20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Phương trình lượng giác đẳng cấp

Câu 1:

Phương trình $\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x = 1$ có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{- π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

B.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{- π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

C.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{- π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

D.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{- π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta được $\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x = 1 \Leftrightarrow 1 - 3 \tan x - 2 \tan^{2} x = 1 + \tan^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x + \tan x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π \\ \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π \end{array} (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Phương trình $\sqrt{3} \sin x + \cos x = \frac{1}{\cos x}$ có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

B.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{k π}{2} \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

D.

x = k π (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sqrt{3} \sin x + \cos x = \frac{1}{\cos x}$ có nghĩa khi $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Chia cả 2 vế của phương trình cho $\cos x$ ta được

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = \frac{1}{\cos x} \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan x + 1 = 1 + \tan^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x - \sqrt{3} \tan x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π \\ \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π \end{array} (k \in ℤ) .$

Câu 3:

Phương trình $3 c o s^{2} 4 x + 5 \sin^{2} 4 x = 2 - 2 \sqrt{3} \sin 4 x . c o s 4 x$ có nghiệm là

A.

x = \frac{- π}{6} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{- π}{12} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .

C. $x = \frac{- π}{18} + k \frac{π}{3}, k \in ℤ .$

D.

x = \frac{- π}{24} + k \frac{π}{4}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $3 c o s^{2} 4 x + 5 \sin^{2} 4 x = 2 - 2 \sqrt{3} \sin 4 x . \cos 4 x$ có nghĩa

Với $\cos 4 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos 4 x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} 4 x$ ta được

$3 c o s^{2} 4 x + 5 \sin^{2} 4 x = 2 - 2 \sqrt{3} \sin 4 x . \cos 4 x \Leftrightarrow 3 + 5 \tan^{2} 4 x = 2 (1 + \tan^{2} 4 x) - 2 \sqrt{3} \tan 4 x$

$\Leftrightarrow 3 \tan^{2} 4 x + 2 \sqrt{3} \tan 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan 4 x = - \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow 4 x = - \frac{π}{6} + k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{24} + k \frac{π}{4} (k \in ℤ) .$

Câu 4:

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin^{2} x + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$ . Giá trị nguyên của $\tan x$ là

A. 1.

B. -1

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin^{2} x + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{2} x + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0.$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ta được

$\sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \tan x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = - 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{array} .$

Vậy giá trị nguyên của $\tan x$ là $- 1.$

Câu 5:

Phương trình $2 \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos^{2} x = 1$ có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos^{2} x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = 1.$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta được

$2 \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow 2 \tan^{2} x - 2 \tan x + 1 = 1 + \tan^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x - 2 \tan x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π \\ \tan x = 2 \Leftrightarrow x = \arctan 2 + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 6:

Giải phương trình $- \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1 = 2$ ta được nghiệm là

A.

x = \frac{- π}{6} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \arctan \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + k π \\ x = \arctan \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .

D.

x = \frac{- π}{3} + k π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $- \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1 = 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta được

$- \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1 = 2 \Leftrightarrow - \tan^{2} x + 2 \sqrt{3} \tan x = 1 + \tan^{2} x$

$\Leftrightarrow 2 \tan^{2} x - 2 \sqrt{3} \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + k π \\ \tan x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 7:

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin^{3} x - \sqrt{3} c o s^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x . \cos x .$ Giá trị nguyên của $\tan x$ là

A. 1.

B.

\pm 1.

C.

\sqrt{3} .

D. $[\begin{array}{l} \tan x = - \sqrt{3} \\ \tan x = \pm 1 \end{array} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sin^{3} x - \sqrt{3} \cos^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x . \cos x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{3} x$ ta được

$\sin^{3} x - \sqrt{3} \cos^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x . \cos x \Leftrightarrow \tan^{3} x - \sqrt{3} = \tan x - \sqrt{3} \tan^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{3} x + \sqrt{3} \tan^{2} x - \tan x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = - 1 \\ \tan x = - \sqrt{3} \end{array} .$

Câu 8:

Phương trình $2 \sin^{2} x - 5 \sin x \cos x - \cos^{2} x = - 2$ có thể được đưa về phương trình nào trong các phương trình sau

A.

4 \sin^{2} x + 5 \sin 2 x - \cos^{2} x = 0.

B.

5 \sin 2 x + 3 c o s 2 x = 5.

C.

4 \sin^{2} x + 5 \sin x \cos x + \cos^{2} x = 0.

D. Một phương trình khác.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $2 \sin^{2} x - 5 \sin x \cos x - \cos^{2} x = - 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sin^{2} x - 5 \sin x \cos x - \cos^{2} x = - 2 \Leftrightarrow 4 \sin^{2} x - 5.2 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x = - 4$

$\Leftrightarrow 5 \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 4 \sin^{2} x - 4 = 0 \Leftrightarrow 5 \sin 2 x + 3 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) - (\cos^{2} x + \sin^{2} x) - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 5 \sin 2 x + 3 c o s 2 x = 5.$

Câu 9:

Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình $\sin^{2} \frac{x}{2} - \sin x + 3 c o s^{2} \frac{x}{2} = 0$ có tập nghiệm là

A.

S = \emptyset .

B.

S = \{- π + k 2 π, k \in ℤ\} .

C.

S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin^{2} \frac{x}{2} - \sin x + 3 \cos^{2} \frac{x}{2} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{2} \frac{x}{2} - \sin x + 3 \cos^{2} \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1 - \cos x}{2} - \sin x + \frac{3 (1 + \cos x)}{3} = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} .$

Có $\sqrt{2} > 1 \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Câu 10:

Khi $m = 2$ thì phương trình $(4 - 6 m) \sin^{3} x + 3 (2 m - 1) \sin x + 2 (m - 2) \sin^{2} x . \cos x - (4 m - 3) \cos x = 0$

có bao nhiêu họ nghiệm?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $(4 - 6 m) \sin^{3} x + 3 (2 m - 1) \sin x + 2 (m - 2) \sin^{2} x . \cos x - (4 m - 3) \cos x = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $m = 2 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow - 8 \sin^{3} x + 9 \sin x - 5 \cos x = 0.$

Với $\cos x = 0 \Rightarrow - 8 \sin^{3} x + 9 \sin x - 5 \cos x = 0 \Leftrightarrow - 8 \sin^{3} x + 9 \sin x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \\ \sin x = - \frac{3 \sqrt{2}}{4} \end{array}$ (loại).

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{3} x$ ta có

$- 8 \sin^{3} x + 9 \sin x - 5 \cos x = 0 \Leftrightarrow - 8 \tan^{3} x + 9 \tan x (1 + \tan^{2} x) - 5 (1 + \tan^{2} x) = 0$

$\tan^{3} x - 5 \tan^{2} x + 9 \tan x - 5 = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Câu 11:

Cho phương trình $\sin^{3} x - \sqrt{3} c o s^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x . \cos x .$ Nghiệm của phương trình là

A.

x = \frac{- π}{3} + k π .

B.

x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{3} + k π \end{array}, k \in ℤ .

D.

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, x = - \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin^{3} x - \sqrt{3} \cos^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x \cos x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{3} x$ ta có

$\sin^{3} x - \sqrt{3} \cos^{3} x = \sin x . \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin^{2} x \cos x \Leftrightarrow \tan^{3} x - \sqrt{3} = \tan x - \sqrt{3} \tan^{2} x$

$\tan^{3} x + \sqrt{3} \tan^{2} x - \tan x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π \\ \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π \\ \tan x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Kết hợp nghiệm ta được $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ) .$

Câu 12:

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin 2 x + 1 = 0$ có tập nghiệm là

A.

S = \emptyset .

B.

S = \{k π, k \in ℤ\} .

C. Phương trình vô số nghiệm

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sin^{2} x + \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + 1 = 0$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta có

$2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \tan^{2} x + 2 \tan x + 1 + \tan^{2} x = 0 \Leftrightarrow 3 \tan^{2} x + 2 \tan x + 1 = 0$ (vô nghiệm).

Câu 13:

Phương trình $\sin^{2} 2 x + \sqrt{3} \sin 4 x + 3 \cos^{2} 2 x = 0$ có nghiệm là

A.

x = \frac{- π}{3} + k π (k \in ℤ) .

B.

x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .

C.

x = \frac{- π}{6} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ) .

D.

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin^{2} 2 x + \sqrt{3} \sin 4 x + 3 \cos^{2} 2 x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{2} 2 x + \sqrt{3} \sin 4 x + 3 \cos^{2} 2 x = 0 \Leftrightarrow \sin^{2} 2 x + 2 \sqrt{3} \sin 2 x c o s 2 x + 3 \cos^{2} 2 x = 0.$

Với $\cos 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos 2 x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} 2 x$ ta có

$\sin^{2} 2 x + 2 \sqrt{3} \sin 2 x c o s 2 x + 3 \cos^{2} 2 x = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} 2 x + 2 \sqrt{3} \tan 2 x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \tan 2 x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ .$

Câu 14:

Phương trình $\sin^{2} 4 x + 3 c o s^{2} 4 x = 0$ có tập nghiệm là

A.

S = \emptyset .

B.

S = \{k π, k \in ℤ\} .

C. Phương trình vô số nghiệm.

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin^{2} 4 x + 3 \cos^{2} 4 x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos 4 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}, k \in ℤ \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos 4 x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} 4 x$ ta có

$\sin^{2} 4 x + 3 \cos^{2} 4 x = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} 4 x + 3 = 0$ (Vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 15:

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin 2 x + 2 \tan x = 3.$ Giá trị của biểu thức

$(\tan x - 1) (2 \tan^{2} x - \tan x + 3)$ là

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x + 2 \tan x = 3$ có nghĩa $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Ta có $\sin 2 x + 2 \tan x = 3 \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x + 2 \tan x = 3.$

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta có

$2 \sin x \cos x + 2 \tan x = 3 \Leftrightarrow 2 \tan x + 2 \tan x (\tan^{2} x + 1) = 3 (\tan^{2} x + 1)$

$\Leftrightarrow 2 \tan^{3} x - 3 \tan^{2} x + 4 \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow (\tan x - 1) (2 \tan^{2} x - \tan x + 3) = 0.$

Câu 16:

Cho phương trình $3 \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin x + c o s^{2} \frac{x}{2} = 0.$ Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $(0; 2 π)$ là

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $3 \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin x + \cos^{2} \frac{x}{2} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $3 \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin x + \cos^{2} \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow 3 \frac{1 - \cos x}{2} + \sqrt{3} \sin x + \frac{1 + \cos x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \sin x - 2 \cos x + 4 = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{6}) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = - \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ .$

Vì $x \in (0; 2 π)$ nên $x = \frac{5 π}{3}$ với $k = 1.$

Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 17:

Cho phương trình $2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x = 0,$ khẳng định đúng là

A. Phương trình có 1 họ nghiệm.

B. Phương trình vô nghiệm.

C. Phương trình có 2 họ nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} (1 + c o s 2 x) - \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow \sin 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π \\ 2 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Câu 18:

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin^{3} (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \sin x .$ Giá trị của biểu thức $(2 \tan^{2} x - \tan x + 3) \tan x$ là

A. 1.

B. -6

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin^{3} (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \sin x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{3} (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \sin x \Leftrightarrow {(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}})}^{3} = \sqrt{2} \sin x$

$\Leftrightarrow \sin^{3} x - 3 \sin^{2} x \cos x + 3 \sin x \cos^{2} x - \cos^{3} x = 4 \sin x .$ (1)

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$ .

$(1) \Leftrightarrow \sin^{3} x - 4 \sin x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \pm 2 \\ \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π \end{array}$ (loại).

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{3} x$ ta có

$(1) \Leftrightarrow \tan^{3} x - 3 \tan^{2} x + 3 \tan x - 1 = 4 \tan x (1 + \tan^{2} x)$

$\Leftrightarrow 3 \tan^{3} x + 3 \tan^{2} x + \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1.$

Vậy $(2 \tan^{2} x - \tan x + 3) \tan x = - 6.$

Câu 19:

Cho phương trình $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = 1 + \sin 2 x,$ khẳng định đúng là

A. Phương trình có 2 họ nghiệm.

B. Phương trình vô nghiệm.

C. Phương trình có 1 họ nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = 1 + \sin 2 x$ có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \tan x = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq - \frac{π}{4} + k π \end{cases} (k \in ℤ) .$

Ta có $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = 1 + \sin 2 x \Leftrightarrow \frac{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = {(\cos x + \sin x)}^{2} \Leftrightarrow \cos x - \sin x = {(\cos x + \sin x)}^{3} . (3)$

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho $\cos^{3} x \neq 0$ ta được

$1 + \tan^{2} x - (1 + \tan^{2} x) \tan x = {(1 + \tan x)}^{3}$

$\Leftrightarrow \tan^{3} x + \tan^{2} x + 2 \tan x = 0 \Leftrightarrow (\tan^{2} x + \tan x + 2) \tan x = 0. (*)$

Do $\tan^{2} x + \tan x + 2 = 0$ vô nghiệm nên $(*) \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Câu 20:

Cho phương trình $\sin^{2} x + (2 m - 2) \sin x . \cos x - (m + 1) \cos^{2} x - m = 0.$ Giá trị của m để phương trình có nghiệm là

A.

- 2 \leq m \leq 1.

B.

0 \leq m \leq 1.

C.

0 \leq m .

D.

m \geq - 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin^{2} x + (2 m - 2) \sin x . \cos x - (m + 1) \cos^{2} x - m = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Ta có $(1) \Leftrightarrow 1 - m = 0.$ Để phương trình có nghiệm thì $m = 1.$

Với $\cos x \neq 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta có

$(1) \Leftrightarrow \tan^{2} x + (2 m - 2) \tan x - (m + 1) - m (1 + \tan^{2} x) = 0 \Leftrightarrow (1 - m) \tan^{2} x + 2 (m - 1) \tan x - (2 m + 1) = 0.$

Để phương trình có nghiệm thì

{(m - 1)}^{2} - (1 - m) (- 2 m - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - m^{2} - m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 1.