20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hình học không gian ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P8)

Câu 1:

Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập (tham khảo hình bên dưới). Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của khối chữ thập đó.

A. $S_{t p} = 20 a^{2}$

B. $S_{t p} = 12 a^{2}$

C. $S_{t p} = 30 a^{2}$

D. $S_{t p} = 22 a^{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Lời giải. Diện tích mỗi mặt của một hình lập phương là $a^{2}$

Diện tích toàn phần của 5 khối lập phương là $5.6 a^{2} = 30 a^{2}$ .

Khi ghép thành khối hộp chữ thập, đã có 4.2 =8 mặt ghép vào phía trong, do đó diện tích toàn phần cần tìm là $30 a^{2} - 8 a^{2} = 22 a^{2}$ .

Câu 2:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =4, AD = 5, AA' =6. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A'D', C'D' và DD' (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (MNP) bằng

A. $\frac{181}{469}$

B. $\frac{120 \sqrt{13}}{469}$

C. $\frac{19}{469}$

D. $\frac{60 \sqrt{61}}{469}$

Xem đáp án

Chọn A

Đối với những bài cồng kềnh và tính toán rất phức tạp

thế này thì nên tọa độ hóa giải rất nhanh, khỏi phải mất nhiều

thời gian và tư duy. Gắn trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên với

A'(0;0;0), D(0;5;6), C' (4;5;0)

Câu 3:

Cho hình lập phương AbCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, S là điểm đối xứng với O qua CD' (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối đa diện ABCDSA'B'C'D' bằng

A. $\frac{2 a^{3}}{3}$

B. $\frac{3 a^{3}}{2}$

C. $\frac{7 a^{3}}{6}$

D. $\frac{4 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

Vì S là điểm đối xứng với O qua CD' nên

Do đó

Vậy

Câu 4:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB = BC = $\frac{A D}{2}$ =a. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối nón tròn xoay được tạo thành.

A. $V = {πa}^{3}$

B. $V = \frac{4 {πa}^{3}}{3}$

C. $V = \frac{5 {πa}^{3}}{3}$

D. $V = \frac{7 {πa}^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích của trụ có đường cao AD, bán kính đáy BA là:

Thể tích khối nón có đường cao IC, bán kính đáy ID là:

Vậy

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB= 3a, BC = 4a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng $60^{o}$ . Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM.

A. d = $a \sqrt{3}$

B. d = $5 a \sqrt{3}$

C. d = $\frac{5 a}{2}$

D. d = $\frac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}}$

Xem đáp án

Chọn D

Xác định được

Gọi N là trung điểm BC, suy ra MN//AB.

Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABNE là hình chữ nhật.

Do đó

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng

A. $30^{o}$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Chọn B.

Nhắc lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là Sx//AD//BC

(do tam giác SAB vuông cân).

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{o}$ . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).

A. d = $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

B. d = $\frac{a}{2}$

C. d = a

D. d = a $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Xác định được

Do M là trung điểm của cạnh AB nên

Tam giác vuông SAM có

Câu 8:

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối điện của hình lập phương (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $S_{1}$ , $S_{2}$ lần lượt là diện tích toán phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S= $S_{1} + S_{2} (c m^{2})$

A. S=4(2400 + $π$ )

B. S=4(2400 + 3 $π$ )

C. S=2400(4 + $π$ ).

D. S=2400(4 + 3 $π$ )

Xem đáp án

Chọn C.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là

Hình trụ có bán kính đáy là 20 cm và đường cao là 40 cm nên diện tích toàn phần của hình trụ là

Câu 9:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = $a \sqrt{3}$ Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, HA' = $a \sqrt{5}$ Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng A'B và B'C.

Tính cos $φ$

A.cos $φ$ = $\frac{7 \sqrt{3}}{48}$

B. cos $φ$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. cos $φ$ = $\frac{1}{2}$

D. cos $φ$ = $\frac{7 \sqrt{3}}{24}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi N, K là trung điểm của BB', A'B'

Ta tính được

Áp dụng định lí hàm cosin ta suy ra

Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB =2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. V = 2 $a^{3}$

B. V = 4 $a^{3}$

C. V = 6 $a^{3}$

D. V = 12 $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta chọn (SBC) làm mặt đáy => chiều cao khối chóp là

Tam giác SBC vuông cân tại S nên

Vậy thể tích khối chóp

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc $60^{o}$ Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (DMN) bằng

A. $\frac{2 a \sqrt{465}}{31}$

B. $\frac{a \sqrt{31}}{31}$

C. $\frac{a \sqrt{60}}{31}$

D. $\frac{2 a \sqrt{5}}{31}$

Xem đáp án

Chọn A.

Xác định được

Vì M là trung điểm SA nên

Kẻ AK $⊥$ DM và chứng minh được AK $⊥$ (CDM) nên

Trong tam giác vuông MAD tính được

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = $a \sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $φ$ = $30^{o}$

B. $\sin φ = \frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $φ$ = $60^{o}$

D. $\sin φ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM $⊥$ BC.

Ta có

Do đó

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến AM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác vuông SAM, có

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B với AC =2a, BC =a. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{o}$ Khoảng cách từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng (SAB) bằng

A. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

B. $\frac{3 a \sqrt{13}}{13}$

C. $\frac{a \sqrt{39}}{26}$

D. $\frac{a \sqrt{13}}{26}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C

=> SH $⊥$ (ABC)

Xác đinh được

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI $⊥$ AB

và chứng minh được HK $⊥$ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được

Câu 14:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 16 $π a^{2}$ và độ dài đường sinh bằng 2a. Tính bán kính r của đường tròn đáy của hình trụ đã cho.

A. r = 4a

B.r = 6a.

C.r = 4 $π$ .

D. r = 8a.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có

Câu 15:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA= 4, AB = 6, BC=10 và CA =8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V = 40

B. V = 192

C. V = 32

D. V = 24

Xem đáp án

Chọn C

Tam giác ABC, có

tam giác ABC vuông tại A

Vậy thể tích khối chóp

Câu 16:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = AB =AC =1 và $\hat{B A C} = 120^{o}$ Gọi I là trung điểm cạnh CC' Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

A. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

B. $\frac{\sqrt{70}}{10}$

C. $\frac{\sqrt{30}}{20}$

D. $\frac{\sqrt{370}}{20}$

Xem đáp án

Chọn A

ta chứng minh được

Ta có

Câu 17:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 12 $c m^{3}$ Tính thể tích của tứ diện AB'CD'

A. 2 $c m^{3}$ $c m^{3}$

B. 3 $c m^{3}$

C. 4 $c m^{3}$

D. 5 $c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi S là diện tích đáy của tứ giác ABCD và h là chiều cao của khối hộp.

Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và 4 khối chóp AA'B'D', CB'C'D', B'.BAC, D'.DAC

Suy ra

Vậy $V_{A B' C D'}$

Câu 18:

Một khối hộp chữ nhật có kích thước 4 cm x 4 cmx h cm chứa một quả cầu lớn và tám quả cầu nhỏ. Biết quả cầu lớn có bán kính bằng R = 2 cm và quả cầu nhỏ có bán kính bằng r = 1 cm; các quả cầu tiếp xúc nhau và tiếp xúc các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Tìm h.

A. h = $2 (1 + 2 \sqrt{2}) c m$

B. h = $2 (3 + \sqrt{7}) c m$

C. h = $2 (1 + \sqrt{7}) c m$

D. h = 8 cm

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi tâm của quả cầu lớn là I. Tâm của 4 quả cầu nhỏ nằm bên dưới lần lượt là A, B, D, C.

Khi đó I.ABCD là hình chóp tứ giác đều và có độ dài các cạnh như hình vẽ bên dưới.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC = a $\sqrt{3}$ . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).

A. $d = \frac{a \sqrt{39}}{13}$

B. d = a

C . $d = \frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

D. d =a $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra .

Gọi K là trung điểm AC

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi $φ$ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.cot $φ = \frac{5}{\sqrt{15}}$

B. cot $φ = \frac{\sqrt{15}}{5}$

C. $φ = 30^{o}$

D. cot $φ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là trung điểm AB

nên hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD

Tam giác SAB đều cạnh a nên SH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác vuông SHD