28 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Bội chung nhỏ nhất có đáp án

Câu 1:

Tìm:

a) Ta có: $15 = 3.5$ ; $18 = {2.3}^{2}$ .

BCNN

(15, 18) = {2.3}^{2} .5 = 90

.

Câu 2:

b) BCNN(84,108)

Xem đáp án

b) Ta có: $84 = 2^{2} .3.7$ ; $108 = 2^{2} {.3}^{3}$

BCNN

(84, 108) = 2^{2} {.3}^{3} .7 = 756

Câu 3:

c) BCNN(33,44,55)

Xem đáp án

c) Ta có: $33 = 3.11$ ; $44 = 4.11$ ; $55 = 5.11$

BCNN

(33, 44, 55) = 3.4.5.11 = 660

Câu 4:

d) BCNN(8,18,30)

Xem đáp án

d) Ta có: $8 = 2^{3}$ , $18 = {2.3}^{2}$ , $30 = 2.3.5$ .

BCNN

(8, 18, 30) = 2^{3} {.3}^{2} .5 = 240

Câu 5:

Tìm:

a) BCNN(10,12)

Xem đáp án

a) Ta có: $10 = 2.5$ ; $12 = 2^{2} .3$ .

BCNN

(10, 12)

= 2^{3} .3.5 = 60

Câu 6:

b) BCNN(24,10)

Xem đáp án

b) Ta có: $24 = 2^{3} .3$ ; $10 = 2.5$

BCNN

(24, 10)

= 2^{3} .3.5 = 120

Câu 7:

c) BCNN(4,14,26)

Xem đáp án

c) Ta có: $4 = 2^{2}$ ; $14 = 2.7$ ; $26 = 2.13$

BCNN

(4, 14, 26)

= 2^{2} .7.13 = 364

Câu 8:

d) BCNN(6,8,10)

Xem đáp án

d) Ta có: $6 = 2.3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2.5$ .

BCNN

(6, 8, 10)

= 2^{3} .3.5 = 120

Câu 9:

Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN

Xem đáp án

Ta có BCNN $(8, 10) = 40$

Vậy BC $(8, 10) = \{0; 40; 80; 120...\}$

Câu 10:

Tìm các bội chung của 8; 12 và 15 thông qua BCNN

Xem đáp án

Ta có BCNN $(8, 12, 15) = 120$

Vậy BC $(8, 12, 15) = \{0; 120; 240; 360...\}$

Câu 11:

Tìm số tự nhiên x thỏa mãn $x ⋮ 4$ ; $x ⋮ 6$ và $0 < x < 50$

Xem đáp án

Vì $x ⋮ 4$ ; $x ⋮ 6$ nên $x \in$ BC $(4, 6) = \{0; 12; 24; 36; 48; 60; ...\}$

Mà $0 < x < 50$ nên $x \in$ $\{0; 12; 24; 36; 48\}$

Câu 12:

Tìm số tự nhiên x thỏa mãn $x ⋮ 20$ ; $x ⋮ 35$ và $x < 500$

Xem đáp án

Vì $x ⋮ 20$ ; $x ⋮ 35$ nên $x \in$ BC $(20, 35) = \{0; 140; 280; 420; 560; ...\}$

Mà $x < 500$ nên $x \in$ $\{0; 140; 280; 420\}$

Câu 13:

Tìm các bội chung của 7; 9 và 6 thông qua BCNN

Xem đáp án

Ta có BCNN $(7, 9, 6) = 122$

Vậy BC $(7, 9, 6) = \{0; 122; 244; 366...\}$

Câu 14:

Tìm số tự nhiên a, b biết rằng

a)

a - b = 5

và BCNN

(a, b) = 60

Xem đáp án

a) BCNN $(a, b) = 60$ $\Rightarrow 60 ⋮ a, 60 ⋮ b$ . Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì a-b = 5 nên a>b .

Ta xét bảng sau

a	6	10	15	20
b	1	5	10	15
BCNN(a,b)	6	5	30	60
	Loại	Loại	Loại	Nhận

Vậy cặp số tự nhiên cần tìm là 20 và 15.

Câu 15:

b) ƯCLN $(a, b) = 5$ và BCNN $(a, b) = 60$ .

Xem đáp án

b) ƯCLN $(a, b) = 5$ => $a = 5 a_{1}; b = 5 b_{1}$ và $(a_{1}, b_{1}) = 1$

Ta có

Ta có bảng sau:

$a_{1}$	1	12	3	4
a	5	60	15	20
$b_{1}$	12	1	4	3
b	60	5	20	15

Vậy các cặp số tự nhiên $(a, b)$ cần tìm là: $(5, 60); (60, 5); (15, 20); (20, 15)$

Câu 16:

Tìm số tự nhiên a, b biết rằng

a)

a - b = 4

và BCNN

(a, b) = 60

.

Xem đáp án

a) BCNN $(a, b) = 60$ $\Rightarrow 60 ⋮ a, 60 ⋮ b$ . Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì a-b=4 nên a>b.

Ta xét bảng sau

a	5	6	10
b	1	2	6
BCNN $(a, b)$	5	6	30
	Loại	Loại	Loại

Vậy không tìm được cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Câu 17:

b) ƯCLN $(a, b) = 5$ và BCNN $(a, b) = 150$

Xem đáp án

b) ƯCLN $(a, b) = 5$ => $a = 5 a_{1}; b = 5 b_{1}$ và $(a_{1}, b_{1}) = 1$

Ta có $a . b = 5.150 = 750 \Rightarrow a_{1} . b_{1} = 30$

Ta có bảng sau:

$a_{1}$	1	2	3	5
a	5	10	15	25
$b_{1}$	30	15	10	6
b	150	75	50	30

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có các cặ đảo ngược vị trí. Vậy các cặp số tự nhiên $(a, b)$ cần tìm là: $(5, 150); (150, 5); (10, 75); (75, 10); (15, 50); (50, 15); (25, 30); (30, 25)$

Câu 18:

Tìm số tự nhiên a, b biết rằng

a)

a b = 180

và BCNN

(a, b) = 60

Xem đáp án

a) Gọi ƯCLN $(a, b) = k$ $\Rightarrow a = k a_{1}; b = k b_{1}$ với $(a_{1}, b_{1}) = 1$

Ta có: $a b = k^{2} a_{1} b_{1} = 180$ . Mà BCNN $(a, b) = k a_{1} b_{1} = 60$

Suy ra $k = 3; a_{1} b_{1} = 20$

Ta có bảng sau:

$a_{1}$	1	20	4	5
a	3	60	12	15
$b_{1}$	20	1	5	4
b	60	3	15	12

Vậy các cặp số tự nhiên $(a, b)$ cần tìm là: $(3; 60), (60; 3), (12; 15), (15; 12)$

Câu 19:

b)

\frac{a}{b} = \frac{4}{5}

và BCNN

Xem đáp án

b) Gọi ƯCLN $(a, b) = k$ . Vì $\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$ mà $(4, 5) = 1$ nên $a = 4 k, b = 5 k$ .

BCNN $(a, b) = 4.5. k = 140 \Rightarrow k = 7$

Vậy $a = 28, b = 35$

Câu 20:

Tìm số tự nhiên a, b biết rằng $a + b = 42$ và BCNN $(a, b) = 72$

Xem đáp án

Gọi ƯCLN $(a, b) = k$ . Nên $a = k a_{1}, b = k b_{1}$

Ta có $a + b = 42 \Rightarrow k (a_{1} + b_{1}) = 42$ (1)

BCNN $(a, b) = k a_{1} b_{1} = 72$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $42 ⋮ k, 72 ⋮ k$ hay $k \in$ ƯC $(42, 72)$ $\Rightarrow k \in \{1; 2; 3; 6\}$

Thay k lần lượt các trường hợp trên ta thấy k = 3 hoăc k = 6

Khi đó: tìm được các cặp $(a, b)$ là $(6, 36)$ , $(18, 24)$ .

Câu 21:

Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tìm tổng số sách biết số sách trong khoảng 200 đến 500.

Xem đáp án

Gọi số sách cần tìm là x quyển, ( $x \in ℕ, 200 \leq x \leq 500$ )

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên $x ⋮ 10$ , $x ⋮ 12$ , $x ⋮ 18$ suy ra .

BCNN $(10, 12, 18) = 360$

BC $(10, 12, 18) = \{0; 360; 720; ...\}$

Suy ra $x \in \{0; 360; 720; ...\}$ , mà $200 \leq x \leq 500$ nên $x = 360$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyển.

Câu 22:

Hai bạn A và B cùng học chung một trường nhưng ở hai lớ khác nhau. A cứ 10 ngày lại trực nhật, B cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu tiên hai bạn trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Xem đáp án

Do cứ 10 ngày A trực nhật một lần nên ngày trực của A là B $(10)$ .

Do cứ 12 ngày B trực nhật một lần nên ngày trực của B là B $(12)$ .

Lần đầu tiên hai bạn trực cùng 1 ngày, để đến lần gần nhất trực cùng nhau thì sẽ là BCNN $(10, 12) = 60$

Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Câu 23:

Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 300 đến 400. Biết rằng nếu xếp hàng 5, 8, 12 thì thiếu 1 em. Tính số học sinh khối 6 của trường.

Xem đáp án

Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x học sinh, ( $x \in ℕ, 300 \leq x \leq 400$ )

Vì khi xếp thành 5, 8, 12 thì thiếu 1 em nên $x = 5 k - 1$ , $x = 8 t - 1$ , $x = 12 m - 1$ suy ra x là 1 bôi chung của 5, 8, 12 trừ 1.

BCNN $(5, 8, 12) = 120$

BC $(5, 8, 12) = \{0; 120; 240; 360; 480; 600...\}$

Suy ra $x + 1 \in \{0; 120; 240; 360; 480; 600...\}$ , mà $300 \leq x \leq 400 \Rightarrow 301 \leq x + 1 \leq 401$ nên $x + 1 = 360 \Rightarrow x = 359$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.

Câu 24:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6 khi chia cho 25 thì dư 24.

Xem đáp án

Gọi x là số cần tìm.

Vì x chia 3 dư 2, chia cho 7 thì dư 6, chia cho 25 thì dư 24. Nên x+1 chia hết cho 2, 7, 25.

Do đó x+1= BCNN $(3, 7, 25) = 525$

Vậy số cần tìm là 525 – 1 = 524.

Câu 25:

Có ba chiếc hộp hình vuông: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm. Người ta xếp thành ba chồng bằng nhau, mỗi chồng một màu. Hỏi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp đó.

Xem đáp án

Gọi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là x (cm).

Ta có: x= BCNN $(7, 8, 12) = 2^{3} .3.7 = 168$

Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168 (cm)

Câu 26:

Tìm số tự nhiên x. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 và $x < 400$

Xem đáp án

Ta có: x-1= BC $(2, 3, 4, 5, 6)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - 1 \in \{60; 120; 180; 240; 300; 360\} \\ \Rightarrow x \in \{61; 121; 181; 241; 301; 361\} \end{array}$

Do x chia hết cho 7 nên x = 301.

Câu 27:

Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người. Tính số đội viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150.

Xem đáp án

Gọi số đội viên của liên đội là x (đội viên).

Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngươi nên: $x - 1 \in$ BC $(2, 3, 4, 5)$ .

BCNN $(2, 3, 4, 5) = 2^{2} .3.5 = 60$

BC $(2, 3, 4, 5) = \{0; 60; 120; 180; 240; ...\}$

Mà số đội viên trong khoảng từ 100 đến 150.

Nên $x - 1 = 120 \Rightarrow x = 121$ đội viên.

Câu 28:

Một bộ phận của máy có hai bánh răng cửa khớp với nhau, bánh một có 18 răng cưa, bánh xe hai có 12 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cửa khớp với nhau. Hỏi mỗi bánh xe phải quay ít nhất bao nhiêu răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước? Khi đó mỗi bánh xe đã quay được bao nhiêu vòng.

Xem đáp án

Gọi số răng cưa phải tìm là x (răng).

Ta có $x ⋮ 12; x ⋮ 8$ . Vì x nhỏ nhất nên x là BCNN $(8, 12) = 2^{2} 3^{2} = 36$ .

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 36 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước.

Khi đó: Bánh xe thứ nhất quay được 36 : 18 = 2 vòng

Bánh xe thứ hai quay được 36 : 12 = 3 vòng.