40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 6: Bài tập vận dụng có đáp án

$\begin{array}{l} 3^{7} = 2187; 2^{11} = 2048 \Rightarrow 3^{7} > 2^{11} \\ 3^{172} = {(3^{7})}^{24} {.3}^{4} > (2^{11}) 2^{4} > (2^{11}) 2^{6} = 2^{270} \end{array}$

Do đó: $2^{1720} {.2}^{270} < 2^{1720} {.3}^{172} < 5^{860} \Rightarrow 2^{1990} < 5^{860}$

Mà $2^{5} < 5^{3} \Rightarrow 2^{1995} < 5^{863}$

Câu 17:

Chứng minh rằng:

2^{1999} < 7^{714}

.

Xem đáp án

Ta có: $2^{10} = 1024; 7^{3} = 343$

\Rightarrow 2^{10} < {3.7}^{3} \Rightarrow {(2^{10})}^{238} < 3^{238} . {(7^{3})}^{238}

$\Rightarrow 2^{2380} < 3^{238} {.7}^{714}$ (1)

Xét: $3^{238} = 3^{3} {.3}^{235} = 3^{3} . {(3^{5})}^{47} < 3^{3} . {(2^{8})}^{47} < 2^{5} {.2}^{376} = 2^{381}$ (vì 3⁵<2⁸)

$\Rightarrow 3^{238} < 2^{381}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $2^{^{2380}} < 2^{381} {.7}^{714}$

\Rightarrow 2^{1999} < 7^{^{714}}

Câu 18:

So sánh: $3^{200}$ và $2^{300}$ .

Xem đáp án

Ta có: $3^{200} = {(3^{2})}^{100} = 9^{100}; 2^{300} = {(2^{3})}^{100} = 8^{100}$ mà $8^{100} < 9^{100}$

\Rightarrow 2^{300} < 3^{200}

Câu 19:

So sánh: $71^{50}$ và $37^{75}$ .

Xem đáp án

Ta có: $71^{50} < 72^{50} = {(8.9)}^{50} = 2^{150} {.3}^{100}$ (1)

$37^{75} > 36^{75} = {(4.9)}^{75} = 2^{150} {.3}^{150}$ (2)

Mà $2^{150} {.3}^{150} > 2^{150} {.3}^{100}$ (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra: $37^{75} > 71^{50}$

Câu 20:

So sánh các số: $50^{20}$ và $2550^{10}$

Xem đáp án

Ta có: $50^{20} = {[{(50)}^{2}]}^{10} = 2500^{10} < 2550^{10} \Rightarrow 5^{20} < 2550^{10}$

Câu 21:

So sánh các số: $999^{10}$ và $999999^{5}$

Xem đáp án

Ta có:

999^{10} = {[{(999)}^{2}]}^{5} > 998001^{5} < 999999^{5} \Rightarrow 999^{10} < 999999^{^{5}}

Câu 22:

Viết theo từ nhỏ đến lớn: $2^{100}; 3^{75}$ và $5^{50}$ .

Xem đáp án

$2^{100} = {(2^{2})}^{50} = 4^{50} < 5^{50}$ (1)

$3^{75} = {(3^{3})}^{25} = 27^{25} = 3^{75} > 5^{50}$ (2)

$5^{50} = {(5^{2})}^{25} = 25^{25}$ (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra: $2^{100} < 5^{50} < 3^{75}$

Câu 23:

So sánh 2 số:

1234^{5 6 7 8 9}

và

56789^{1 2 3 4}

.

Xem đáp án

Ta có: $A = 1234^{56789} > 1000^{50000} = {(10^{3})}^{50000} = 10^{150000}$

$B = 56789^{1234} < 100000^{2000} = {(10 {}^{5})}^{2000} = 10^{10000}$

Vì

10^{10000} < 10^{150000} \Rightarrow 56789^{1234} < 1234^{56789}

Câu 24:

Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số .

Hãy so sánh m với ${10.9}^{8}$ .

Xem đáp án

Số có 9 chữ số là $\bar{a_{1} a_{2} ... a_{9}}$ trong đó các chữ số $a_{i} \neq 0 (i = \bar{1; 9})$ và có thể giống nhau. Từ tập hợp số $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ mỗi chữ số a_i có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là $m = 9^{9}$ số.

Từ đó: $m = 9^{9} = {9.9}^{8} < {10.9}^{8}$

Câu 25:

Cho $A = 1 + 2012 + 2012^{2} + 2012^{3} + 2012^{4} + \dots + 2012^{71} + 2012^{72}$ và $B = 2012^{73} - 1$ .

So sánh A và B.

Xem đáp án

Ta có: $A = 1 + 2012 + 2012^{2} + 2012^{3} + 2012^{4} + ... + 2012^{71} + 2012^{72}$

$2012. A = 2011 + 2012^{2} + 2012^{3} + 2012^{4} + 2012^{5} + ... + 2012^{72} + 2012^{73}$

\begin{array}{l} \Rightarrow 2012. A - A = 2011 A = 2012^{73} - 1 \\ \Rightarrow A = (2012^{73} - 1) : 2011 < 2012^{73} - 1 \end{array}

Vậy A < B.

Câu 26:

So sánh hai biểu thức: $B = \frac{3^{10} .11 + 3^{10} .5}{3^{9} {.2}^{4}}$ và $C = \frac{2^{10} .13 + 2^{10} .65}{2^{8} .104}$ .

Xem đáp án

B = \frac{3^{10} .11 + 3^{10} .5}{3^{9} {.2}^{4}} = \frac{3^{10} (11 + 5)}{3^{9} .16} = 3

C = \frac{2^{10} .13 + 2^{10} .65}{2^{8} .104} = \frac{2^{10} (13 + 65)}{2^{8} .104} = \frac{2^{2} .78}{104} = 3

Vậy B = C.

Câu 27:

So sánh: $M = \frac{3}{8^{3}} + \frac{7}{8^{4}}$ và $N = \frac{7}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\frac{7}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}} = \frac{3}{8^{3}} + \frac{4}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}} = (\frac{3}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}}) + \frac{4}{8^{3}}$

\frac{7}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}} = \frac{3}{8^{3}} + \frac{4}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}} = (\frac{3}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}}) + \frac{4}{8^{3}}

Vì $\frac{4}{8^{4}} < \frac{4}{8^{3}} \Rightarrow (\frac{3}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}}) + \frac{4}{8^{4}} < (\frac{3}{8^{3}} + \frac{3}{8^{4}}) + \frac{4}{8^{3}}$

$\Rightarrow M < N$

Câu 28:

So sánh M và N biết: $M = \frac{19^{30} + 5}{19^{31} + 5}$ và $N = \frac{19^{31} + 5}{19^{32} + 5}$ .

Xem đáp án

$M = \frac{19^{30} + 5}{19^{31} + 5}$ nên $19 M = \frac{19. (19^{30} + 5)}{19^{31} + 5} = \frac{19^{31} + 95}{19^{31} + 5} = 1 + \frac{90}{19^{31} + 5}$

$N = \frac{19^{31} + 5}{19^{32} + 5}$ nên $19 N = \frac{19 (19^{31} + 5)}{19^{32} + 5} = \frac{19^{32} + 95}{19^{32} + 5} = 1 + \frac{90}{19^{32} + 5}$

Vì $\frac{90}{19^{31} + 5} > \frac{90}{19^{32} + 5}$

$1 + \frac{90}{19 {}^{31}+ 5} > 1 + \frac{90}{19^{32} + 5}$ hay 19M > 19N $\Rightarrow M > N$

Câu 29:

So sánh

\frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + \frac{1}{103^{2}} + \frac{1}{104^{2}} + \frac{1}{105^{2}}

và

\frac{1}{2^{2} {.3.5}^{2} .7}

.

Xem đáp án

Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:

\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n - 1)}{(n - 1) . n} = \frac{n - n + 1}{(n - 1) . n} = \frac{1}{(n - 1) n} > \frac{1}{n^{2}}

$\Rightarrow \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Áp dụng vào bài toán ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{101^{2}} < \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \\ \frac{1}{102^{2}} < \frac{1}{101} - \frac{1}{102} \\ ............................. \\ \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{104} - \frac{1}{103} \\ \Rightarrow \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + ... + \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{100} - \frac{1}{105} \end{array}$

$= \frac{105 - 100}{100.105} = \frac{5}{2^{2} {.5}^{2} .5.3.7} = \frac{1}{2^{2} {.5}^{2} .3.7}$

Vậy $\frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}} + ... + \frac{1}{105^{2}} < \frac{1}{2^{2} {.5}^{2} .3.7}$

Câu 30:

So sánh $A = (\frac{1}{2^{2}} - 1) . (\frac{1}{3^{2}} - 1) . (\frac{1}{4^{2}} - 1) ....... (\frac{1}{100^{2}} - 1)$ và $- \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

A là tích của 99 số âm. Do đó:

- A = (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) (1 - \frac{1}{16}) ..... (1 - \frac{1}{100^{2}})

\begin{array}{l} = \frac{3}{2^{2}} . \frac{8}{3^{2}} . \frac{15}{4^{2}} ..... \frac{9999}{100^{2}} \\ = \frac{1.3}{2^{2}} . \frac{2.4}{3^{2}} . \frac{3.5}{4^{2}} ..... \frac{99.101}{100^{2}} \end{array}

Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:

- A = \frac{1.2.3.4.5.6.....98.99}{2.3.4.5.....99.100} . \frac{3.4.5.....100.101}{2.3.4.....99.100} = \frac{1}{100} . \frac{101}{2} = \frac{101}{200} > \frac{1}{2}

Vậy A < $- \frac{1}{2}$

Câu 31:

Tìm các số tự nhiên n sao cho: $3 < 3^{n} \leq 234$

Xem đáp án

$3 < 3^{n} \leq 234 \Rightarrow 3^{1} < 3^{n} \leq 3^{5} \Rightarrow 1 < n \leq 5$

$\Rightarrow$ n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.

Câu 32:

Tìm các số tự nhiên n sao cho: $8.16 \geq 2^{n} \geq 4$

Xem đáp án

8.16 \geq 2^{n} \geq 4 \Rightarrow 2^{3} {.2}^{4} \geq 2^{n} \geq 2^{2} \Rightarrow 2^{7} \geq 2^{n} \geq 2^{2} \Rightarrow 7 \geq n \geq 2

$\Rightarrow n$ nhận các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7

Câu 33:

Tìm số tự nhiên n biết rằng: $4^{15} . 9^{15} < 2^{n} . 3^{n} < 18^{16} . 2^{16}$ .

Xem đáp án

Ta có: $4^{15} {.9}^{15} < 2^{n} {.3}^{n} < 18^{16} {.2}^{16} \Rightarrow {(4.9)}^{15} < {(2.3)}^{n} < {(18.2)}^{16}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 36^{15} < 6^{n} < 36^{16} \\ 6^{n} < \\ \Rightarrow 6^{30} < 6^{n} < 6^{32} \\ \Rightarrow 30 < n < 32 \\ \Rightarrow n = 31 \end{array}$

Câu 34:

Cho $A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots . + 3^{100}$ . Tìm số tự nhiên n, biết $2 A + 3 = 3^{n}$ .

Xem đáp án

Có $A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{100}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 A = 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ... + 3^{101} \\ \Rightarrow 3 A - A = 2 A = 3^{101} - 3 \\ \Rightarrow 2 A + 3 = 3^{101} \end{array}$

Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3ⁿ

$\Rightarrow 3^{101} = 3^{n} \Rightarrow n = 101$

Câu 35:

Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: $2^{m} - 2^{n} = 256$ .

Xem đáp án

Ta có: $2^{m} - 2^{n} = 256 = 2^{8} \Rightarrow 2^{n} (2^{m - n} - 1) = 2^{8}$ (1)

Dễ thấy $m \neq n$ , ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:

2ⁿ.(2 – 1) = 2⁸ => 2ⁿ = 2⁸ => n = 8 và m = 9

Trường hợp 2: Nếu m – n $\geq 2$

$\Rightarrow 2^{m - n} - 1$ là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.

Vậy $n = 8$ và $m = 9$ là đáp số duy nhất.

Câu 36:

Tìm số nguyên dương n biết: $64 < 2^{n} < 256$

Xem đáp án

Ta có: 64 < 2ⁿ < 256 $\Rightarrow 2^{6} < 2^{n} < 2^{8} \Rightarrow 6 < n < 8$ mà n nguyên dương nên $n = 7$ .