30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là 3 điểm lấy trên AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) là:

A. Một tam giác

B. Tứ giác

C. Ngũ giác

D. Lục giác

Xem đáp án

Đáp án C.

Trong (ABCD) gọi

Trong (SBC) gọi:

Trong (SBD) gọi: Q = IJ $\cap$ SB

Trong (SBC) gọi: R = KQ $\cap$ SA

Suy ra, thiết diện là ngũ giác MNPQR.

Câu 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm của AB. Kí hiệu d(AA',BC) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC thì:

A. d(AA',BC) = AB

B. d(AA',BC) = IC

C. d(AA',BC) = A'B

D. d(AA',BC) = AC

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi M là trung điểm của BC (ABC là tam giác đều)

(tam giác ABC đều)

(AM: gọi là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau AA', BC).

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn $\overset{⇀}{G A} + \overset{⇀}{G B} + \overset{⇀}{G C} + \overset{⇀}{G D} = \overset{⇀}{0}$ (G gọi là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{A} = G A \cap (B C D)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\overset{⇀}{G A} = - 3 \overset{⇀}{G_{A} G}$

B. $\overset{⇀}{G A} = 4 \overset{⇀}{G_{A} G}$

C. $\overset{⇀}{G A} = 3 \overset{⇀}{G_{A} G}$

D. $\overset{⇀}{G A} = 2 \overset{⇀}{G_{A} G}$

Xem đáp án

Đáp án C.

+ Gọi $G_{0}$ là trọng tâm tam giác BCD=> $\overset{⇀}{G B} + \overset{⇀}{G C} + \overset{⇀}{G D} = 3 \overset{⇀}{G G_{0}}$

=> $\overset{⇀}{G A} + \overset{⇀}{G B} + \overset{⇀}{G C} + \overset{⇀}{G D} = \overset{⇀}{0}$

=> A, G, $G_{0}$ thẳng hàng $\Rightarrow G_{0} = G_{A}$

+ Có A, G, $G_{A}$ thẳng hàng mà

Câu 4:

Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Xét các mệnh đề sau:

I. H là trực tâm của $∆$ ABC.

II. H là trọng tâm của $∆$ ABC.

III. $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

Số mệnh đề đúng là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ (1) và (2) suy ra

=> AH là đường cao trong tam giác BCD

Tương tự suy ra, CH là đường cao trong tam giác BCD => H là trực tâm => I đúng => II sai

+ Gọi

=> $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ => $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A'^{2}} + \frac{1}{O A^{2}}$ = $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

=> III đúng

Câu 5:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại B. BC = a, $\hat{A B C}$ = $60^{0}$ , CC' = 4a. Tính thể tích khối A'CC'B'B.

A. $a = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a = a^{3} \sqrt{3}$

D. $a = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A.

$∆$ ABC cân có: $\hat{A B C}$ = $60^{0}$ => $∆$ ABC đều cạnh a

Câu 6:

Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng và khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là 147 m, cạnh đáy là 230 m. Thể tích của nó là:

A. 2592100 m³

B. 2952100 m³

C. 2529100 m³

D. 2591200 m³

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

= 2592100 m³

Câu 7:

Hình tứ diện có số mặt đối xứng là:

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C.

Mặt phẳng qua 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều => Có 6 mặt như vậy.

Câu 8:

Một khối trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R thì thể tích của khối trụ là:

A. $2 {πR}^{3}$

B. $\frac{{πR}^{3} \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{{πR}^{3} \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{2 {πR}^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi h là chiều cao của khối trụ, r là bán kính

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a, $∆ S A D$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. $\frac{16 π}{3} a^{2}$

B. $\frac{57 π}{18} a^{2}$

C. $\frac{48 π}{9} a^{2}$

D. $\frac{24 π}{9} a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi: H là trung điểm AD.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm $∆$ SAD

Đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABCD) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy (ABCd).

$∆$ qua G và vuông góc với (SAD) là trục của đường tròn ngoại tiếp (SAD).

Trong mặt phẳng (SHI), gọi I = $∆$ $\cap$ d

=> J cách đều các đỉnh của hình chóp

=> J là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

R = JD =

Có

Câu 10:

Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng 6. Tính thể tích của tứ diện ABCD

A. $V = 27 \sqrt{3}$

B. $V = 5 \sqrt{3}$

C. $V = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

D. $V = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (BCD). Do ABCD là tứ diện đều nên tâm H là tâm đường trong ngoại tiếp $∆$ BCD.

Đặt cạnh của tứ diện là a. Gọi M là trung điểm của CD.

Do $∆$ BCD đều nên

Ta có $∆$ ABH vuông tại H nên

Từ giả thiết ta có

Vậy thể tích của tứ diện ABCD là

Câu 11:

Thể tích khối cầu tâm I, có bán kính 2R bằng

A. $V = \frac{4}{3} {πR}^{3}$

B. $V = \frac{1}{3} {πR}^{3}$

C. $V = \frac{32}{3} {πR}^{3}$

D. $V = \frac{8}{3} {πR}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối cầu là

Câu 12:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có $\hat{B A C} = 75^{0}, \hat{A C B} = 60^{0}$ . Kẻ BH $⊥$ AC. Quay quanh AC thì $∆$ BHC tạo thành hình nón tròn xoay (N). Tính diện tích xung quanh của hình nón xoay (N) theo R.

A. $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} {πR}^{2}$

B. $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{2} {πR}^{2}$

C. $\frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{2})}{4} {πR}^{2}$

D. $\frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4} {πR}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng định lý hàm số sin, ta có

Lai có:

Khi quay $∆$ ABC quanh AC thì $∆$ BHC tạo thành hình nón tròn xoay (N) có đường sinh

bán kính đáy

Diện tích xung quanh hình nón (N) là:

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA = SB = SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $45^{0}$ . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $a \sqrt{2}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do SA = SB = SC nên IA = IB = IC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ ABC . Mà $∆$ ABC vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và IA = IB = IC = BC/2 = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên

Do $∆$ SIA vuông tại I nên vuông cân tại I, khi đó :

Câu 14:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

A. $\frac{4 a}{3}$

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{3 a}{4}$

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được AA'//(BCC'B')

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A'G $⊥$ (ABC)

Ta có

Lại có

Ta luôn có

Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có .

Mà MM'//BB' nên BC $⊥$ BB' => BCC'B' là hình chữ nhật

Từ:

Câu 15:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A'C = a. Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng (A'CB) và (ABC) để thể tích khối chóp A'.ABC lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp A'.ABC theo a

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{81}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

Suy ra

$∆$ A'AC vuông tại B nên

Suy ra:

Xét hàm số

Ta có

Lập bảng biến thiên, suy ra

Câu 16:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và I' lần lượt là tâm của ABB'A' và DCC'D'. Mệnh đề nào sau đây là sai?

$A . \overset{⇀}{I I'} = \overset{⇀}{A D}$

B. II'//(ADD'A')

C. II' và BB' cùng nằm trong một mặt phẳng

D. II' và DC không có điểm chung

Xem đáp án

Đáp án C.

+ ADC'B' là hình bình hành.

+ II'//AD => II'//(ADD'A') và $\overset{⇀}{I I'} = \overset{⇀}{A D}$ nên đáp án A, B là đúng.

+ II'//(ABCD) nên II' và DC không có điểm chung nên đáp án D đúng.

+ (ABB'A') // (BCC'B') = BB' và tức là II' và BB' không cùng thuộc một mặt phẳng nên đáp án C sai.

Câu 17:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C).

A. 60°

B. 135°

C. 150°

D. 90°

Xem đáp án

Đáp án A.

Vẽ DH $⊥$ A'C

Ta có:

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C) là góc $\hat{B H D}$

Trong $∆$ A'DC vuông tại D

Trong $∆$ HBD có

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C) là góc 60°.

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 3HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

$A . \frac{a \sqrt{61}}{4}$

$B . \frac{4 a \sqrt{17}}{3}$

$C . \frac{a \sqrt{35}}{51}$

$D . \frac{4 a \sqrt{351}}{3 \sqrt{61}}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI $⊥$ Ax; HK $⊥$ SI.

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI $⊥$ (SHI)=> AI $⊥$ HK=> HK $⊥$ (SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc $\hat{S C H} = 60^{0}$

Ta có:

Câu 19:

Cắt khối nón bởi mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC đều cạnh a. Biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là

$A . \frac{3 a^{3} π \sqrt{3}}{4}$

$B . \frac{a^{3} π \sqrt{3}}{12}$

$C . \frac{a^{3} π \sqrt{3}}{24}$

$A . \frac{a^{3} 2 \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có bán kính đáy khối nón là $\frac{a}{2}$ , chiều cao của khối nón là $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy:

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh là a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vơi đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

$A . \frac{\sqrt{15} {πa}^{3}}{9}$

$B . \frac{5 \sqrt{15} {πa}^{3}}{54}$

$C . \frac{5 \sqrt{15} {πa}^{3}}{18}$

$D . \frac{4 \sqrt{3} {πa}^{3}}{27}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm SC.

Ta có:

SH = SC => HK là trung trực SC. Qua O kẻ trục d//SH => d $⊥$ (ABC)

Gọi

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Ta có

Xét $∆$ HIG vuông tại G:

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 21:

Một phễu đựng kem hình nón bằng bạc có thể tích $12 π$ (cm³) và chiều cao là 4 cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần nhưng chiều cao không thay đổi thì diện tích miếng giấy bạc cần thêm là

$A . (12 \sqrt{13} - 15) π ({cm}^{2})$

$B . 12 π \sqrt{13} ({cm}^{2})$

$C . \frac{12 \sqrt{13}}{15} ({cm}^{2})$

$D . (12 \sqrt{13} + 15) π ({cm}^{2})$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi $R_{1}, h_{1}$ lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón lúc đầu; $R_{2}, h_{2}$ lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.

Diện tích xung quanh của hình nón lúc đầu:

Diện tích xung quanh hình nón khi tăng thể tích:

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm: $S = (12 \sqrt{13} - 15) π ({cm}^{2})$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SC = $a \sqrt{5}$ . Tính thể tích khối chóp.

$A . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$B . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

$C . V = a^{3} \sqrt{3}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: (chiều cao của hình chóp)

Diện tích hình vuông

Thể tích khối chóp SABCD là:

Câu 23:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh là 1. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{\sqrt{3}}{4}$ , tính thể tích V của khối lăng trụ.

$A . V = \frac{\sqrt{3}}{36}$

$B . V = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$C . V = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$D . V = \frac{\sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm BC, dựng

$∆$ AA'G vuông tại G, GH là đường cao => A'G = $\frac{1}{3}$

Vậy

Câu 24:

Cho một chiếc cốc thủy tinh có hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 5 cm. Người ta đặt cái cốc vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cái cốc vừa khít trong hộp. Tính thể tích chiếc hộp đó.

$A . 500 \sqrt{3}$ cm³

$B . 1000 \sqrt{3}$ cm³

$C . 750 \sqrt{3}$ cm³

$D . 100 \sqrt{3}$ cm³

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: AB = 2MN = 10 cm

Câu 25:

Cho mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R. Diện tích mặt cầu (S) được cho bởi công thức nào trong các công thức dưới đây?

$A . 4 {πR}^{2}$

$B . 4 R^{2}$

$C . \frac{4}{3} {πR}^{2}$

$D . {πR}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 26:

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2a và BC = 2a. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta thu được khối nón có thể tích bằng

$A . {πa}^{3}$

$B . 3 π a^{3}$

$C . \frac{\sqrt{3}}{3} {πa}^{3}$

$D . \frac{2}{3} {πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có chiều cao của khối nón bán kính hình tròn đáy lần lượt là

h = AB = a và r = AC =

Suy ra thể tích của khối nón là

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS thiếu $\frac{1}{3}$ trong công thức tính thể tích.

Phương án C: Sai do HS xác định h = a $\sqrt{3}$ và bán kính đáy r = a nên

Phương án D: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

$A . G (\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; a)$

$B . G (a; a; 3 a)$

$C . G (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{3 a}{2})$

$D . G (\frac{a}{3}; a; \frac{a}{3})$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 28:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng AC’ với mặt phẳng (ABCd). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

$A . \frac{2 π}{9} \leq α \leq \frac{π}{4}$

$B . \frac{π}{4} < α < \frac{π}{3}$

$C . \frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{9}$

$D . \frac{π}{9} \leq α \leq \frac{π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của A'C trên mặt phẳng (ABCD).

Lại do CC' $⊥$ (ABCD) nên tam giác C'AC vuông tại C

Suy ra

Ta có

Phân tích phương án nhiễu

Phương án A: Sai do HS tính được $\tan α \frac{\sqrt{2}}{2}$ và cho rằng $α = \frac{π}{4}$

Phương án B: Sai do HS tính sai $\tan α = \frac{A C}{A C'} = \sqrt{2}$ nên suy ra

Phương án D: Sai do HS tính sai $\tan α = \frac{C C'}{A C'} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nên suy ra $α = \frac{π}{6}$

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AB = a, AC = a $\sqrt{3}$ và $\hat{S B A} = 60^{0}$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối SABH và HABC.

$A . \frac{3}{4}$

$B . \frac{1}{12}$

$C . \frac{3}{2}$

$D . \frac{7}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên

Do đó

Mặt khác

Suy ra

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS tính sai

Do đó tính được

Phương án C: Sai do HS tính được nên:

Phương án D: Sai do HS nhầm với tỷ số thể tích của hai khối SABC và HABC

Câu 30:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có góc giữa đường thẳng A'B với mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0}$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) bằng $\frac{a \sqrt{5}}{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.