15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Bài tập tự luyện có đáp án

c) Các tia phân giác của góc A và B cắt nhau ở I và cắt các tia phân giác các góc C và D thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng tứ giác OEIF có các góc đối bù nhau.

Xem đáp án

c) Chứng minh tương tự như câu b, ta được $\hat{E I F} = \frac{\hat{C} + \hat{D}}{2}$

Do đó:

\hat{C O D} + \hat{E I F} = \frac{\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D}}{2} = \frac{360^{0}}{2} = 180^{0}

. Suy ra:

\hat{O E I} + \hat{O F I} = 360^{0} - 180^{0} = 180^{0}

Câu 11:

Cho tứ giác ABCD,

\hat{A} - \hat{B} = 50^{0} .

Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết

\hat{C O D} = 115^{0} .

Chứng minh rằng

A B ⊥ B C .

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD, góc A - góc B = 50 độ. Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết góc COD = 115 độ (ảnh 1)

Xét $Δ COD$ có $\hat{C O D} = 180^{0} - (\hat{C_{2}} + \hat{D_{2}}) = 180^{0} - \frac{\hat{C} + \hat{D}}{2}$

(vì $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}; \hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$ ).

Xét tứ giác ABCD có $\hat{C} + \hat{D} = 360^{0} - (\hat{A} + \hat{B}),$ do đó

$\hat{C O D} = 180^{0} - \frac{360^{0} - (\hat{A} + \hat{B})}{2} = 180^{0} - 180^{0} + \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} .$

Vậy $\hat{C O D} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} .$ Theo đề bài $\hat{C O D} = 115^{0}$ nên $\hat{A} + \hat{B} = 230^{0} .$

Mặt khác, $\hat{A} - \hat{B} = 50^{0}$ nên $\hat{B} = (230^{0} - 50^{0}) : 2 = 90^{0} .$ Do đó $A B ⊥ B C .$

Câu 12:

Cho tứ giác lồi ABCD có

\hat{B} + \hat{D} = 180^{0}; C B = C D

. Chứng minh AC là tia phân giác của

\hat{B A D}

.

Xem đáp án

Cho tứ giác lồi ABCD có góc B + góc D = 180 độ, CB = CD. Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD (ảnh 1)

Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho $B I = A D .$

Ta có $\hat{A D C} = \hat{I B C}$ (cùng bù với $\hat{ABC}$ )

$A D = I B, D C = B C$ . Từ đó ta có $Δ ADC = Δ IBC$ .

Suy ra: $\hat{DAC} = \hat{BIC}$ và $A C = I C .$

Tam giác ACI cân tại C nên $\hat{BAC} = \hat{BIC} = \hat{DAC}$ .

Vậy AC là phân giác trong $\hat{BAD}$

Câu 13:

Tứ giác ABCD có

\overset{⏜}{C} + \overset{⏜}{D} = 90^{0}

. Chứng minh rằng

{AC}^{2} + {BD}^{2} = {AB}^{2} + {CD}^{2}

Xem đáp án

Tứ giác ABCD có góc C + góc D = 90 độ . Chứng minh rằng AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2 (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm AD và BC.

Ta có $\hat{C} + \overset{⏜}{D} = 90^{0}$ nên $\hat{O} = 90^{0}$

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có

$A C^{2} = O A^{2} + O C^{2} .$

$B D^{2} = O B^{2} + O D^{2}$

Nên $A C^{2} + B D^{2} = (O A^{2} + O B^{2}) + (O C^{2} + O D^{2}) = A B^{2} + C D^{2}$

Câu 14:

Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

$MA + MC \geq AC, MB + MD \geq BD$

Từ đó suy ra $MA + MB + MC + MD \geq AC + BD$

$MA + MB + MC + MD = AC + BD$ khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì $M A + M B + M C + M D$ nhỏ nhất.

Câu 15:

Cho tứ giác ABCD có

\hat{A} = \hat{C}

tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở N. Chứng minh rằng: BM // CN

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD có góc A = góc C tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở N. (ảnh 1)

Xét tứ giác ABCD có: $\hat{B} + \hat{D} = 360^{o} - (\hat{A} + \hat{C}) = 360^{o} - 2 \hat{C} .$

Vì $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}; \hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$ nên $\hat{B_{1}} + \hat{D_{1}} = 180^{o} - \hat{C}$

$\Rightarrow \hat{B_{1}} + \hat{D_{1}} + \hat{C} = 180^{o} .$ (1)

Xét $△$ BCM có $\hat{B_{1}} + \hat{M_{1}} + \hat{C} = 180^{o} .$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{D_{1}} = \hat{M_{1}} .$ Do đó BM // CN