13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Bài nâng cao và phát triển tư duy có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ

M E ⊥ A B, M F ⊥ A C

. Tính số đo các góc của tam giác DEF.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ ME vuông AB (ảnh 1)

Tứ giác AEM có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => AE = MFF

Tam giác FMC vuông tại $F, \hat{C} = 45 °$ nên là tam giác vuông cân => CF = MF. Do đó AE = CF.

Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên $A D = D C = \frac{1}{2} B C; \hat{E A D} = \hat{F C D} = 45 ° .$

$Δ E D A = Δ F D C (c . g . c) \Rightarrow D E = D F$ và $\hat{E D A} = \hat{F D C}$

Ta có: $\hat{A D F} + \hat{F D C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A D F} + \hat{E D A} = 90 °$ hay $\hat{E D F} = 90 ° .$

Do đó $△$ DEF vuông cân $\Rightarrow \hat{E} = \hat{F} = 45 °; \hat{E D F} = 90 ° .$

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD. Biết

A D = \frac{1}{2} A C

và

\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}

. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $A D = \frac{1}{2} A C$ nên AD = AO

Vẽ $A H ⊥ O D, O K ⊥ A B .$

Xét $Δ A O D$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $H O = H D$ và $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Vì $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ nên $\hat{A_{3}} = \hat{A_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

$Δ A O K = Δ A O H$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O K = O H = \frac{1}{2} O D \Rightarrow O K = \frac{1}{2} O B \Rightarrow \hat{B_{1}} = 30 ° .$

Xét $Δ A B H$ vuông tại H có $\hat{B_{1}} = 30 °$ nên $\hat{H A B} = 60 °$ suy ra $\hat{D A B} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 3:

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}

.

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: .S = MA^2 + MB^2 + MC^2 +MD^2 (ảnh 1)

ABCD là hình chữ nhật nên $A C = B D = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10.$

Ta đặt $M A = x, M C = y$ .

Xét ba điểm M, A, C ta có: $M A + M C \geq A C$

do đó $x + y \geq 10 \Rightarrow {(x + y)}^{2} \geq 100$ hay $x^{2} + y^{2} + 2 x y \geq 100.$ (1)

Mặt khác, ${(x - y)}^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} - 2 x y \geq 0.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2 (x^{2} + y^{2}) \geq 100$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 50.$

Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự, ta được: $M B^{2} + M D^{2} \geq 50$ dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.

Vậy $M A^{2} + M C^{2} + M B^{2} + M D^{2} \geq 100.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ

O D ⊥ A B, O E ⊥ B C

và

O F ⊥ C A

. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD vuông AB, OE vuông CA và OF vuông CA. (ảnh 1)

Vẽ $A H ⊥ B C, O K ⊥ A H .$ .

Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.

Xét $Δ A O D$ vuông tại O, ta có

$O D^{2} + A D^{2} = O A^{2} \geq A K^{2} .$

Do đó $O D^{2} + O F^{2} + O E^{2} = O D^{2} + A D^{2} + O E^{2} \geq A K^{2} + K H^{2}$

$\geq \frac{{(A K + K H)}^{2}}{2} = \frac{A H^{2}}{2}$ (không đổi)

Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $\frac{A H^{2}}{2}$ khi O là trung điểm của AH.

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2}$

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. (ảnh 1)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90 ° .$

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$M N^{2} = B M^{2} + B N^{2}; N P^{2} = C N^{2} + C P^{2}; P Q^{2} = D P^{2} + D Q^{2}; Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} .$

Do đó:

$S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2} = (A M^{2} + B M^{2}) + (B N^{2} + C N^{2}) + (C P^{2} + D P^{2}) + (D Q^{2} + A Q^{2})$

Vận dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$ (dấu ''='' xảy ra khi a = b), ta được:

$S \geq \frac{{(A M + B M)}^{2}}{2} + \frac{{(B N + C N)}^{2}}{2} + \frac{{(C P + D P)}^{2}}{2} + \frac{{(D Q + A Q)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{B C^{2}}{2} + \frac{C D^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} = \frac{2 (A B^{2} + B C^{2})}{2} = A C^{2} = d^{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $d^{2}$ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Xem đáp án

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE. (ảnh 1)

Vẽ $D H ⊥ B C, E K ⊥ B C$ và $D F ⊥ E K$

Tứ giác DFKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Suy ra DF = HK.

$Δ H B D$ vuông tại H có $\hat{B} = 60 °$ nên $\hat{D_{1}} = 30 ° \Rightarrow B H = \frac{1}{2} B D .$

$Δ K C E$ vuông tại K có $\hat{C} = 60 °$ nên ${\hat{E}}_{1} = 30 ° \Rightarrow C K = \frac{1}{2} C E = \frac{1}{2} A D .$

Ta có: $D E \geq D F = H K = B C - (B H + K C) = B C - (\frac{1}{2} B D + \frac{1}{2} A D) = B C - \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là $\frac{a}{2}$ khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ $M D ⊥ A B, M E ⊥ A C$ và $A H ⊥ B C$ . Tính số đo của góc DHE.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ MD vuông AB, ME vuông AC (ảnh 1)

Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên AM = DE.

Gọi O là giao điểm của AM và DE, ta có: OA = OM = OD = OE.

Xét $Δ A H M$ vuông tại H, ta có: $H O = \frac{1}{2} A M$

$\Rightarrow H O = \frac{1}{2} D E .$

Xét $Δ H D E$ có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE mà $H O = \frac{1}{2} D E$ nên $Δ H D E$ vuông tại $H \Rightarrow \hat{D H E} = 90 ° .$

Câu 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ $H E ⊥ A B, H F ⊥ A C$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.

a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD (ảnh 1)

a) Tứ giác AFHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => OA = OF = OH = OE.

Xét $Δ A B C$ vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên AD = DB = DC

$Δ D A C$ cân $\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{C} .$

Mặt khác, $\hat{C} = \hat{A_{2}}$ (cùng phụ với $\hat{B}$ );

$\hat{A_{2}} = \hat{E_{1}}$ (hai góc ở đáy của tam giác cân)

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{E_{1}} .$

Gọi K là giao điểm của AD và EF.

Xét $Δ A E F$ vuông tại A có $\hat{E_{1}} + \hat{F_{1}} = 90 ° \Rightarrow \hat{A_{1}} + \hat{F_{1}} = 90 ° \Rightarrow \hat{K} = 90 °$ .

Do đó: $A D ⊥ E F,$ (1)

Ta có: $Δ O E M = Δ O H M (c . c . c) \Rightarrow \hat{O E M} = \hat{O H M} = 90 ° \Rightarrow E M ⊥ E F .$ (2)

Chứng minh tương tự, ta được: $F N ⊥ E F .$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì cùng vuông góc với EF).

Câu 9:

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cách đều.

Xem đáp án

b) Ba đường thẳng EM, FN và AD là ba đường thẳng song song cách đều

$\Leftrightarrow K F = K E \Leftrightarrow K \equiv O \Leftrightarrow A D \equiv A H \Leftrightarrow Δ A B C$ vuông cân.

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. (ảnh 1)

Vẽ $D E ⊥ B C, D F ⊥ A H .$

$Δ H A B$ và $Δ F D A$ có: $\hat{H} = \hat{F} = 90 °$ ; AB = AD

$\hat{H A B} = \hat{F D A}$ (cùng phụ với $\hat{F A D}$ ).

Do đó $Δ H A B = Δ F D A$ (cạnh huyền-góc nhọn)

=> AH = FD (1)

Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

=> HE = FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = HE

Ta có $A M = E M = \frac{1}{2} B D .$

$Δ A H M = Δ E H M (c . c . c) \Rightarrow \hat{A H M} = \hat{E H M} .$

Do đó tia HM là tia phân giác của góc AHC

Câu 11:

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = 8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH.

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = 8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H. (ảnh 1)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HE, HF và FG

Theo tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:

$E F = 2 M N; F G = 2 C P; G H = 2 N P; H E = 2 A M .$

Do đó chu vi của hình tứ giác EFGH là:

$E F + F G + G H + H E = 2 (A M + M N + N P + P C) .$

Xét các điểm A, M, N, P, C, ta có: $A M + M N + N P + P C \geq A C$ (không đổi).

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 15^{2} + 8^{2} = 289 \Rightarrow A C = 17.$

Vậy chu vi của tứ giác $E F G H \geq 2.17 = 34$ (dấu ''='' xảy ra <=> M, N, P nằm trên AC theo thứ tự đó <=> EF // AC // HG và HE // BD // FG).

Do đó giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH là 34.

$E F = 2 M N; F G = 2 C P; G H = 2 N P; H E = 2 A M .$

Câu 12:

Cho góc xOy có số đo bằng $30 °$ . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2BBA. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?

Xem đáp án

Cho góc xOy có số đo bằng 30 độ. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Vẽ $A H ⊥ O y, M D ⊥ O y$ và $C E ⊥ O y .$

Xét $Δ A O H$ vuông tại H, có $\hat{O} = 30 °$ nên

$A H = \frac{1}{2} O A = 1 c m . Δ M D B = Δ A H B \Rightarrow M D = A H = 1 c m .$

Xét $Δ B C E$ , dễ thấy MD là đường trung bình nên CE = 2MD = 2cm

Điểm C cách Oy một khoảng là 2cm nên C di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 2cm.

Câu 13:

Cho góc xOy có số đo bằng $45 °$ . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho $O A = 3 \sqrt{2} c m$ . Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm G di động trên đường nào?

Xem đáp án

Cho góc xOy có số đo bằng 45 độ. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 3 căn bậc hai 2. (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của OB.

Khi đó $G \in A M$ và AG = 2GM.

Gọi N là trung điểm của AG, ta được AN = NG = GM.

Vẽ AD, NE, GF cùng vuông góc với Oy.

Ba đường thẳng AD, NE và GF là ba đường thẳng song song cách đều nên DE = EF = FM

Ta đặt FG = x thì EN = 2x và $E N = \frac{F G + A D}{2}$ . Do đó $2 x = \frac{x + A D}{2} \Rightarrow A D = 3 x$ .

Xét $Δ D O A$ vuông cân tại $D \Rightarrow O A^{2} = 2 D A^{2}$ .

Do đó $2 D A^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} \Rightarrow D A = 3 (c m) \Rightarrow F G = 1 c m .$

Điểm G cách Oy một khoảng không đổi là 1cm nên điểm G di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 1cm.