với $t = 1,$ ta có $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Vì $x \in [0; \frac{π}{2})$ nên $x = \frac{π}{6} .$

Câu 7:

Nghiệm của phương trình $\tan^{2} x + 2 \tan x + 1 = 0$ là

A.

\frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .

B.

- \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

C.

\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D.

k π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\tan^{2} x + 2 \tan x + 1 = 0$ có nghĩa $\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π .$

Đặt $\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π .$ . Ta có $\tan^{2} x + 2 \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $\tan x = - 1 \Leftrightarrow \tan x = t a n \frac{- π}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .$

Câu 8:

Với $k \in ℤ,$ phương trình $c o s^{2} 2 x + \cos 2 x - \frac{3}{4} = 0$ có nghiệm là

A.

x = k π .

B.

x = k 2 π .

C.

x = \pm \frac{π}{6} + k π .

D.

x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π .

Xem đáp án

Đápn án C

Phương trình $c o s^{2} 2 x + c o s 2 x - \frac{3}{4} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = c o s 2 x, |t| \leq 1.$ Ta có $c o s^{2} 2 x + c o s 2 x - \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow t^{2} + t - \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \\ t = \frac{- 3}{2} \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với

t = \frac{1}{2},

ta có

c o s 2 x = \frac{1}{2} = c o s \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = - \frac{π}{6} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

Câu 9:

Với $k \in ℤ,$ phương trình $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0$ có nghiệm là

A.

x = k 2 π .

B.

x = k π .

C.

x = π + k 2 π .

D. $x = - k 2 π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \end{array} \Leftrightarrow t = 0$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = 0,$ ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) .$

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $c o t^{2} 3 x - c o t 3 x - 2 = 0$ là

A.

x = [\begin{array}{l} \frac{π}{4} + k \frac{π}{3} \\ \frac{1}{3} arccot 2 + k \frac{π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

B.

x = [\begin{array}{l} - \frac{π}{4} + k \frac{π}{3} \\ - \frac{1}{3} arccot 2 + k \frac{π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

C.

x = [\begin{array}{l} \frac{π}{4} + k π \\ \frac{1}{3} arccot 2 + k \frac{π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

D.

x = [\begin{array}{l} \frac{π}{4} + k π \\ \frac{1}{3} arccot 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\cot^{2} 3 x - \cot 3 x - 2 = 0$ có nghĩa $\Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{3} .$

Đặt $t = c o t 3 x .$ Ta có $\cot^{2} 3 x - \cot 3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 2 \end{array} .$

Với $t = - 1,$ ta có $\cot 3 x = - 1 \Leftrightarrow \cot 3 x = c o t \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow 3 x = \frac{3 π}{4} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{3} (k \in ℤ) .$

Với

t = 2,

ta có

\cot 3 x = 2 \Leftrightarrow 3 x = arccot 2 + k π \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} a r c \cot 2 + k \frac{π}{3} (k \in ℤ) .

Câu 11:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $2 c o s 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ là

A.

x = - \frac{5 π}{6} .

B.

x = - \frac{7 π}{6} .

C.

x = - \frac{π}{3} .

D. $x = - \frac{π}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2 c o s 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 c o s 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x - 2 + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 2 - \sqrt{2} = 0.$

Đặt $t = c o s x, |t| \leq 1.$

Ta có $4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 2 - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 4 t^{2} + 2 t - 2 - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ t = \frac{- 2 - \sqrt{36 + 16 \sqrt{2}}}{8} \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = \frac{\sqrt{2}}{2},$ ta có $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} = c o s \frac{π}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{π}{4} .$

Câu 12:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A.

\sqrt{3} \sin x = 2.

B.

\frac{1}{4} c o s 4 x = \frac{1}{2} .

C.

2 \sin x + 3 \cos x = 5.

D.

\cot^{2} x - \cot x - 5 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\sqrt{3} \sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1$ (vô nghiệm).

Ta có $\frac{1}{4} c o s 4 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow c o s 4 x = 2 > 1$ (vô nghiệm).

Ta có $2^{2} + 2^{2} < 5^{2}$ nên phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 5$ (vô nghiệm)

Câu 13:

Xét phương trình $13 \sin^{2} x - 78 \sin x + 15 = 0$ trên đoạn $[0; 2 π] .$ Lựa chọn phương án đúng.

A. Phương trình có 2 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Phương trình vô nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $13 \sin^{2} x - 78 \sin x + 15 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$ Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$

Ta có $13 \sin^{2} x - 78 \sin x + 15 = 0 \Leftrightarrow 13 t^{2} - 78 t + 15 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0,199 \\ t = 5,801 \end{array} \Leftrightarrow t = 0,199$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = 0,199,$ ta có $\sin x = 0,199 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \arcsin 0.199 + k 2 π \\ x = π - \arcsin 0.199 + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vì $x \in [0; 2 π]$ nên phương trình có hai nghiệm.

Câu 14:

Phương trình 3cosx+|sinx|=2 có nghiệm là

A.

x = \frac{π}{8} + k π (k \in ℤ) .

B.

x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) .

C.

x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .

D. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $3 \cos x + 2 |\sin x| = 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Ta có $3 \cos x + 2 |\sin x| = 2 \Leftrightarrow 3 \cos x + 2 \sqrt{1 - \cos^{2} x} = 2.$

Đặt $t = c o s x, |t| \leq 1.$ Ta có $3 \cos x + 2 |\sin x| = 2 \Leftrightarrow 3 t + 2 \sqrt{1 - t^{2}} = 2 \Leftrightarrow t = 0.$

Với $t = 0,$ ta có $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) .$

Câu 15:

Xét phương trình $\tan^{2} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \tan x + 1 = 0$ trên đoạn $[0; 3 π] .$ Chọn câu trả lời đúng?

A. Phương trình có 5 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Phương trình có 6 nghiệm.

D. Phương trình có 3 nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\tan^{2} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \tan x + 1 = 0$ có nghĩa $\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π .$

Đặt $t = \tan x .$ Ta có $\tan^{2} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} t + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ t = \sqrt{3} \end{array} .$

Với $t = \frac{\sqrt{3}}{3},$ ta có $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x = t a n \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ) .$

Với $t = \sqrt{3},$ ta có $\tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x = t a n \frac{π}{3} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ) .$

Vì $x \in [0; 3 π]$ nên $x = \frac{π}{6}; x = \frac{7 π}{6}; x = \frac{13 π}{6}; x = \frac{π}{3}; x = \frac{4 π}{3}; x = \frac{7 π}{3} .$

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 16:

Xét phương trình $\sin^{2} x - 5 \sin x + 6 = 0$ trên đoạn $[0; 2 π] .$ Chọn câu trả lời đúng?

A. Phương trình có 2 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Cả A, B, D đều sai.

D. Phương trình có 3 nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin^{2} x - 5 \sin x + 6 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$

Ta có $\sin^{2} x - 5 \sin x + 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 5 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 3 \\ t = 2 \end{array} \Leftrightarrow t = \emptyset$ (do $|t| \leq 1$ ).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 17:

Cho x thỏa mãn phương trình sau ${(\tan x + \cot x)}^{2} - (\tan x + \cot x) = 2$

Giá trị của biểu thức $\tan x + \frac{1}{\tan x}$ là

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D.

\sqrt{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình ${(\tan x + \cot x)}^{2} - (\tan x + \cot x) = 2$ có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \\ \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2} .$

Đặt $t = \tan x + \cot x .$ Ta có ${(\tan x + \cot x)}^{2} - (\tan x + \cot x) = 2 \Leftrightarrow t^{2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 1 \end{array} .$

Với $t = 2,$ ta có $\{\begin{cases} \tan x + \cot x = 2 \\ \tan x \cot x = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \tan x = 1 \\ \cot x = 1 \end{cases} .$

Với $t = - 1,$ ta có $\{\begin{cases} \tan x + \cot x = - 1 \\ \tan x \cot x = 1 \end{cases}$ (vô nghiệm).

Vậy $\tan x + \frac{1}{\tan x} = 2.$

Câu 18:

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin x + \sin^{2} \frac{x}{2} = 0,5.$ Giá trị của biểu thức $y = \tan x$ là

A. 1.

B. 0,5.

C.

\sqrt{3} .

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin x + \sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x + \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \sin x + 1 - \cos x = 1 \Leftrightarrow 2 \sin x - \cos x = 0. (*)$

Vì thì (*) vô nghiệm nên $(*) \Rightarrow 2 \frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{2} .$

Câu 19:

Cho $x = \arctan (\frac{- 1}{3}) + k π$ là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình nào?

A.

3 \sin^{2} x - \sin 2 x - \cos^{2} x = 0.

B.

3 \sin^{2} 2 x - 4 c o s^{2} 2 x = 2.

C.

\frac{1}{\sin 2 x} + \frac{1}{c o s 2 x} = \frac{2}{\sin 4 x} .

D.

\cos x + 2 \cos^{2} x = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $3 \sin^{2} x - \sin 2 x - \cos^{2} x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Ta có $3 \sin^{2} x - \sin 2 x - \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow 3 \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0. (1)$

Vì $\cos x = 0$ không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ .

Ta có $3 \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0 \Rightarrow 3 \tan^{2} x - 2 \tan x - 1 = 0.$

Đặt $t = \tan x .$ Ta có $3 \tan^{2} x - 2 \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 2 t - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{1}{3} \end{array} .$

Với $t = 1,$ ta có $\tan x = 1 \Leftrightarrow \tan x = t a n \frac{π}{4} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .$

Với $t = - \frac{1}{3},$ ta có $\tan x = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{- 1}{3} + k π (k \in ℤ) .$

Câu 20:

Cho phương trình $\frac{\sin^{3} x + c o s^{3} x}{2 \cos x - \sin x} = \cos 2 x .$ Nếu giải phương trình bằng cách đặt thì phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A.

2 t^{2} + t - 1 = 0.

B.

t^{2} + 2 t - 1 = 0.

C.

t^{2} + t - \frac{1}{2} = 0.

D.

t^{2} + t + 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{2 \cos x - \sin x} = c o s 2 x \Leftrightarrow \sin^{3} x + \cos^{3} x = (\cos^{2} x - \sin^{2} x) (2 \cos x - \sin x)$

$\Leftrightarrow \sin^{3} x + \cos^{3} x = 2 \cos^{3} x - 2 \cos x \sin^{2} x - \sin x \cos^{2} x + \sin^{3} x$

$\Leftrightarrow \cos^{3} x - 2 \sin^{2} x \cos x - \sin x \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \frac{\cos^{3} x}{\cos^{3} x} - \frac{2 \sin^{2} x \cos x}{\cos^{3} x} - \frac{\sin x \cos^{2} x}{\cos^{3} x} = 0$

(Điều kiện $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π$ ).

$\Leftrightarrow 1 - 2 \tan^{2} x - \tan x = 0 \Leftrightarrow 2 \tan^{2} x + \tan x - 1 = 0.$

Đặt $\tan x = t,$ ta có $2 \tan^{2} x + \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + t - 1 = 0.$

Câu 21:

Cho phương trình $2 \sin x - 2 \cos x = 1 - \sqrt{3} .$ Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế thì ta được phương trình nào sau đây?

A.

\sin 2 x = \sin \frac{π}{4} .

B.

\sin 2 x = \sin \frac{π}{6} .

C.

\sin 2 x = \sin \frac{π}{3} .

D.

c o s 2 x = c o s \frac{π}{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin x - 2 \cos x = 1 - \sqrt{3}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sin x - 2 \cos x = 1 - \sqrt{3} \Leftrightarrow {(\sin x - \cos x)}^{2} = {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin 2 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin 2 x = \sin \frac{π}{3} .$