30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P4)

Câu 1:

Cho các mệnh đề sau:

(I) 3 vecto gọi là đồng phẳng khi và chỉ khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

(II) 3 vecto gọi là đồng phẳng khi và chỉ khi chúng có giá song song với một mặt phẳng.

(III) 3 vecto $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng nếu tồn tại duy nhất bộ số (m,n) sao cho $\overset{⇀}{a} = m \overset{⇀}{b} + n \overset{⇀}{c}$ .

Số mệnh đề đúng là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C.

Mệnh đề 1 sai.

Câu 2:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' = 2a, AB = AC = a, góc $\hat{B A C} = 120^{0}$ . Gọi M là trung điểm của BB' thì cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AC'M) là:

$A . \frac{\sqrt{3}}{31}$

$B . \frac{\sqrt{5}}{5}$

$C . \frac{\sqrt{3}}{15}$

$D . \frac{\sqrt{93}}{31}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Nhận thấy $∆$ ABC là hình chiếu của $∆$ AMC' lên mặt phẳng (ABC).

Gọi $φ$ là góc giữa (AMC') và (ABC)

Ta có

=> C'M = 2a

Câu 3:

Cho khối trụ (T), AB và CD lần lượt là hai đường kính trên hai mặt đáy của (T). Biết góc giữa AB và CD là 30°, AB = 6 và thể tích khối ABCD là 30. Khi đó thể tích khối trụ (T) là:

$A . \frac{90 π \sqrt{3}}{270} c m^{3}$

$B . 30 π c m^{3}$

$C . 90 π c m^{3}$

$D . 45 π c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, $∆$ SAB vuông cân tại S, $∆$ SCD đều thì thể tích khối S.ABCD là:

$A . \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$B . \frac{4 a^{3}}{3}$

$C . 2 a^{3} \sqrt{3}$

$D . \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Gọi H là hình chiếu của S lên MN => SH $⊥$ (ABCD)

Ta có

Mà

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:

$A . \frac{3 a}{2}$

$B . a \sqrt{3}$

$C . \frac{\sqrt{93}}{6} a$

$D . \frac{31}{12} a$

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi H là trung điểm của AD

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ =>

Trung điểm MN là có

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABCD)

=> d có vecto chỉ phương

$∆$ NCM vuông tại C => I là tâm đường tròn ngoại tiếp

=> d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

=> Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua và là vecto chỉ phương

=> Bán kính

Câu 6:

Cho tứ diện ABCD, có bao nhiêu mặt phẳng qua AB và cách đều CD?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án C.

Mặt phẳng qua AB và song song với CD => cách đều CD

Mặt phẳng qua AB và trung điểm của CD => cách đều CD

Câu 7:

Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh lần lượt là 2, 3, 4. Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

A. 12.

B. 24.

C. 8.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích của hình hộp chữ nhật đó là: V = 2.3.4 = 24

Câu 8:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = $a \sqrt{3}$ . Thể tích V của khối chóp S.ABC là:

$A . \frac{3}{8} a^{3}$

$B . \frac{1}{4} a^{3}$

$C . \frac{3}{2} a^{3}$

$D . \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Diện tích đáy

Câu 9:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng $60^{0}$ , cạnh AB = a. Thể tích V của khối lăng trụ đó là:

$A . \frac{3 \sqrt{3}}{8} a^{3}$

$B . \sqrt{3} a^{3}$

$C . \frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

$D . \frac{3}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M là trung điểm BC. Ta có $\hat{A' M A} = 60^{0}$

AM là trung tuyến trong tam giác đều cạnh a nên AM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp đó bằng:

$A . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Vậy SB là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SAB)

Câu 11:

Khối trụ tròn xoay có đường cao với bán kính đáy bằng a thì thể tích bằng:

$A . a^{3}$

$B . π a^{3}$

$C . \sqrt{3} a^{3}$

$D . \frac{1}{3} π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 12:

Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10. Biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng $80 π$ , thể tích của khối trụ là:

A. 160 $π$

B. 164 $π$

C. 64 $π$

D. 144 $π$

Xem đáp án

Đáp án A

Từ công thức

Câu 13:

Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là:

$A . \frac{1}{3} {πR}^{3}$

$B . \frac{4}{3} {πR}^{3}$

$C . \frac{4 \sqrt{2}}{9} {πR}^{3}$

$D . \frac{32}{81} {πR}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng đáy của hình nón là x, 0 < x < R

Ta có chiều cao của hình nón h $\leq$ R + x. Do vậy:

$V_{n ó n}$ =

Đặt

f'(x) =

$V_{n ó n}$ = $\frac{32}{81} {πR}^{3}$

Câu 14:

Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC(M $\in$ AB, N $\in$ AC, P,Q $\in$ BC) . Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là:

$A . \frac{810 - 467 \sqrt{3}}{24} π$

$B . \frac{4 \sqrt{3} - 3}{96} π$

$C . \frac{4 \sqrt{3} - 3}{96}$

$D . \frac{54 - 31 \sqrt{3}}{12} π$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi cạnh hình vuông là x. Ta có

Gọi $V_{1}$ là thể tích hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục trung tuyến AI , $V_{2}$ là thể tích hình trụ khi quay hình vuông MNPQ quanh trục AI thì

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm của tam giác ABD, M là điểm trên cạnh BC sao cho . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. MG cắt CD.

B. MG//CD.

C. MG//(ACD)

D. MG cắt BD.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi P là trung điểm của AD

=> MG // CP => MG // (ACD)

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a $\sqrt{3}$ và $\hat{S B C} = 30^{0}$ . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

$A . \frac{3 a}{5}$

$B . \frac{a}{\sqrt{7}}$

$C . \frac{6 a}{\sqrt{7}}$

$D . \frac{3 a}{\sqrt{7}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựng

=> d(B;(SAC))

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng .

A. arcsin $\frac{1}{4}$

B. arcsin $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. arcsin $\frac{1}{3}$

D. arcsin $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu của C trên SO(O = AC $\cap$ BD), vì góc SOC tù nên H nằm ngoài SO

=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là $\hat{C S O}$

Ta có

Câu 18:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, $\hat{A B C} = α$ , BC' tạo với (ABC) góc $β$ . Gọi I là trung điểm AA', biết $\hat{B I C} = 90^{0}$ . Tính $\tan^{2} α + \tan^{2} β$

$A . \frac{1}{2}$

$B . 2$

$C . \sqrt{3}$

$D . 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Gọi H là trung điểm của BC.

$∆$ AHB vuông tại H

Mà $∆$ BIC vuông tại I

Thay vào (*) ta có: $\tan^{2} α + \tan^{2} β$ = 1

Câu 19:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, $\hat{A B C} = α$ , BC' tạo với (ABC) góc $β$ . Gọi I là trung điểm AA', biết $\hat{B I C} = 90^{0}$ . Tính $\tan^{2} α + \tan^{2} β$

$A . \frac{1}{2}$

$B . 2$

$C . \sqrt{3}$

$D . 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Gọi H là trung điểm của BC.

$∆$ AHB vuông tại H

Mà $∆$ BIC vuông tại I

Thay vào (*) ta có: $\tan^{2} α + \tan^{2} β$ = 1

Câu 20:

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của A’B’. Điểm N thay đổi trên đoạn BB’. Gọi P là trung điểm của C'N, B'P $\cap$ CC' = Q. Khi đó MP luôn thuộc mặt phẳng cố định thỏa mãn:

A. ( $α$ ) là mặt phẳng (A'B'Q).

B. ( $α$ ) qua trung điểm của A’B, B’C’, BC và AB.

C. ( $α$ ) là mặt phẳng (MPB)

D. Không tồn tại ( $α$ )

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: B’C’QN là hình bình hành nên ta có MP//A'Q => MP//(AA'C'C)

=> MP đi qua M và song song với mặt phẳng (AA’C’C)

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD//BC). Gọi M là trọng tâm của $∆$ SAD, N là điểm thuộc đoạn AC sao cho NA = $\frac{1}{2}$ NC. P là điểm thuộc đoạn CD sao cho PD = $\frac{1}{2}$ PC. Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?

A. MN//(SBC) và (MNP)//(SBC)

B. MN cắt (SBC).

C. (MNP) cắt (SBC) theo giao tuyến là đường thẳng song song BC.

D. (MNP) // (SAD).

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi I là trung điểm AD và K là giao điểm của IN với BC

Do đó MN//SK => MN//(SBC)

Lại có

=> NP//AD => (MNP)//(SBC)

Câu 22:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB.EG.

$A . a^{2} \sqrt{3}$

$B . a^{2}$

$C . a^{2} \sqrt{2}$

$D . 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có AB = a,

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Tam giác SAC cân tại S có đường cao và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a.

$A . \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$B . 2 a \sqrt{3}$

$C . \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$D . a$

Xem đáp án

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có SO $⊥$ (ABC). Gọi D là điểm đối xưng với B qua O

=> ABCD là hình vuông => AB//CD

=> d(AB;SC) = d(AB;(SCD)) = d(E;(SCD)) = 2d(O;(SCD))(Với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD).

Áp dung tính chất tứ diện vuông cho tứ diện OSCD ta có:

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)

A. arcsin $\frac{1}{4}$ B. arcsin $\frac{1}{\sqrt{3}}$ C. arcsin $\frac{1}{3}$ D. arcsin $\frac{2}{3}$

B. arcsin $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. arcsin $\frac{1}{3}$

D. arcsin $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi H là hình chiếu của C trên SO và góc $\hat{S O C}$ tù nên H nằm ngoài đoạn SO => CH $⊥$ (SBD)

=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là $\hat{C S O}$

Lại có

Câu 25:

Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, có thể tích là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ thì độ dài mỗi cạnh bằng:

$A . \sqrt[3]{12}$

$B . \sqrt[3]{4}$

$C . \sqrt[3]{24}$

$D . \sqrt{8}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi x là độ dài mỗi cạnh thì diện tích đáy là $x^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$

Chiều cao bằng x nên thể tích

Câu 26:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’C’BD bằng:

$A . \frac{a^{3}}{\sqrt{2}}$

$B . \frac{a^{3}}{3}$

$C . \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$

$D . \frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, $\hat{A B C} = 30^{0}$ , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

$A . \frac{3 a^{3}}{16}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$

$C . \frac{a^{3}}{8}$

$D . \frac{a^{3}}{16}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm của BC

$∆$ SBC đều cạnh bằng a nên

Câu 28:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

$A . \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

$C . \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{16}$

$D . \frac{3 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm của AB

Câu 29:

Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB = 2. Quay đường gấp khúc ACB quanh cạnh AB ta được hình nón. Tính diện tích xung quang của hình nón đó.

$A . 8 π \sqrt{2}$

$B . 4 π \sqrt{2}$

$C . 4 π \sqrt{3}$

$D . 2 π \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có:

Câu 30:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 2a. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp trong hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Tính thể tích của khối lăng trụ tạo nên từ hình trụ trên.

$A . 2 {πa}^{3}$

$B . {πa}^{3}$

$C . 2 \sqrt{2} {πa}^{3}$

$D . 4 {πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hình trụ đó có chiều cao h = 2a, bán kính r = a