42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

Câu 1:

Chọn câu đúng.

A. ${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

B. ${(A + B)}^{2} = A^{2} + A B + B^{2}$

C. ${(A + B)}^{2} = A^{2} + B^{2}$

D. ${(A + B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Xem đáp án

Ta có ${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Chọn câu đúng.

A. $(A - B) (A + B) = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

B. $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$

C. $(A + B) (A - B) = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

D. $(A + B) (A - B) = A^{2} + B^{2}$

Xem đáp án

Ta có $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Chọn câu sai.

A. ${(x + y)}^{2} = (x + y) (x + y)$

B. $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

C. ${(- x - y)}^{2} = {(- x)}^{2} - 2 (- x) y + y^{2}$

D. $(x + y) (x + y) = y^{2} - x^{2}$

Xem đáp án

Ta có $(x + y) (x + y) = {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \neq y^{2} - x^{2}$ nên câu D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Chọn câu sai.

A. ${(x + 2 y)}^{2} = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$

B. ${(x - 2 y)}^{2} = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$

C. ${(x - 2 y)}^{2} = x^{2} - 4 y^{2}$

D. $(x - 2 y) (x + 2 y) = x^{2} - 4 y^{2}$

Xem đáp án

Ta có ${(x + 2 y)}^{2} = x^{2} + 2 x . 2 y + {(2 y)}^{2} = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$ nên A đúng

${(x - 2 y)}^{2} = x^{2} - 2 x . 2 y + {(2 y)}^{2} = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ nên B đúng, C sai.

$(x - 2 y) (x + 2 y) = x^{2} - {(2 y)}^{2} = x^{2} - 4 y^{2}$ nên D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Khai triển $4 x^{2} - 25 y^{2}$ theo hằng đẳng thức ta được

A. (4x – 5y)(4x + 5y)

B. (4x – 25y)(4x + 25y)

C. (2x – 5y)(2x + 5y)

D. ${(2 x - 5 y)}^{2}$

Xem đáp án

Ta có $4 x^{2} - 25 y^{2} = {(2 x)}^{2} - {(5 y)}^{2} = (2 x - 5 y) (2 x + 5 y)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Khai triển $\frac{1}{9} x^{2} - \frac{1}{64} y^{2}$ theo hằng đẳng thức ta được

A. $(\frac{x}{9} - \frac{y}{64}) (\frac{x}{9} + \frac{y}{64})$

B. $(\frac{x}{3} - \frac{y}{4}) (\frac{x}{3} + \frac{y}{4})$

C. $(\frac{x}{9} - \frac{y}{8}) (\frac{x}{9} + \frac{y}{8})$

D. $(\frac{x}{3} - \frac{y}{8}) (\frac{x}{3} + \frac{y}{8})$

Xem đáp án

Ta có

$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{1}{64} y^{2} = {(\frac{x}{3})}^{2} - {(\frac{y}{8})}^{2} = (\frac{x}{3} - \frac{y}{8}) (\frac{x}{3} + \frac{y}{8})$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Khai triển ${(3 x - 4 y)}^{2}$ ta được

A. $9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}$

B. $9 x^{2} - 12 x y + 16 y^{2}$

C. $9 x^{2} - 24 x y + 4 y^{2}$

D. $9 x^{2} - 6 x y + 16 y^{2}$

Xem đáp án

Ta có ${(3 x - 4 y)}^{2} = (3 x)^{2} - 2.3 x . 4 y + {(4 y)}^{2} = 9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Khai triển ${(\frac{x}{2} - 2 y)}^{2}$ ta được

A. $\frac{x^{2}}{4} - x y + 4 y^{2}$

B. $\frac{x^{2}}{4} - 2 x y + 4 y^{2}$

C. $\frac{x^{2}}{4} - 2 x y + 2 y^{2}$

D. $\frac{x^{2}}{2} - 2 x y + 2 y^{2}$

Xem đáp án

Ta có

${(\frac{x}{2} - 2 y)}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2} - 2 . \frac{x}{2} . 2 y + {(2 y)}^{2} = \frac{x^{2}}{4} - 2 x y + 4 y^{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Biểu thức $\frac{1}{4 x^{2} y^{2}} + x y + 1$ bằng

A. ${(\frac{1}{4 x y + 1})}^{2}$

B. ${(\frac{1}{2} x y + 1)}^{2}$

C. ${(x y - \frac{1}{2})}^{2}$

D. ${(\frac{1}{2} x y - 1)}^{2}$

Xem đáp án

Ta có

$\frac{1}{4} x^{2} y^{2} + x y + 1 = {(\frac{1}{2} x y)}^{2} + 2 . \frac{1}{2} x y + 1^{2} = {(\frac{1}{2} x y + 1)}^{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Viết biểu thức $25 x^{2} - 20 x y + 4 y^{2}$ dưới dạng bình phương của một hiệu

A. ${(5 x - 2 y)}^{2}$

B. ${(2 x - 5 y)}^{2}$

C. ${(25 x - 4 y)}^{2}$

D. ${(5 x + 2 y)}^{2}$

Xem đáp án

Ta có $25 x^{2} - 20 x y + 4 y^{2} = {(5 x)}^{2} - 2.5 x . 2 y + {(2 y)}^{2} = {(5 x - 2 y)}^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Chọn câu đúng

A. ${(c + d)}^{2} - {(a + b)}^{2} = (c + d + a + b) (c + d - a + b)$

B. ${(c - d)}^{2} - {(a + b)}^{2} = (c - d + a + b) (c - d - a + b)$

C. $(a + b + c - d) (a + b - c + d) = {(a + b)}^{2} - {(c - d)}^{2}$

D. ${(c - d)}^{2} - {(a - b)}^{2} = (c - d + a - b) (c - d - a - b)$

Xem đáp án

Ta có

${(c + d)}^{2} - {(a + b)}^{2}$ = (c + d + a + b)(c + d – (a + b)) = (c + d + a + b)(c + d – a – b) nên A sai

${(c - d)}^{2} - {(a + b)}^{2}$ = (c – d + a + b)[c – d – (a + b)] = (c – d + a + b)(c – d – a – b) nên B sai

${(c - d)}^{2} - {(a - b)}^{2}$ = (c – d + a – b)(c – d – (a – b)) = (c – d + a – b)(c – d – a + b) nên D sai

(a + b + c – d)(a + b – c + d) = [(a + b) + (c – d)][(a + b) – (c – d)] = ${(a + b)}^{2} - {(c - d)}^{2}$ nên C đúng

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Chọn câu đúng

A. $4 - {(a + b)}^{2} = (2 + a + b) (2 - a + b)$

B. $4 - {(a + b)}^{2} = (4 + a + b) (4 - a - b)$

C. $4 - {(a + b)}^{2} = (2 + a - b) (2 - a + b)$

D. $4 - {(a + b)}^{2} = (2 + a + b) (2 - a - b)$

Xem đáp án

Ta có

$4 - {(a + b)}^{2} = 2^{2} - {(a + b)}^{2} = (2 + a + b) [2 - (a + b)] = (2 + a + b) (2 - a - b)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Rút gọn biểu thức $A = {(3 x - 1)}^{2} - 9 x (x + 1)$ ta được

A. -15x + 1

B. 1

C. 15x + 1

D. – 1

Xem đáp án

Ta có

$A = {(3 x - 1)}^{2} - 9 x (x + 1) = {(3 x)}^{2} - 2.3 x . 1 + 1 - (9 x . x + 9 x) = 9 x^{2} - 6 x + 1 - 9 x^{2} - 9 x = - 15 x + 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Rút gọn biểu thức $A = 5 {(x + 4)}^{2} + 4 {(x - 5)}^{2} - 9 (4 + x) (x - 4)$ , ta được

A. 342

B. 243

C. 324

D. -324

Xem đáp án

Ta có

$A = 5 {(x + 4)}^{2} + 4 {(x - 5)}^{2} - 9 (4 + x) (x - 4) = 5 (x^{2} + 2 . x . 4 + 16) + 4 (x^{2} - 2 . x . 5 + 5^{2}) - 9 (x^{2} - 4^{2}) = 5 (x^{2} + 8 x + 16) + 4 (x^{2} - 10 x + 25) - 9 (x^{2} - 4^{2}) = 5 x^{2} + 40 x + 80 + 4 x^{2} - 40 x + 100 - 9 x^{2} + 144 = (5 x^{2} + 4 x^{2} - 9 x^{2}) + (40 x - 40 x) + (80 + 100 + 144)$

= 324

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Rút gọn biểu thức $B = (2 a - 3) (a + 1) - {(a - 4)}^{2} - a (a + 7)$ ta được

A. 0

B. 1

C. 19

D. – 19

Xem đáp án

Ta có

$B = (2 a - 3) (a + 1) - {(a - 4)}^{2} - a (a + 7) = 2 a^{2} + 2 a - 3 a - 3 - (a^{2} - 8 a + 16) - (a^{2} + 7 a) = 2 a^{2} + 2 a - 3 a - 3 - a^{2} + 8 a - 16 - a^{2} - 7 a = - 19$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 16:

Cho $B = {(x^{2} + 3)}^{2} - x^{2} (x^{2} + 3) - 3 (x + 1) (x - 1)$ . Chọn câu đúng.

A. B < 12

B. B > 13

C. 12 < B< 14

D. 11 < B < 13

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Cho $C = \frac{{(x + 5)}^{2} + {(x - 5)}^{2}}{(x^{2} + 25)}$ và $D = \frac{{(2 x + 5)}^{2} + {(5 x - 2)}^{2}}{(x^{2} + 1)}$ . Tìm mối quan hệ giữa C và D.

A. D = 14C + 1

B. D = 14C

C. D = 14C – 1

D. D = 14C – 2

Xem đáp án

Ta có

$C = \frac{{(x + 5)}^{2} + {(x - 5)}^{2}}{(x^{2} + 25)} = \frac{x^{2} + 2 . x . 5 + 5^{2} + x^{2} - 2 . x . 5 + 5^{2}}{(x^{2} + 25)} = \frac{x^{2} + 10 x + 25 + x^{2} - 10 x + 25}{x^{2} + 25} = \frac{2 (x^{2} + 25)}{x^{2} + 25} = 2$

$D = \frac{{(2 x + 5)}^{2} + {(5 x - 2)}^{2}}{x^{2} + 1} = \frac{4 x^{2} + 2.2 x . 5 + 5^{2} + 25 x^{2} - 2.5 x . 2 + 2^{2}}{x^{2} + 1} = \frac{29 x^{2} + 29}{x^{2} + 1} = \frac{29 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = 29$

Vậy D = 29; C = 2 suy ra D = 14C + 1 (do 29 = 14.2 + 1)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Cho $M = 4 {(x + 1)}^{2} + {(2 x + 1)}^{2} - 8 (x - 1) (x + 1) - 12 x$ và $N = 2 {(x - 1)}^{2} - 4 {(3 + x)}^{2} + 2 x (x + 14)$

Tìm mối quan hệ giữa M và N

A. 2N – M = 60

B. 2M – N = 60

C. M> 0, N < 0

D. M > 0, N > 0

Xem đáp án

Ta có

$M = 4 {(x + 1)}^{2} + {(2 x + 1)}^{2} - 8 (x - 1) (x + 1) - 12 x = 4 (x^{2} + 2 x + 1) + (4 x^{2} + 4 x + 1) - 8 (x^{2} - 1) - 12 x = 4 x^{2} + 8 x + 4 + 4 x^{2} + 4 x + 1 - 8 x^{2} + 8 - 12 x = (4 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x^{2}) + (8 x + 4 x - 12 x) + 4 + 1 + 8 = 13$

$N = 2 {(x - 1)}^{2} - 4 {(3 + x)}^{2} + 2 x (x + 14) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 4 (9 + 6 x + x^{2}) + 2 x^{2} + 28 x = 2 x^{2} - 4 x + 2 - 36 - 24 x - 4 x^{2} + 2 x^{2} + 28 x = (2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x^{2}) + (- 4 x - 24 x + 28 x) + 2 - 36 = - 34$

Suy ra M = 13, N = -34 ó 2M – N = 60

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn ${(2 x - 1)}^{2} - {(5 x - 5)}^{2} = 0$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} {(2 x - 1)}^{2} - {(5 x - 5)}^{2} = 0 \\ [(2 x - 1) - (5 x - 5)] [(2 x - 1) + (5 x - 5)] = 0 \\ (2 x - 1 - 5 x + 5) (2 x - 1 + 5 x - 5) = 0 \\ (- 3 x + 4) (7 x - 6) = 0 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} - 3 x + 4 = 0 \\ 7 x - 6 = 0 \end{array} \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \\ x = \frac{6}{7} \end{array} \end{array}$

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn yêu cầu

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn ${(2 x + 1)}^{2} - 4 {(x + 3)}^{2} = 0$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có

${(2 x + 1)}^{2} - 4 {(x + 3)}^{2} = 0 {(2 x)}^{2} + 2.2 x .1 + 1^{2} - 4 (x^{2} + 6 x + 9) = 0 4 x^{2} + 4 x + 1 - 4 x^{2} - 24 x - 36 = 0 - 20 x = 35 x = \frac{- 7}{4}$

Vậy có một giá trị của x thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Tìm x biết $(x - 6) (x + 6) - {(x + 3)}^{2} = 9$

A. x = -9

B. x = 9

C. x = 1

D. x = -6

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} (x - 6) (x + 6) - {(x + 3)}^{2} = 9 \\ (x^{2} - 36) - (x^{2} + 6 x + 9) = 9 \\ x^{2} - 36 - x^{2} - 6 x - 9 - 9 = 0 \\ - 6 x - 54 = 0 \\ - 6 x = 54 \\ x = - 9 \end{array}$

Vậy x = -9.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Tìm x biết ${(3 x - 1)}^{2} + 2 {(x + 3)}^{2} + 11 (1 + x) (1 - x) = 6$

A. x = -4

B. x = 4

C. x = -1

D. x = -2

Xem đáp án

Ta có:

${(3 x - 1)}^{2} + 2 {(x + 3)}^{2} + 11 (1 + x) (1 - x) = 6 {(3 x)}^{2} - 2.3 x . 1 + 1^{2} + 2 (x^{2} + 6 x + 9) + 11 (1 - x^{2}) = 6 9 x^{2} - 6 x + 1 + 2 x^{2} + 12 x + 18 + 11 - 11 x^{2} = 6 (9 x^{2} + 2 x^{2} - 11 x^{2}) + (- 6 x + 12 x) = 6 - 1 - 11 - 18$

6x = -24

x = -4

Vậy x = -4

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23:

So sánh A = 2016.2018.a và B = $2017^{2} . a$ (với a > 0)

A. A = B

B. A < B

C. A > B

D. A ≥ B

Xem đáp án

Ta có A = 2016.2018.a = (2017 – 1)(2017 + 1)a = ( $2017^{2}$ – 1)a

Vì $2017^{2} - 1 < 2017^{2}$ và a > 0 nên $(2017^{2} - 1) a < 2017^{2} a$ hay A < B

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

So sánh A = 2019.2021.a và B = $(2019^{2} + 2.2019 + 1) a$ (với a > 0)

A. A= B

B. A ≥ B

C. A > B

D.A < B

Xem đáp án

Ta có A = 2019.2021.a = (2020 – 1)(2020 + 1)a = ( $2020^{2}$ – 1)a

Và $B = (2019^{2} + 2.2019 + 1) a = {(2019 + 1)}^{2} a = 2020^{2} a$

Vì $2020^{2} - 1 < 2020^{2}$ và a > 0 nên $(2020^{2} - 1) a < 2020^{2} a$ hay A < B

Đáp án cần chọn là: D

Câu 25:

So sánh M = $2^{32}$ và $N = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1)$

A. M > N

B. M < N

C. M = N

D. M = N – 1

Xem đáp án

Ta có

$N = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{16} + 1) = 3 (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) = [(2^{2} - 1) (2^{2} + 1)] (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) = (2^{4} - 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) = (2^{8} - 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) = (2^{16} - 1) (2^{16} + 1) = ({(2^{16})}^{2} - 1) = 2^{32} - 1 M à 2^{32} - 1 > 2^{32} \Rightarrow N < M$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Chọn câu đúng về giá trị các biểu thức sau mà không tính cụ thể $A = 1 + 15 (4^{2} + 1) (4^{4} + 1) (4^{8} + 1)$ và $B = {(4^{3})}^{5} + {(4^{5})}^{3}$

A. A = B + 2

B. B = 2A

C. A = 2B

D. A = B

Xem đáp án

Ta có

$A = 1 + 15 (4^{2} + 1) (4^{4} + 1) (4^{8} + 1) = 1 + (4^{2} - 1) (4^{2} + 1) (4^{4} + 1) (4^{8} + 1) = 1 + [{(4^{2})}^{2} - 1] (4^{4} + 1) (4^{8} + 1) = 1 + (4^{4} - 1) (4^{4} + 1) (4^{8} + 1) = 1 + [{(4^{4})}^{2} - 1] (4^{8} + 1) = 1 + (4^{8} - 1) (4^{8} + 1) = 1 + [{(4^{8})}^{2} - 1] = 1 + 4^{16} - 1 = 4^{16} = {4.4}^{15} = {2.2.4}^{15}$

Và $B = {(4^{3})}^{5} + {(4^{5})}^{3} = 4^{3.5} + 4^{5.3} = 4^{15} + 4^{15} = {2.4}^{15}$

Vì $A = 2.2 . 4^{15}; B = 2 . 4^{15}$ => A = 2B

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Cho $P = - 4 x^{2} + 4 x - 2$ . Chọn khẳng định đúng.

A. P ≤ -1

B. P > -1

C. P > 0

D. P ≤ - 2

Xem đáp án

Ta có

$P = - 4 x^{2} + 4 x - 2 = - 4 x^{2} + 4 x - 1 - 1 = - (4 x^{2} - 4 x + 1) - 1 = - 1 - {(2 x - 1)}^{2}$

Nhận thấy $- {(2 x - 1)}^{2} \leq 0$

=> $- 1 - {(2 x - 1)}^{2} \leq - 1$ , Ɐx hay P ≤ -1.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Cho $T = - 9 x^{2} + 6 x - 5$ . Chọn khẳng định đúng

A. T < -4

B. T ≥ -4

C. T > -4

D.T ≤ -4

Xem đáp án

Ta có

$T = - 9 x^{2} + 6 x - 5 = - 9 x^{2} + 6 x - 1 - 4 = - 4 - (9 x^{2} - 6 x + 1) = - 4 - {(3 x - 1)}^{2}$

Nhận thấy $- {(3 x - 1)}^{2} \leq 0 = > - 4 - {(3 x - 1)}^{2} \leq - 4$ , Ɐx hay T ≤ -4

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = 8 - 8 x - x^{2}$

A. 8

B. 11

C. -4

D. 24

Xem đáp án

Ta có

$Q = 8 - 8 x - x^{2} = - x^{2} - 8 x - 16 + 16 + 8 = - {(x + 4)}^{2} + 24 = 24 - {(x + 4)}^{2}$

Nhận thấy ${(x + 4)}^{2} \geq 0$ ; Ɐx

=> $24 - {(x + 4)}^{2} \leq 24$

Dấu “=” xảy ra khi ${(x + 4)}^{2} = 0$ ó x = -4

Giá trị lớn nhất của Q là 24 khi x = -4

Đáp án cần chọn là: D

Câu 30:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 4 - 16 x^{2} - 8 x$

A. 5

B. -5

C. 8

D. $\frac{- 1}{4}$

Xem đáp án

Ta có

$B = 4 - 16 x^{2} - 8 x = 5 - (16 x^{2} + 8 x + 1) = 5 - [{(4 x)}^{2} + 2.4 x . 1 + 1^{2}] = 5 - {(4 x + 1)}^{2}$

Nhận thấy ${(4 x + 1)}^{2}$ ≥ 0; Ɐx

=> 5 – ${(4 x + 1)}^{2}$ ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi ${(4 x + 1)}^{2}$ = 0 ó x = $\frac{- 1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng $5$ tại $x = - \frac{1}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 31:

Biểu thức $E = x^{2} - 20 x + 101$ đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. x = 9

B. x = 10

C. x = 11

D. x = 12

Xem đáp án

Ta có

$E = x^{2} - 20 x + 101 = x^{2} - 2 . x . 10 + 100 + 1 = {(x - 10)}^{2} + 1$

Vì ${(x - 10)}^{2}$ ≥ 0; Ɐx => ${(x - 10)}^{2}$ + 1 ≥ 1

Dấu “=” xảy ra khi ${(x - 10)}^{2}$ = 0 ó x – 10 = 0 ó x = 10

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 1 khi x = 10

Đáp án cần chọn là: B

Câu 32:

Biểu thức $F = x^{2} - 12 x + 34$ đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. x = 6

B. x = -6

C. x = 8

D. x = 2

Xem đáp án

Ta có

$F = x^{2} - 12 x + 34 = x^{2} - 2 . x . 6 + 6^{2} - 2 = {(x - 6)}^{2} - 2$

Vì ${(x - 6)}^{2}$ ≥ 0; Ɐx => ${(x - 6)}^{2}$ – 2 ≥ - 2

Dấu “=” xảy ra khi ${(x - 6)}^{2}$ = 0 ó x – 6 = 0 ó x = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là -2 khi x = 6

Đáp án cần chọn là: A

Câu 33:

Biểu thức $K = x^{2} - 6 x + y^{2} - 4 y + 6$ có giá trị nhỏ nhất là

A. 6

B. 1

C. -7

D. 7

Xem đáp án

Ta có

$K = x^{2} - 6 x + y^{2} - 4 y + 6 = x^{2} - 2 x . 3 + 9 + y^{2} - 2 . y . 2 + 4 - 7 = {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 7$

Vì ${(x - 3)}^{2} \geq 0; {(y - 2)}^{2} \geq 0$ ; Ɐx; y nên ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$ – 7 ≥ -7

Dấu “=” xảy ra khi ó ${(x - 3)}^{2} = 0$ và ${(y - 2)}^{2} = 0$ hay x = 3 và y = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của K là -7 khi x = 3; y = 2

Đáp án cần chọn là: C

Câu 34:

Biểu thức $J = x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + 5$ có giá trị nhỏ nhất là

A. -12

B. 5

C. 12

D. -5

Xem đáp án

Ta có

$J = x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + 5 = x^{2} - 2 . x . 4 + 16 + y^{2} + 2 . y . 1 + 1 - 12 = {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 12$

Vì ${(x - 2)}^{2} \geq 0; {(y + 1)}^{2} \geq 0$ ; Ɐx; y nên ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}$ – 12 ≥ -12

Dấu “=” xảy ra khi ó x - 2 =0 và y + 1 = 0 hay x = 2 và y = - 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của J là -12 khi x = 2; y = -1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 35:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $I = (x^{2} + 4 x + 5) (x^{2} + 4 x + 6) + 3$ là

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có

$I = (x^{2} + 4 x + 5) (x^{2} + 4 x + 6) + 3 = (x^{2} + 4 x + 5) (x^{2} + 4 x + 5 + 1) + 3 = {(x^{2} + 4 x + 5)}^{2} + (x^{2} + 4 x + 5) + 3 = {(x^{2} + 4 x + 5)}^{2} + (x^{2} + 4 x + 4) + 1 + 3 = {(x^{2} + 4 x + 5)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + 4$

Ta có $x^{2} + 4 x + 5$ = $x^{2} + 4 x + 4 + 1$

= ${(x + 2)}^{2}$ + 1 ≥ 1; Ɐx nên ${(x^{2} + 4 x + 5)}^{2}$ ≥ 1; Ɐx

Và ${(x + 2)}^{2}$ ≥ 0; Ɐx ${(x^{2} + 4 x + 5)}^{2}$ + ${(x + 2)}^{2}$ + 4 ≥ 1 + 4

ó ${(x^{2} + 4 x + 5)}^{2}$ + ${(x + 2)}^{2}$ + 4 ≥ 5

Dấu “=” xảy ra khi => x = -2

Vậy giá trị nhỏ nhất của I là 5 khi x = -2

Đáp án cần chọn là: B

Câu 36:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = (x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 2 x + 4)$ là

A. 6

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có

$K = (x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 2 x + 4) = (x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 2 x + 3 + 1) = {(x^{2} + 2 x + 3)}^{2} + (x^{2} + 2 x + 3) = {(x^{2} + 2 x + 3)}^{2} + (x^{2} + 2 x + 1) + 2 = {(x^{2} + 2 x + 3)}^{2} + {(x + 1)}^{2} + 2$

Ta có

$x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ ;Ɐx

Nên ${(x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ ≥ 4; Ɐx

Và ${(x + 1)}^{2}$ ≥ 0; Ɐx nên ${(x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ + ${(x + 1)}^{2}$ + 2 ≥ 4 + 2

ó ${(x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ + ${(x + 1)}^{2}$ + 2 ≥ 6

Dấu “=” xảy ra khi => x = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 6 khi x = -1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 37:

Biểu thức ${(a + b + c)}^{2}$ bằng

A. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

B. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + a c + b c$

C. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + a c + b c$

D. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 (a b + a c + b c)$

Xem đáp án

Ta có

${(a + b + c)}^{2} = {[(a + b) + c]}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 (a + b) . c + c^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 38:

Biểu thức ${(a - b - c)}^{2}$ bằng

A. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 (b c + a c + a b)$

B. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + b c - a c - 2 a b$

C. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (b c - a c + a b)$

D. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (b c - a c - a b)$

Xem đáp án

Ta có

${(a - b - c)}^{2} = {[(a - b) - c]}^{2} = {(a - b)}^{2} - 2 (a - b) . c + c^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} - 2 a c + 2 b c + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (b c - a c - a b)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 39:

Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức

$A = {(3 x - 2)}^{2} + {(3 x + 2)}^{2} + 2 (9 x^{2} - 6)$

tại $x = \frac{- 1}{3}$

A. A = $36 x^{2}$ + 4 và A = 8 khi $x = \frac{- 1}{3}$

B. A = $36 x^{2}$ + 4 và A = 0 khi $x = \frac{- 1}{3}$

C. A = $18 x^{2}$ - 4 và A = 0 khi $x = \frac{- 1}{3}$

D. A = $36 x^{2}$ - 4 và A = 0 khi $x = \frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Ta có

$A = {(3 x - 2)}^{2} + {(3 x + 2)}^{2} + 2 (9 x^{2} - 6) = (3 x^{2}) - 2.3 x .2 + 2^{2} + {(3 x)}^{2} + 2.3 x .2 + 2^{2} + 18 x^{2} - 12 = 9 x^{2} - 12 x + 4 + 9 x^{2} + 12 x + 4 + 18 x^{2} - 12 = 36 x^{2} - 4$

Vậy A = $36 x^{2} - 4$

Thay $x = \frac{- 1}{3}$ vào A = $36 x^{2} - 4$ ta được $A = 36. {(\frac{- 1}{3})}^{2} - 4 = 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 40:

Cho $M = 77^{2} + 75^{2} + 73^{2} + \dots + 3^{2} + 1^{2}$

và $N = 76^{2} + 74^{2} + \dots + 2^{2}$

Tính giá trị của biểu thức $\frac{M - N - 3}{3000}$ .

A. 10

B. 30

C. 1

D. 100

Xem đáp án

$M - N = 77^{2} + 75^{2} + 73^{2} + \dots + 3^{2} + 1^{2} - (76^{2} + 74^{2} + \dots + 2^{2}) = (77^{2} - 76^{2}) + (75^{2} - 74^{2}) + (73^{2} - 71^{2}) + \dots + (3^{2} - 2^{2}) + 1^{2} = (77 + 76) (77 - 76) + (75 + 74) (75 - 74) + \dots + (3 + 2) (3 - 2) + 1 = (77 + 76) . 1 + (75 + 74) . 1 + \dots + (3 + 2) . 1 + 1 = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + \dots + 3 + 2 + 1 = \frac{77 + 1}{2} . 77 = 3003$

$\Rightarrow \frac{M - N - 3}{3000} = \frac{3003 - 3}{3000} = \frac{3000}{3000} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 41:

Cho ${(a + b + c)}^{2} = 3 (a b + b c + a c)$ . Khi đó

A. a = -b = -c

B. $a = b = \frac{c}{2}$

C. a = 2b = 3c

D. a = b = c

Xem đáp án

Ta có

${(a + b + c)}^{2} = 3 (a b + b c + a c) a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c = 3 a b + 3 a c + 3 b c a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c = 0 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c = 0 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + (c^{2} - 2 a c + a^{2}) = 0 {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2} = 0$

Lại thấy ${(a - b)}^{2} \geq 0; {(b - c)}^{2} \geq 0; {(a - c)}^{2} \geq 0$ với mọi a, b, c

Nên ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2}$ ≥ 0 với mọi a, b, c

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 42:

Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là 211 cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?

A. 106 cây

B. 11025 cây

C. 11236 cây

D. 105 cây

Xem đáp án

Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là y cây (y Є N^*)

Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là x cây (x Є N^*)

Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là $y^{2}$ cây

Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là $x^{2}$ cây

Theo bài ra ta có $y^{2} - x^{2}$ = 211

ó (y – x)(y + x) = 211

Mà 211 là số nguyên tố và y – x < y + x nên ta có (y – x)(y + x) = 1.211 hay

$\{\begin{cases} y - x = 1 (1) \\ y + x = 211 (2) \end{cases}$

Từ (1) suy ra y = x + 1, thay xuống (2) ta được x + 1 + x = 211 ó 2x = 210 ó x = 105

Suy ra y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106

Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là $106^{2}$ = 11236 cây

Đáp án cần chọn là: C