10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Một số bài tập nâng cao về lũy thừa

Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 5: lũy thừa số mũ tự nhiên có đáp án

Dạng 4: Một số bài tập nâng cao về lũy thừa

1779 lượt thi
10 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

So sánh các lũy thừa: $3^{2 n}$ và $2^{3 n}$

Xem đáp án

Ta có: $3^{2 n} = {(3^{2})}^{n} = 9^{n}$

$2^{3 n} = {(2^{3})}^{n} = 8^{n}$

Vì $9^{n} > 8^{n}$ nên $3^{2 n} > 2^{3 n}$

Câu 2:

Cho $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{9}$ . So sánh S với ${5.2}^{8}$ .

Xem đáp án

Ta có: $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{9}$

2 S = 2 + 2^{2} + .... + 2^{9} + 2^{10}

\Rightarrow S = 2^{10} - 1

Mà $2^{10} - 1 < 2^{10} = {4.2}^{8} < {5.2}^{8}$

Vậy $S < {5.2}^{8}$ .

Câu 3:

So sánh hai biểu thức A và B , biết:

A = \frac{10^{15} + 1}{10^{16} + 1}

và

B = \frac{10^{16} + 1}{10^{17} + 1}

Xem đáp án

Ta có: $A = \frac{10^{15} + 1}{10^{16} + 1}$ $\Rightarrow 10 A = 10. (\frac{10^{15} + 1}{10^{16} + 1})$ = $\frac{10^{16} + 10}{10^{16} + 1}$ = $\frac{10^{16} + 1 + 9}{10^{16} + 1} = 1 + \frac{9}{10^{16} + 1}$ .

$B = \frac{10^{16} + 1}{10^{17} + 1}$ $\Rightarrow 10 B = 10. (\frac{10^{16} + 1}{10^{17} + 1})$ = $\frac{10^{17} + 10}{10^{17} + 1}$ = $\frac{10^{17} + 1 + 9}{10^{17} + 1} = 1 + \frac{9}{10^{17} + 1}$ .

Vì $10^{16} + 1 < 10^{17} + 1$ nên $\frac{9}{10^{16} + 1} > \frac{9}{10^{17} + 1}$ $\Rightarrow 1 + \frac{9}{10^{16} + 1} > 1 + \frac{9}{10^{17} + 1}$

$10 A > 10 B$ hay $A > B$

Câu 4:

So sánh hai biểu thức C và D, biết:

C = \frac{2^{2008} - 3}{2^{2007} - 1}

và

D = \frac{2^{2007} - 3}{2^{2006} - 1}

Xem đáp án

Ta có: $C = \frac{2^{2008} - 3}{2^{2007} - 1}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} C = \frac{1}{2} (\frac{2^{2008} - 3}{2^{2007} - 1}) = \frac{2^{2008} - 3}{2^{2008} - 2} = \frac{2^{2008} - 2 - 1}{2^{2008} - 2} = 1 - \frac{1}{2^{2008} - 2}$ .

$D = \frac{2^{2007} - 3}{2^{2006} - 1}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} D = \frac{1}{2} (\frac{2^{2007} - 3}{2^{2006} - 1}) = \frac{2^{2007} - 3}{2^{2007} - 2} = \frac{2^{2007} - 2 - 1}{2^{2007} - 2} = 1 - \frac{1}{2^{2007} - 2}$

Vì $2^{2008} - 2 > 2^{2007} - 2$ nên $\frac{1}{2^{2008} - 2} < \frac{1}{2^{2007} - 2}$

$\Rightarrow 1 - \frac{1}{2^{2008} - 2} > 1 - \frac{1}{2^{2007} - 2}$

$\frac{1}{2} C > \frac{1}{2} D$ hay $C > D .$

Vậy $C > D .$

Câu 5:

Tìm các số nguyên n thoã mãn:

3^{64} < n^{48} < 5^{72}

Xem đáp án

Ta giải từng bất đẳng thức $3^{64} < n^{48}$ và $n^{48} < 5^{72}$ .

Ta có: $n^{48} > 3^{64} \Rightarrow {(n^{3})}^{16} > {(3^{4})}^{16} \Rightarrow {(n^{3})}^{16} > 81^{16} \Rightarrow n^{3} > 81$

$\Rightarrow n > 4$ (với $n \in ℤ$ ) (1).

Mặt khác $n^{48} < 5^{72} \Rightarrow {(n^{2})}^{24} < {(5^{3})}^{24} \Rightarrow {(n^{2})}^{24} < 125^{24} \Rightarrow n^{2} < 125$

$\Rightarrow - 11 \leq n \leq 11$ (với $n \in ℤ$ ) (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4 < n \leq 11$ .

Vậy $n$ nhận các giá trị nguyên là: $5; 6; 7; 8; 9; 10; 11.$

Câu 6:

Tìm n thuộc N , biết:

16^{x} < 128^{4}

Xem đáp án

Ta có: $16^{x} < 128^{4}$ $\Rightarrow$ ${(2^{4})}^{x} < {(2^{7})}^{4}$ $\Rightarrow$ $2^{4 x} < 2^{28} \Rightarrow 4 x < 28 \Rightarrow x < 7$

$\Rightarrow x \in \{0,1,2,3,4,5,6\}$ .

Câu 7:

Tìm n thuộc N, biết

5^{x} {.5}^{x + 1} {.5}^{x + 2} \leq \underset{18 c h u s o 0}{\underset{⏟}{100.............0}} : 2^{18}

Xem đáp án

Ta có: $5^{x} {.5}^{x + 1} {.5}^{x + 2} \leq \underset{18 c h u s o 0}{\underset{⏟}{100.............0}} : 2^{18}$

$5^{3 x + 3} \leq 10^{18} : 2^{18} \Rightarrow 5^{3 x + 3} \leq 5^{18} \Rightarrow 3 x + 3 \leq 18 \Rightarrow x \leq 5$

$\Rightarrow x \in \{0,1,2,3,4,5\}$ .

Câu 8:

Tìm số tự nhiên x,y sao cho $10^{x} = y^{2} - 143$ .

Xem đáp án

Ta có: $10^{x} = y^{2} - 143 \Rightarrow 10^{x} + 143 = y^{2}$

Nếu $x = 0 \Rightarrow y = 12$ thỏa mãn.

Nếu $x > 0 \Rightarrow 10^{x}$ có chữ số tận cùng là 0. Khi đó, $10^{x}$ có chữ số tận cùng là 3. Mà $y^{2}$ là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3. Do đó không tồn tại $x, y$ thỏa mãn.

Vậy $x = 0; y = 12.$

Câu 9:

Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:

n = 8^{3} . 15^{5}

Xem đáp án

Ta có:

\begin{array}{l} n = 8^{3} . 15^{5} = {(2^{3})}^{3} . {(3.5)}^{5} = 2^{9} . 3^{5} . 5^{5} \\ = 2^{4} . 3^{5} . {(2.5)}^{5} = 16.243 {.10}^{5} = 3888. 10^{5} . \end{array}

Số ${3888.10}^{5}$ gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.

Vậy số n có 9 chữ số.

Câu 10:

Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: $m = 4^{16} . 5^{25}$

Xem đáp án

Ta có:

\begin{array}{l} m = 4^{16} . 5^{25} = {(2^{2})}^{16} . 5^{25} \\ = 2^{32} {.5}^{25} = 2^{7} . (2^{25} {.5}^{25}) = {128.10}^{25} . \end{array}

Số ${128.10}^{25}$ gồm 25 theo sau là chữ số 0nên số này có tất cả 28 chữ số.

Vậy số m có 28 chữ số.

Bắt đầu thi ngay