10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết

Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 5: lũy thừa số mũ tự nhiên có đáp án

Dạng 5: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết

2074 lượt thi
10 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng:

a. $A = 1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{11}$ chia hết cho A

Xem đáp án

$A = 1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{11}$ chia hết cho 4

$A = (1 + 3) + 3^{2} . (1 + 3) + ... + 3^{10} . (1 + 3)$

$A = 4 + 3^{2} .4 + ... + 3^{10} .4$

$A = 4. (1 + 3^{2} + ... + 3^{10}) ⋮ 4 (đ p c m)$

Câu 2:

Chứng minh rằng:

B = 16^{5} + 2^{15}

chia hết cho 33

Xem đáp án

$B = 16^{5} + 2^{15}$ chia hết cho 33

$B = {(2^{4})}^{5} + 2^{15}$

$B = 2^{20} + 2^{15}$

$B = 2^{15} . (1 + 2^{5})$

$B = 2^{15} .33 ⋮ 33 (đ p c m)$

Câu 3:

Chứng minh rằng:

C = 5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{8}

8 chia hết cho 30

Xem đáp án

$C = 5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{8}$ chia hết cho 30

$C = (5 + 5^{2}) + 5^{2} . (5 + 5^{2}) + ... + 5^{6} . (5 + 5^{2})$

$C = 30 + 5^{2} .30 + ... + 5^{6} .30$

$C = 30. (1 + 5^{2} + ... + 5^{6}) ⋮ 30 (đ p c m)$

Câu 4:

Chứng minh rằng: D= 45+90+180 chia hết cho 9

Xem đáp án

$D = 45 + 99 + 180$ chia hết cho 9

Ta có $45 ⋮ 9; 99 ⋮ 9; 180 ⋮ 9$ nên $D = 45 + 99 + 180 ⋮ 9$

Câu 5:

E = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{119}

chia hết cho 13

Xem đáp án

$E = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{119}$ chia hết cho 13

$E = (1 + 3 + 3^{2}) + 3^{3} . (1 + 3 + 3^{2}) + ... + 3^{117} . (1 + 3 + 3^{2})$

$E = 13 + 3^{3} .13 + ... + 3^{117} .13$

$E = 13. (1 + 3^{3} + ... + 3^{117}) ⋮ 13 (đ p c m)$

Câu 6:

$F = 10^{28} + 8$ chia hết cho 72

Xem đáp án

$F = 10^{28} + 8$ chia hết cho 72

Ta thấy: $72 = 8.9$

Ta có:

$10^{28} + 8 ⋮ 9$ vì tổng các chữ số bằng 9

$10^{28} + 8 ⋮ 8$ vì có tận cùng là 008

Mà $(8; 9) = 1$ nên $10^{28} + 8 ⋮ 8.9 = 72$ (đpcm)

Câu 7:

$G = 8^{8} + 2^{20}$ chia hết cho 17

Xem đáp án

$G = 8^{8} + 2^{20}$ chia hết cho 17

$G = {(2^{3})}^{8} + 2^{20}$

$G = 2^{24} + 2^{20}$

$G = 2^{20} . (2^{4} + 1)$

$G = 2^{20} .17 ⋮ 17 (đ p c m)$

Câu 8:

$H = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{60}$ chia hết cho 3,7,15

Xem đáp án

$H = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{60}$

Ta có:

$H = 2. (1 + 2) + 2^{3} . (1 + 2) + ... + 2^{59} . (1 + 2)$

$H = 2.3 + 2^{3} .3 + ... + 2^{59} .3$

$H = 3. (2 + 2^{3} + ... + 2^{59}) ⋮ 3$

Ta có:

$H = 2. (1 + 2 + 2^{2}) + 2^{4} . (1 + 2 + 2^{2}) + ... + 2^{28} . (1 + 2 + 2^{2})$

H = 2.7 + 2^{4} .7 + ... + 2^{58} .7

H = 7. (2 + 2^{4} + ... + 2^{58}) ⋮ 7

Ta có:

$H = 2. (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) + 2^{5} . (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) + ... + 2^{57} . (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3})$

$H = 2.15 + 2^{5} .15 + ... + 2^{57} .15$

H = 15. (2 + 2^{5} + ... + 2^{57}) ⋮ 15

Vậy H chia hết cho $3; 7; 15$ .

Câu 9:

I = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{1991}

chia hết cho 13 và 41

Xem đáp án

$I = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{1991}$ chia hết cho 13 và 41

Ta có:

$I = (1 + 3 + 3^{2}) + 3^{3} . (1 + 3 + 3^{2}) + ... + 3^{1989} . (1 + 3 + 3^{2})$

$I = 13 + 3^{3} .13 + ... + 3^{1989} .13$

$I = 13. (1 + 3^{3} + ... + 3^{1989}) ⋮ 13 (đ p c m)$

Ta có:

$I = (1 + 3^{2} + 3^{4} + 3^{6}) + (3 + 3^{3} + 3^{5} + 3^{7}) + ... + (3^{1984} + 3^{1986} + 3^{1988} + 3^{1990}) + (3^{1985} + 3^{1987} + 3^{1989} + 3^{1991})$

$I = (1 + 3^{2} + 3^{4} + 3^{6}) + 3. (1 + 3^{2} + 3^{4} + 3^{6}) + ... + 3^{1984} . (1 + 3^{2} + 3^{4} + 3^{6}) + 3^{1985} . (1 + 3^{2} + 3^{4} + 3^{6})$

$I = 820. (1 + 3 + ... + 3^{1984} + 3^{1985})$

$I = 41.20. (1 + 3 + ... + 3^{1984} + 3^{1985}) ⋮ 41$

Vậy I chia hết cho $13; 41$

Câu 10:

J = 10^{n} + 18 n - 1

chia hết cho 27

Xem đáp án

$J = 10^{n} + 18 n - 1 = (10^{n} - 1) + 18 n$

$J = 99...9 + 18 n$ (số $99...9$ có $n$ chữ số 9)
$J = 9. (11...1 + 2 n)$ (số $11...1$ có $n$ chữ số 1)

$J = 9. L$
Xét biểu thức trong ngoặc

$L = 11...1 + 2 n = 11...1 - n + 3 n$ (số $11...1$ có $n$ chữ số 1)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Số $11...1$ có chữ số có tổng các chữ số là $1 + 1 + ... + 1 = n$ (vì có n chữ số 1).
$\Rightarrow 11...1$ ( chữ số ) và có cùng số dư trong phép chia cho

$\Rightarrow 11...1$ (n chữ số 1) $- n ⋮ 3$

$L ⋮ 3$

$\Rightarrow 9. L ⋮ 27$ hay $J = 10^{n} + 18 n - 1$ chia hết cho 27 (đpcm)

Bắt đầu thi ngay