30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P10)

Câu 1:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Biết khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 $a^{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a

A. 2 $a^{3}$

B. $a^{3}$

C. 8 $a^{3}$

D. 4 $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

(với h’ và h lần lượt là khoảng cách từ S đến (MNPQ) và (ABCD)).

=> Chọn phương án A.

Câu 2:

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và diện tích của một mặt bên là $a^{2} \sqrt{2}$

$A . \frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$B . \frac{4 a^{3}}{3}$

$C . 4 a^{3}$

$A . \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là chân đường cao kẻ từ S đến DC, K là chân đường cao kẻ từ S đến (ABCD). Khi đó ta dễ dàng tính được: . Lại có:

=> Chọn phương án B.

Câu 3:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này.

A. 24 $π ({cm}^{2})$

B. 22 $π ({cm}^{2})$

C. 26 $π ({cm}^{2})$

D. 20 $π ({cm}^{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có p = 2 $π$ r = 6 $π$ (cm)

Diện tích của mặt bên là diện tích của hình chữ nhật có chiều dài bằng chu vi hình tròn đáy và chiều rộng bằng chiều cao hình trụ.

=> S = 6 $π$ .4 = 24 $π$ => Chọn phương án A.

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc $60^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$C . \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$D . \frac{4 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có diện tích đáy

=> Chọn phương án B

Câu 5:

Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân tại A, đường cao SA. Biết đường cao AH của tam giác ABC bằng a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0}$ .Tính theo a thể tích khối tứ diện SABC

$A . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$C . \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đán án B

Dê có:

=> Chọn phương án B

Câu 6:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Điểm M thuộc đoạn thẳng BC' , điểm N thuộc đoạn thẳng AB' tạo với mặt phẳng đáy một góc $30^{0}$ . Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.

$A . \frac{a}{2}$

$B . \frac{2 a}{3}$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{5} - 1}$

$D . \frac{2 a}{\sqrt{5} + 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Lời giải: Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là $30^{0}$ . Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc $30^{0}$ , khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên MN = $\frac{1}{2}$ A'P.

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ = a – x (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và A'H =

Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) = $30^{0}$ , do đó

Mặt khác ta lại có A'P = (2)

Từ (1) và (2) ta tính được

Từ đây ta rút ra được

=> Chọn phương án D.

Câu 7:

Tính thể tích chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

$A . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

$B . a^{3} \sqrt{3}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có diện tích đáy $S_{A B C D} = a^{2}$

Chiều cao SH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Từ đây ta tính được thể tích là: $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

=> Chọn đáp án D

Câu 8:

Tính thể tích của một khối tứ diện đều cạnh bằng a

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta dễ dàng tính được:

=> Chọn đáp án B

Câu 9:

Cho khối chóp S.ABC có các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC thỏa 3SA' = SA, 4SB' = SB, 5SC' = 3SC. Biết thể tích khối chóp S.A'B'C' bằng 5 ( $c m^{3}$ ). Tìm thể tích khối chóp S.ABC

A. 120 ( $c m^{3}$ )

B. 60 ( $c m^{3}$ )

C. 80 ( $c m^{3}$ )

D. 100 ( $c m^{3}$ )

Xem đáp án

Đáp án D

Key: Tính thể tích khối chóp B’.SA’C’ ta có:

Suy ra:

=> Chọn đáp án D.

Câu 10:

Cho hình nón tròn xoay có đường cao là a $\sqrt{3}$ , đường kính đáy là 2a. Tìm diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

$A . 2 \sqrt{3} {πa}^{2}$

$B . 2 {πa}^{2}$

$C . {πa}^{2}$

$D . 4 \sqrt{3} {πa}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dễ có chu vi của đáy là hình tròn bằng: p = $π$ d = 2 $π$ a

Khoảng cách từ đỉnh đến một điểm thuộc vành của hình nón bằng:

SA =

Suy ra diện tích xung quanh hình nón là diện tích hình quạt có bán kính 2a và độ dài cung là 2 $π$ a. Ta dễ tính được chu vi của hình tròn bán kinh 2a là 4 $π$ a. Do đó diện tích hình quạt cần tính bằng nửa hình tròn này. Từ đây ta thu được kết quả: $S_{x q} = 2 {πa}^{2}$ => Chọn đáp án B.

Câu 11:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (ACD).

$A . \frac{a \sqrt{6}}{2}$

$B . \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$C . \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$D . \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Khoảng cách từ B bằng với chiều cao của tứ diện đều ABCD. Do đó ta dễ dàng suy ra được:

=> Chọn phương án C.

Câu 12:

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành. Các đường chéo DB' và AC' lần lượt tạo với đáy các góc $45^{0} v à 30^{0}$ . Biết chiều cao của lăng trụ là a và $\hat{B A D} = 60^{0}$ , hãy tính thể tích V của khối lăng trụ này.

$A . V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$B . V = a^{3} \sqrt{3}$

$C . V = \frac{a^{3}}{2}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta dễ dàng tính được

Xét hình bình hành A’B’C’D’, ta dễ dàng tính được diện tích đáy S = $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

Suy ra thể tích khối lăng trụ đứng là:

=> Chọn phương án D

Câu 13:

Tính thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AC' bằng 5a, đáy là tam giác đều cạnh bằng 4a

A. 12 $a^{3}$

B. 20 $a^{3}$

C. 20 $a^{3}$ $\sqrt{3}$

D. 12 $a^{3}$ $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có diện tích đáy $S đ = 4 \sqrt{3} a^{2}$

Chiều cao:

Suy ra thể tích hình lăng trụ là:

=> Chọn phương án D.

Câu 14:

Cho một tứ diện có đúng một cạnh có độ dài bằng x thay đổi được, các cạnh còn lại có độ dài bằng 2. Tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện này.

$A . \frac{1}{2}$

$B . \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$C . \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$D . 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi tứ diện đã cho là S. ABC. Ta có

Suy ra, $V_{S . A B C}$ đạt GTLN khi và chỉ khi $\sin ϕ$ = 1

=> Chọn phương án D.

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD = a, AB = 2a, BC = 3a, SA = 2a. H là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp S.ABCD, Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)

$A . \frac{a \sqrt{30}}{7}$

$B . \frac{a \sqrt{30}}{10}$

$C . \frac{a \sqrt{13}}{10}$

$D . \frac{a \sqrt{13}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $H_{1}$ là chân đường cao kẻ từ H đến DC. $H_{2}$ là chân đường cao kẻ từ H đến S $H_{1}$ . Khi đó ta có

=> Chọn phương án B.

Câu 16:

Tính chiều dài nhỏ nhất của cái thang để nó có thể dựa vào tường và mặt đất, bắc ngang qua cột đỡ cao 4m. Biết cột đỡ song song và cách tường 0,5m mặt phẳng chứa tường vuông góc với mặt đất- như hình vẽ, bỏ qua đội dày của cột đỡ.

$A . \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

$B . \frac{5 \sqrt{5}}{2}$

$C . \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$D . \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử AC = x, BC = y, khi đó ta có hệ thức

Bài toán quy về tìm min của:

Khảo sát hàm số ta thu được GTNN đạt tại x = $\frac{5}{2}$ , y = 5. Thay vào ta được:

=> Chọn phương án B

Câu 17:

Tính thể tích của khối lập phương có diện tích một mặt chéo bằng $a^{2} \sqrt{2}$ .

$A . 2 \sqrt{2} a^{3}$

$B . a^{3}$

$C . \sqrt{2} a^{3}$

$D . 4 \sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Diện tích mặt chéo là: $a^{2} \sqrt{2}$ . Từ đây ta dễ dàng suy ra độ dài một cạnh của hình lập phương sẽ là a . Do đó thể tích của hình lập phương là $a^{3}$ . Chọn phương án B.

Câu 18:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V, thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V'. Tính tỉ số $\frac{V^{'}}{V}$

A. $\frac{V^{'}}{V}$ = $\frac{1}{2}$

B. $\frac{V^{'}}{V}$ = $\frac{1}{8}$

C. $\frac{V^{'}}{V}$ = $\frac{1}{4}$

D. $\frac{V^{'}}{V}$ = $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 19:

Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.

$A . \frac{3 a^{3}}{4}$

$B . \frac{a^{3}}{12}$

$C . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

$D . \frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ B đến (SCD)

A. 1

B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hạ

Câu 22:

Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất mặt.

B. Mỗi mặt có ít nhất cạnh.

C. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng mặt.

D. Hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung.

Xem đáp án

Đáp án D

Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.

Câu 23:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, SA = $\sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

$A . V = \frac{\sqrt{35} a^{3}}{24}$

$B . V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

$C . V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

$D . V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi là trực tâm của tam giác đều ABC => SH $⊥$ ABC

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại với AB = a, BC = 2a.

Điểm H thuộc cạnh AC sao cho CH = $\frac{1}{3}$ CA, SH là đường cao hình chóp S.ABC và SH = $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Gọi I là trung điểm BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC với mặt phẳng đi qua H và vuông góc với AI

$A . \frac{2 \sqrt{2} a^{2}}{3}$

$B . \frac{\sqrt{2} a^{2}}{6}$

$C . \frac{\sqrt{3} a^{2}}{3}$

$D . \frac{\sqrt{3} a^{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì tam giác đều nên

Câu 25:

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 (m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m). Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

$A . x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$B . x = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$C . x = \frac{2 \sqrt{2}}{5}$

$D . x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 26:

Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 2

B. 3

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C

Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng nối trung điểm của môt cạnh với cạnh đối của nó.

Câu 27:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên là hình vuông cạnh a. Gọị D,E lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và DE theo a

$A . \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$B . \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$C . \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$D . a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi D’ là trung điểm của B’C’. Khi đó (DED') // (ABA'B')

Câu 28:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $45^{0}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a

$A . \frac{5 a^{3}}{8}$

$B . \frac{a^{3}}{8}$

$C . \frac{5 a^{3}}{24}$

$D . \frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

=> SA = AB = a

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD

A. V = 1

B. V = $\frac{1}{2}$

C. V = 3

D. V = 2

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi O = AC $\cap$ BD

Vì ABCD là hình thoi nên AC $⊥$ BD tại O.

Tam giác SBD cân tại S nên SO $⊥$ BD.

Suy ra BD $⊥$ (SAC)

Do => SO = OC

Đặt

Bảng biến thiên:

x	0
	+ 0 -

Vậy

Câu 30:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AA' hợp với B'C một góc $60^{0}$ và khoảng cách giữa chúng bằng a, B'C = 2a. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a

$A . \frac{a^{3}}{2}$

$B . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

$C . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

$D . \frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hạ

Vì