19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 7: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác cân tại A. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.

Xem đáp án

Cho tam giác cân tại A. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D. (ảnh 1)

* Tìm cách giải. Để chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, chúng ta cần chứng minh $\hat{B A D} = \hat{C A D}$ . Do đó hiển nhiên cần chứng minh $Δ B A D = Δ C A D$

* Trình bày lời giải.

Xét $Δ B A D$ và $Δ C A D$ có: $\hat{A B D} = \hat{A C D} (= 90 °)$ ; AD là cạnh chung; $A B = A C$ ( $Δ A B C$ cân tại A).

Do đó $Δ B A D = Δ C A D$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \hat{B A D} = \hat{C A D}$ (cặp góc tương ứng).

Vậy AD là tia phân giác góc BAC.

* Nhận xét. Chúng ta còn có DA là tia phân giác của góc BDC, tam giác DBC cân tại D.

AD vuông góc với BC.

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA=BE. Kẻ

E K ⊥ A C (K \in A C)

. Chứng minh rằng

A K = A H .

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Để chứng minh AK= AH, chúng ta cần ghép chúng vào hai tam giác và chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Do vậy cần chứng minh

Δ A E H = Δ A E K

.
* Trình bày lời giải.

Δ A B E

cân tại B nên

\hat{B A E} = \hat{B E A}, E K / / A B

(vì cùng vuông góc với AC)

\Rightarrow \hat{E A B} = \hat{A E K}

(slt)

\Rightarrow \hat{A E H} = \hat{A E K}

.

\Rightarrow Δ A E H = Δ A E K

(ch- gn )

\Rightarrow A K = A H

Câu 3:

Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC.

a) Chứng minh PB = PC và BH = CK.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. (ảnh 1)

a) $Δ P M B$ và $Δ P M C$ có

$\hat{P M B} = \hat{P M C} (= 90 °), M B = M C$ , MP là cạnh chung

$\Rightarrow Δ P M B = Δ P M C (c . g . c) \Rightarrow P B = P C$ (hai cạnh tương ứng)

Câu 4:

b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.

Xem đáp án

b) $Δ P H A$ và $Δ P K A$ có $\hat{P H A} = \hat{P K A} (= 90 °), \hat{P A H} = \hat{P A K}$ , AP là cạnh chung

$\Rightarrow Δ P H A = Δ P K A$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow P H = P K$ (hai cạnh tương ứng)

$Δ P H B$ và $Δ P K C$ có $\hat{P H B} = \hat{P K C} = 90 °, P B = P C, P H = P K$

$\Rightarrow Δ P H B = Δ P K C$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow B H = C K$ (hai cạnh tương ứng)

Câu 5:

c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.

Chứng minh $O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = P A^{2}$

Xem đáp án

c) $Δ A O H$ và $Δ A O K$ có $A H = A K, \hat{O A H} = \hat{O A K}, A O$ là cạnh chung

$\Rightarrow Δ A O H = Δ A O K$ , suy ra $\hat{A O H} = \hat{A O K}$ , mà hai góc này kề bù nên

$\hat{A O H} = \hat{A O K} = 90 ° \Rightarrow P A ⊥ H K$ tại O.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có:

$O A^{2} + O H^{2} = A H^{2}; O A^{2} + O K^{2} = A K^{2}$

$O P^{2} + O H^{2} = P H^{2}; O P^{2} + O K^{2} = P K^{2}$

$\Rightarrow 2 (O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2}) = 2 (A H^{2} + P H^{2})$ (vì $A H = A K$ và $P H = P K$ )

$\Rightarrow O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = A H^{2} + P H^{2}$

Mà tam giác PAH vuông tại H $\Rightarrow A H^{2} + P H^{2} = P A^{2}$ (định lý Py-ta-go)

$\Rightarrow O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = P A^{2}$

Câu 6:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E) sao choBD=CE. Vẽ $D M ⊥ A B$ tại M, $E N ⊥ A C$ tại N. Gọi K là giao điểm của MD và NE. Chứng minh rằng:

a, $Δ M B D = Δ N C E;$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

a) Xét $Δ M B D$ và $Δ N C E$ có: $\hat{B M D} = \hat{C N E} (= 90 °)$ ;

$\hat{B} = \hat{C}; B D = C E$ . Do đó $Δ M B D = Δ N C E$

(cạnh huyền – góc nhọn)

\Rightarrow M B = N C

.

Câu 7:

b, Chứng minh rằng: $Δ M A K = Δ N A K$

Xem đáp án

b) $Δ M B D = Δ N C E$ (chứng minh trên) $\Rightarrow M B = N C$

$A M + M B = A N + N C$ nên $A M = A N$

Xét $Δ M A K$ và $Δ N A K$ có: $\hat{A M K} = \hat{A N K} (= 90 °)$ ;

AK là cạnh chung; AM = AN.

Do đó $Δ M A K = Δ N A K$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Câu 8:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Kẻ $B H ⊥ A D$ tại H, kẻ $C K ⊥ A E$ tại K.

Chứng minh rằng: a, $Δ B H D = Δ C K E;$

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho (ảnh 1)

Ta có $\hat{A B D} + \hat{A B C} = 180 °; \hat{A C E} + \hat{A C B} = 180 °$ mà

$\hat{A B C} = \hat{A C B} \Rightarrow \hat{A C E} = \hat{A B D}$

$Δ A B D$ và $Δ A C E$ có $A B = A C; \hat{A B D} = \hat{A C E}; B D = C E$

$\Rightarrow Δ A B D = Δ A C E$ (c.g.c) $\Rightarrow \hat{A D B} = \hat{A E C}$

$Δ B H D$ và $Δ C K E$ có $\hat{B H D} = \hat{C K E} (= 90 °); \hat{H D B} = \hat{K E C}$ ;

$B D = C E \Rightarrow Δ B H D = Δ C K E$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Câu 9:

b, Chứng minh rằng : $\Rightarrow Δ A H B = Δ A K C$

Xem đáp án

b) Ta có $Δ A H B$ và $Δ A K C$ có $\hat{A H B} = \hat{A K C} (= 90 °)$ ;

$A B = A C; B H = C K (Δ B H D = Δ C K E)$

$\Rightarrow Δ A H B = Δ A K C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Câu 10:

c, Chứng minh rằng: $B C / / H K$

Xem đáp án

c) $Δ A H B = Δ A K C \Rightarrow A H = A K$

$\Rightarrow Δ A H K$ cân tại A $\Rightarrow \hat{A H K} = \frac{180 ° - \hat{H A K}}{2}$

$Δ A D E$ cân tại A $\Rightarrow \hat{A D E} = \frac{180 ° - \hat{D A E}}{2}$

$\Rightarrow \hat{A H K} = \hat{A D E} \Rightarrow H K / / D E$ . Vậy BC // HK.

Câu 11:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng: a, $M H = M K;$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC. (ảnh 1)

a) $Δ A H M$ và $Δ A K M$ có: $\hat{A H M} = \hat{A K M} = 90 °$ ;

AM chung; $\hat{H A M} = \hat{K A M}$

$\Rightarrow Δ A H M = Δ A K M$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow M H = M K$ .

Câu 12:

b, Chứng minh rằng: $Δ A B C$ cân tại A

Xem đáp án

b) $Δ B H M$ và $Δ C K M$ có $\hat{B H M} = \hat{C K M} (= 90 °)$ ;

$B M = M C; M H = M K$

$\Rightarrow Δ B H M = Δ C K M$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} \Rightarrow Δ A B C$ cân tại A.

Câu 13:

Cho tam giác ABC vuông tại A có

\hat{C} = 30 °,

đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho. Từ C kẻ

C E ⊥ A D

. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABD là tam giác đều.

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30 độ đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho (ảnh 1)

$Δ A H B = Δ A H D$ (c.g.c), suy ra AB = AD.

$Δ A B C$ vuông tại A, có $\hat{C} = 30 °$ nên $\hat{B} = 60 °$ .

Tam giác ABD cân, có $\hat{B} = 60 °$ nên $∆ A B D$ là tam giác đều.

Câu 14:

b, Chứng minh rằng EH song song với AC.

Xem đáp án

b) $\hat{E A C} = \hat{B A C} - \hat{B A E} = 90 ° - 60 ° = 30 °$

$\Rightarrow \hat{E A C} = \hat{A C B}$

$\Rightarrow Δ A H C = Δ C E A$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra CH = AE.

$Δ A D C$ cân tại vì $\hat{D A C} = \hat{D C A}$ nên DA = DC.

Suy ra $A E - A D = C H - C D$ hay $D E = D H$ . Do đó $Δ D E H$ cân tại D, hai tam giác cân DAC và DEH có góc ở đỉnh $\hat{A D C} = \hat{E H D} \Rightarrow \hat{E A C} = \hat{A E H}$

$\Rightarrow E H / / A C$ .

Câu 15:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD= BA . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng: $A E = D E$ .

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. (ảnh 1)

$Δ A B E$ và $Δ D B E$ có:

$\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ (Vì $A E ⊥ A B, A D ⊥ B C$ )

AB=AD (giả thiết), BE: cạnh chung

Vậy $Δ A B E = Δ D B E$ (ch-cgv)

$\Rightarrow A E = D E$ .

Câu 16:

b) Đường phân giác góc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K. Tính

\hat{B A K}

Xem đáp án

b) Từ câu a) suy ra $\hat{A B E} = \hat{D B E}$ , do đó BK là phân giác của góc ABC.

Vẽ $K N ⊥ B A, K H ⊥ A C, K M ⊥ B C$ .

Tam giác vuông KMC và tam giác vuông KHC có: $\hat{C_{2}} = \hat{C_{1}}$ (giả thiết); CK cạnh chung.

Do đó $Δ K M C = Δ K H C$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $K M = K H$ (1)

Ta lại có $Δ K M B = Δ K N B$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $K M = K N$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $K M = K N$

Tam giác vuông AKH và tam giác vuông AKN có $K H = K N; A K$ cạnh chung.

Do đó

Δ A K H = Δ A K N

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = 45 ° \Rightarrow \hat{B A K} = 135 °

Câu 17:

Cho tam giác ABC có $A B = A C; \hat{B A C} = 90 °$ và M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. Kẻ BK vuông góc với đường thẳng AD tại K.

Chứng minh rằng KM là tia phân giác của $\hat{B K D}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn

Cho tam giác ABC có AB= AC, góc BAC= 90 độ và M là trung điểm của BC. (ảnh 1)

Kẻ $M H ⊥ B K, M I ⊥ K D$ $Δ A B C$ vuông cân tại A có MB= MC nên dễ dàng suy ra $Δ A M B = Δ A M C$ (c.c.c), từ đó suy ra $A M ⊥ B C, \hat{B M A} = \hat{C A M}$

$\Rightarrow A M = M B; \hat{M A C} = 45 °$

Ta có: $\hat{K B A} = \hat{C A D} (= 90 ° - \hat{B A K}) \Rightarrow \hat{K B C} = \hat{M A I}$

$Δ B M H$ và $Δ A M I$ có

$\hat{A I M} = \hat{B H M} = 90 °; B M = A M$ , $\hat{M B H} = \hat{M A I}$

$\Rightarrow \hat{M B H} = \hat{M A I}$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow M H = M I$ .

$Δ M H K$ và $Δ M I K$ có $\hat{M H K} = \hat{M I K} = 90 °$ , MK chung; MH = MI

$\Rightarrow Δ M H K = Δ M I K$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow \hat{H K M} = \hat{I K M}$

Vậy KM là tia phân giác $\hat{B K D}$

Câu 18:

Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Kẻ $N H ⊥ C M$ tại H, kẻ $H E ⊥ A B$ tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABH cân

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. (ảnh 1)

Từ A kẻ $A K ⊥ M C$ tại K và $A Q ⊥ H N$ tại Q.

Hai tam giác vuông MAK và NCH có

$M A = N C (= \frac{1}{2} A B), \hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ (cùng phụ với góc AMC)

$\Rightarrow Δ M A K = Δ N C H \Rightarrow A K = H C$ (1)

$Δ B A K$ và $Δ A C H$ có AK = CH, $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ , AB = CA

$\Rightarrow Δ B A K = Δ A C H (c . g . c) \Rightarrow \hat{B K A} = \hat{A H C}$

$Δ A Q N$ và $Δ C H N$ có AN = NC,

$\hat{A N Q} = \hat{C N H} \Rightarrow Δ A N Q = Δ C N H (c h - g n) \Rightarrow A Q = C H$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: AK = AQ.

$Δ A K H$ và $Δ A Q H$ có $\hat{A K H} = \hat{A Q H} = 90 °, A K = A Q, A H$ chung

$\Rightarrow Δ A K H = Δ A Q H (c h - c g v) \hat{K H A} = \hat{Q H A} \Rightarrow H A$ là tia phân giác của góc KHQ

$\Rightarrow \hat{A H Q} = 45 ° \Rightarrow \hat{A H C} = 135 ° \Rightarrow \hat{B K A} = 135 °$

Từ $\hat{B K A} + \hat{B K H} + \hat{A K H} = 360 ° \Rightarrow \hat{B K H} = 135 °$

Tam giác AKH có $\hat{K H A} = 45 °$ nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH.

$\Rightarrow Δ B K A = Δ B K H (c . g . c) \Rightarrow B A = B H$ hay $Δ A B H$ cân tại B.

Câu 19:

b) HM là tia phân giác góc BHE.

Xem đáp án

b) Dễ chứng minh được $Δ A K B$ và $Δ H K B (c . c . c) \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{H_{1}}$

Mà $H E / / C A \Rightarrow \hat{H_{2}} = \hat{C_{1}}$ (góc đồng vị) vì $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}} \Rightarrow \hat{H_{1}} = \hat{H_{2}}$ .

Hay HM là tia phân giác góc BHE.