IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 6 Toán Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 4: Bội và ước của một số nguyên có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 4: Bội và ước của một số nguyên có đáp án

Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên có đáp án

  • 2405 lượt thi

  • 13 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng: \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}\) chia hết cho \( - 6\).

Xem đáp án

Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của \( - 6\) bằng cách:

\(S = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6}} \right) + \left( {{2^7} + {2^8}} \right)\)

   \( = 6 + {2^2}.6 + {2^4}.6 + {2^6}.6\)

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho \( - 6\), nên S chia hết cho \( - 6\).


Câu 2:

Cho số \(a = - {10^8} + {2^3}.\) Hỏi số a có chia hết cho \( - 9\) không?

Xem đáp án

\[a = - {10^8} + {2^3} = - {10^8} + 1 + 7 = \underbrace { - 99...9}_{{\rm{go\`a m}}\,\,{\rm{8}}\,\,{\rm{ch\"o \~o }}\,\,{\rm{so\'a }}\,{\rm{9}}} + 7\].

Số hạng đầu của \(a\) chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên \(a\) không chia hết cho 9. Do đó \(a\) cũng không chia hết cho \( - 9\).


Câu 3:

Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu (6a + 11b) chia hết cho 31 thì (a + 7b) cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?

Xem đáp án

Ta có: \(6a + 11b = 6.\left( {a + 7b} \right) - 31b.\)             (*)

Do đó \(31b \vdots 31,\)\(6a + 11b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6\left( {a + 7b} \right) \vdots 31,\)

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra \(a + 7b \vdots 31.\)

Ngược lại, nếu \(a + 7b \vdots 31\), mà \(31b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6a + 7b \vdots 31.\)

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:

“Cho \[a,{\rm{ }}b\]là các số nguyên. Chứng minh rằng \(6a + 11b\) chia hết cho 31 khi và chỉ khi \(a + 7b\) chia hết cho 31”.


Câu 4:

Tìm số nguyên x sao cho: (3x + 4) chia hết cho (x - 3)
Xem đáp án

Nhận thấy \(3x + 4 = 3\left( {x - 3} \right) + 5.\)

Do \(3\left( {x - 3} \right) \vdots \left( {x - 3} \right),\) nên \(\left( {3x + 4} \right) \vdots \left( {x - 3} \right)\) khi và chỉ khi \(5 \vdots \left( {x - 3} \right).\)

Suy ra \(x - 3 \in {\rm{\"O (5)}}\) hay \(x - 3 \in \left\{ { - 5; - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)


Câu 5:

Tìm số nguyên x sao cho: (x + 1) là ước số của (x2 + 7)
Xem đáp án

Nhận thấy \({x^2} + 7 = x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) + 8.\)

Do \(x\left( {x + 1} \right) \vdots \left( {x + 1} \right),\) nên \({x^2} + 7 \vdots \left( {x + 1} \right)\) khi và chỉ khi \(8 \vdots \left( {x + 1} \right).\)

Suy ra \(x + 1 \in \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 9;\,\, - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}.\)


Câu 6:

Chứng minh rằng: \(S = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8} + {3^9}\) chia hết cho \(\left( { - 39} \right).\)

Xem đáp án

\[S = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8} + {3^9}\]

     = \[(3 + {3^2} + {3^3}) + ({3^4} + {3^5} + {3^6}) + ({3^7} + {3^8} + {3^9})\]

    = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)\[ \vdots \,\,39\]

Suy ra \[{\rm{S}}\,\, \vdots \,\,39\] nên \[{\rm{S}} \vdots \,\,( - 39)\]


Câu 7:

Cho số a = 11...11 (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?
Xem đáp án

Nhận thấy: \[a = {111.10^{17}} + {111.10^{14}} + {111.10^{11}} + {111.10^8} + {111.10^5} + {111.10^2} + 11\]

                      =\[111.({10^{17}} + {10^{14}} + {10^{11}} + {10^8} + {10^5} + {10^2}) + 11\]

Suy ra \(a\) là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên \(a\) không chia hết cho 111.

Vậy \(a\) không chia hết cho 111.


Câu 8:

Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số nguyên. Chứng minh rằng \[5a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b\] chia hết cho 17 khi và chỉ khi \[9a{\rm{ }} + {\rm{ }}7b\] chia hết cho 17.

Xem đáp án

Xét hiệu \[5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b) = 17b\]

Nhận thấy \[17b\,\, \vdots \,\,17\] nên:

Nếu \[9a + 7b\]\[ \vdots \,\,17\] thì \[9.(5a + 2b)\]\[ \vdots \,\,17\], mà \[\left( {9;{\rm{ }}17} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1\] nên \[5a + 2b\]\[ \vdots \,\,17\]

Nếu \[5a + 2b\]\[ \vdots \,\,17\]thì \[5.(9a + 7b)\]\[ \vdots \,\,17\], mà \[\left( {5;{\rm{ }}17} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1\] nên \[(9a + 7b)\]\[ \vdots \,\,17\]


Câu 9:

Tìm cặp số nguyên x, y sao cho: (x - 1).(y + 1) = 5
Xem đáp án

Vì 5 = 5.1 = \[( - 1).( - 5)\] nên ta có các trường hợp sau:

1) \[x - 1 = 1\]\[y + 1 = 5\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 2\]\[y = 4\]

2) \[x - 1 = 5\]\[y + 1 = 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 6\]\[y = 0\]

3) \[x - 1 = - 1\]\[y + 1 = - 5\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 0\]\[y = - 6\]

4) \[x - 1 = - 5\]\[y + 1 = - 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = - 4\]\[y = - 2\]


Câu 10:

Tìm cặp số nguyên x, y sao cho: x.(y + 2) = -8
Xem đáp án

\[(x;y) = ( - 8; - 1);\,\,(1; - 10);\,\,(8; - 3);( - 1;\,\,6);\,\,( - 4;\,\,0);\,\,(2; - 6);\,\,(4; - 4);\,\,( - 2; - 6)\]


Câu 11:

Tìm cặp số nguyên x, y sao cho: xy - 2x - 2y = 0
Xem đáp án

\[xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow (x - 2).(y - 2) = 4\]

Do đó tìm được \[(x;y) = (3;\,\,6);(6;\,\,3);(1; - 2);( - 2;\,\,1);(4;\,\,4);(0;\,\,0)\].


Câu 12:

Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.
Xem đáp án

Từ điều kiện đề bài suy ra \[2x + y = 201\]

201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:

\[y = 2k + 1\,\,\,\,(k\, \in \,\,\mathbb{Z}) \Rightarrow x = 100 - k\]

Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

\[(x;y) = (100;\,\,1);\,\,(99;\,\,3);\,\,(101;\, - 1);\,\,(98;\,\,5)\]


Câu 13:

Tìm số nguyên x sao cho (x - 1) là bội của 15 và (x + 1) là ước số của 1001
Xem đáp án

\[U\left( {1001} \right) = \left\{ {1001;--1001;{\rm{ }}143;--143;{\rm{ }}91;--91;{\rm{ }}77;--77;{\rm{ }}13;--13;{\rm{ }}11;--11;{\rm{ }}7;--7;{\rm{ }}1;--1} \right\}\]

Ta có: \[x--{\rm{ }}1\] là bội của 15 nên \[x--1 = {\rm{ }}15k\;\] (\[k \in \mathbb{Z}\]) suy ra \[x + \;1{\rm{ }} = {\rm{ }}15k + {\rm{ }}2\;\](\[k \in \mathbb{Z}\])

\[x + {\rm{ }}1\] là ước của 1001 nên kiểm tra thấy \[x + 1 = 77\] hay \[x = 76\]

Vậy \[x = 76\]


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương