30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Câu 1:

Một thùng hình trụ có thể tích bằng 12 $π$ , chiều cao bằng 3. Diện tích xung quang của thùng đó là:

A. 12 $π$

B. 6 $π$

C. 16 $π$

D. 18 $π$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi r là bán kính của hình trụ. Ta có V = ${πr}^{2} h$

Theo giả thiết h = 3, V = 12 $π$ . Ta có:

=> Diện tích xung quanh là S = 2 $π$ rl = 12 $π$

Câu 2:

Một cái hộp hình lăng trụ đứng đáy là hình vuông cạnh bằng 4cm. Chiều cao tối thiểu của hộp có thể đựng được 5 quả cầu bán kính 1cm là:

$A . 3 + \sqrt{2}$

$B . \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

$C . 2 + \sqrt{2}$

$D . 2 + \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Để chiều cao của hộp nhỏ nhất để đựng được 5 quả cầu thì 4 quả phải tiếp xúc với nhau đôi một và cùng tiếp xúc với đáy hình trụ, còn qủa thứ 5 tiếp xúc với cả 4 quả nói trên.

Giả sử 4 quả phía dưới có tâm là quả phía trên là quả phía trên là $I_{5}$ theo hình 1.

Ta có:

Gọi H là hình chiếu của $I_{5}$ trên $I_{1} I_{3}$ (hình 2)

=> Chiều cao tối thiểu của hộp là $2 + \sqrt{2}$

Câu 3:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích là V. Khi đó thể tích của khối đa diện B'C'ABC là:

$A . \frac{1}{3} V$

$B . \frac{1}{2} V$

$C . \frac{3}{4} V$

$D . \frac{2}{3} V$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi S là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.

Khi đó

Câu 4:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích là V. Tính thể tích của khối tứ diện theo V.

$A . \frac{1}{6} V$

$B . \frac{2}{3} V$

$C . \frac{1}{3} V$

$D . \frac{1}{2} V$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có

Câu 5:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm D thỏa mãn $\overset{⇀}{D C} = - 2 \overset{⇀}{D B}$ . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A'B'C') bằng $45^{0}$ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

$A . \frac{9 a^{3} \sqrt{21}}{4}$

$B . \frac{3 a^{3} \sqrt{21}}{4}$

$C . \frac{27 a^{3} \sqrt{21}}{4}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{21}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có CD' $⊥$ (ABC). Áp dụng định lý Cô-sin cho $∆$ ABD ta được:

AD =

Hình chiếu vuông góc của AC’ trên mặt phẳng (ABC) là AD, vì vậy ta có góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) là góc $\hat{C' A D} = 45^{0}$ => $∆$ C'AD vuông cân tại D

Diện tích $∆$ ABC là

Do đó

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy (ABC); SA = AB = a, AC = 2a và $\hat{A S C} = \hat{A B C} = 90^{0}$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$B . \frac{3 a^{3}}{4}$

$C . \frac{a^{3}}{4}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Kẻ SH $⊥$ AC, do (SAC) $⊥$ (ABC)=> SH $⊥$ (ABC)

Có BC =

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, $A D = a \sqrt{6}, A B = a \sqrt{3}$ ; M là trung điểm cạnh AD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBM) cùng vuông góc với đáy; SA tạo với đáy góc $60^{0}$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.OMC.

$A . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

$A . \frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{8}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

$D . \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi và (SBM) $⊥$ (ABCD) nên SH $⊥$ (ABCD)

Có: AC =

Vì

SH là đường cao của hình chóp S.OMC nên

Câu 8:

Một hình nón có đường cao 20, bán kính đáy r = 25. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

$A . 100 \sqrt{41}$

$B . 125 π \sqrt{41}$

$C . 250 π \sqrt{41}$

$D . 250 \sqrt{41}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi S là đỉnh của hình nón, AB là một đường kính, O là tâm của đường tròn đáy của hình nón.

Ta có: l = SA =

Câu 9:

Tính thể tích của một khối cầu biết hình lập phương cạnh a nội tiếp trong mặt cầu tạo nên khối cầu đó.

$A . \frac{{πa}^{3}}{4}$

$B . \frac{{πa}^{3}}{2}$

$C . \frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{2}$

$D . \frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi khối lập phương nội tiếp là ABCD.A'B'C'D'.

Gọi O = A'C $\cap$ AC' thì O cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

=> Bán kính của mặt cầu là

Câu 10:

Cho hình nón có chiều cao bằng 2. Gọi $(α)$ là mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón và cắt mặt đáy hình nón theo một dây cung AB và tạo với đáy hình nón một góc $\frac{π}{4}$ . Tính diện tích của mặt cắt SAB. Biết dây cung AB có số đo $\frac{2 π}{3}$ .

$A . 4 \sqrt{6}$

$B . 2 \sqrt{6}$

$C . 4 \sqrt{3}$

$D . 4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

O là tâm của hình chóp. Kẻ OH $⊥$ AB => H là trung điểm AB và SH $⊥$ AB.

Ta có $\hat{S H O} = \frac{π}{4}$ , tam giác SHO vuông cân => SH =

Ta có sđ

Câu 11:

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R và chiều cao là $R \sqrt{2}$ . Trên hai đường tròn (O) và (O') lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho góc của hai đường thẳng OA và OB bằng $α$ không đổi. Tính AB theo R và $α$ .

$A . R \sqrt{1 + 4 \sin^{2} \frac{α}{2}}$

$B . R \sqrt{+ 4 \sin^{2} \frac{α}{2}}$

$C . R \sqrt{2 + 4 \sin^{2} α}$

$D . R \sqrt{1 + 4 \sin^{2} α}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Kẻ

Vẽ O'H $⊥$ A'B thì H là trung điểm của A'B.

$∆$ O'A'H vuông tại H nên

Câu 12:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C', trên cạnh AA'', BB' lấy các điểm M, N sao cho AA' = 3A'M; BB' = 3B'N. Mặt phẳng (C'MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối chóp C'.A'B'NM, $V_{2}$ là thể tích khối đa diện ABC.MNC'. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

$A . \frac{2}{9}$

$B . \frac{3}{4}$

$C . \frac{2}{7}$

$D . \frac{5}{7}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Vậy:

Câu 13:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V. Tính thể tích của khối chóp A'.ABC theo V.

$A . \frac{V}{3}$

$B . \frac{V}{2}$

$C . \frac{V}{4}$

$D . \frac{2 V}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

Câu 14:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$A . a^{3} \sqrt{6}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

$D . \frac{a^{2} \sqrt{\ 2}}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích đáy:

Góc giữa SC và mặt đáy bằng góc $\hat{S C A} = 30^{0}$

Câu 15:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi B là diện tích một đáy của lăng trụ, V là thể tích của lăng trụ. Tính chiều cao h của lăng trụ.

$A . h = \frac{3 V}{B}$

$B . h = \frac{B}{V}$

$C . h = \frac{V}{B}$

$D . h = \frac{V}{3 B}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' là

Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a $\sqrt{2}$ . Thể tích V của khối chóp là :

$A . V = \frac{2 \sqrt{2}}{9} a^{3}$

$B . V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

$C . V = 2 \sqrt{2} a^{3}$

$D . V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

$A . \frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$

$B . a^{3}$

$C . \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$

$D . \frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Trong (SAB) kẻ $S H ⊥ A B$ . Ta có:

Vậy

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn SA = 2SM; SB = 2SN; SC = $\frac{1}{2}$ SP. Tính thể tích của khối chóp S.MNP theo V.

$A . \frac{V}{3}$

$B . \frac{V}{4}$

$C . \frac{V}{2}$

$D . \frac{V}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA $⊥$ (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

$A . V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

$B . V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

$C . V = a^{3} \sqrt{2}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

SA = a $\sqrt{2}$

Câu 20:

Cho hình chóp S. ABC, đáy tam giác ABC có diện tích bằng $12 c m^{2}$ . Cạnh bên SA = 2 cm và SA $⊥$ (ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. 24 $c m^{3}$

B. 6 $c m^{3}$

C. 12 $c m^{3}$

D. 8 $c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Câu 21:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA $⊥$ (ABC) và SA = a $\sqrt{6}$ . Thể tích của khối chóp bằng:

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$B . a^{3} \sqrt{2}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Do tam giác ABC đều cạnh a nên có

Câu 22:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3a; AC = 4a, cạnh bên AA' = 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ .

A. 12 $a^{3}$

B. 4 $a^{3}$

C. 3 $a^{3}$

C. 6 $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, AB=4a, AC=SA=3a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. 6 $a^{3}$

B. 8 $a^{3}$

C. 2 $a^{3}$

D. 9 $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 24:

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều, có tất cả các cạnh bằng a là :

$A . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi lăng trụ cần tìm là ABC.A’B’C’. Ta có:

Câu 25:

Tính diện tích xung quanh của khối trụ có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = $2 \sqrt{5}$

$A . 8 \sqrt{5} π$

$B . 2 \sqrt{5} π$

$C . 2 π$

$D . 4 \sqrt{5} π$

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ:

Câu 26:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc $45^{0}$ .Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

$A . V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

$B . V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

$C . V = \frac{2 a^{3}}{3}$

$D . V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

Khi đó:

Suy ra:

Câu 27:

Cho khối nón có bán kính đáy r = $\sqrt{3}$ và chiều cao gấp 2 lần bán kính đáy. Tính thể tích khối nón đã cho

$A . 6 \sqrt{3} π$

$B . 2 \sqrt{3} π$

$C . 2 π$

$D . 6 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Câu 28:

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a $\sqrt{5}$ . Mặt bên BCC’B’ là hình vuông. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

$A . V = \sqrt{2} a^{3}$

$B . V = 3 \sqrt{2} a^{3}$

$C . V = 4 a^{3}$

$D . V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Trong tam giác vuông ABC có:

Khi đó:

Đường cao lăng trụ đứng BB' (t/ hình vuông).

Vậy thể tích lăng trụ là:

Câu 29:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong (P), xét đường tròn (C) đường kính BC. Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy là (C), đỉnh là A bằng

$A . \frac{{πa}^{2}}{2}$

$B . \frac{{πa}^{2}}{3}$

$C . {πa}^{2}$

$D . 2 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu nội tiếp hình nón đề cho có 1 đường trong lớn nội tiếp tam giác đều (cạnh a)

Nên mặt cầu đó có bán kính

Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là V =

Câu 30:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ Tính thể tích V của khối chóp đã cho

$A . V = \frac{a^{3}}{2}$

$B . V = a^{3}$

$C . V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{9}$

$D . V = \frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Kẻ đường cao AH của $∆$ SAB , ta chứng minh được

Vậy