23 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 7: Bài tập tự luyện (Phiếu số 2)

Câu 1:

b) Dựa vào tính chất đường trung bình ta chứng minh:

$\{\begin{cases} E F = H G (= \frac{1}{2} A C) \\ E F // H G (// A C) \end{cases}$ => Tứ giác EFGH là hình bình hành.(*)

Dễ có

$\{\begin{cases} A C ⊥ B D \\ A C // E F \end{cases} \Rightarrow E F ⊥ B D$ mà BD // EH nên $E F ⊥ E H$ suy ra $\hat{F E H} = 90^{o}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (DHNB).

Câu 2:

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC,E là điểm đối xứng của H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, EC. Các đường thẳng AM, AN cắt HE lần lượt tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật. (ảnh 1)

a) Chứng minh: AHCE là hình bình hành;

\hat{A H C} = 90^{o}

, suy ra AHCE là hình chữ nhật.

Câu 3:

b) Chứng minh HG = GK = KE

Xem đáp án

b) Chứng minh G, K lần lượt là trọng tâm của $Δ A H C, Δ A E C$ và sử dụng tính chất hai đường chéo hình chữ nhật suy ra dpcm.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Chứng minh $\hat{D A E} = 180^{o}$

Câu 5:

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

Xem đáp án

b) Chứng minh $\hat{A I M} = \hat{A K M} = \hat{I A K} = 90^{o}$

Câu 6:

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Xem đáp án

c) Chứng minh $Δ D M E$ có $\hat{E D M} = \hat{D E M} = 45^{o}$

Câu 7:

Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kì trên đường chéo BD.Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH, FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB, AD tại H và K. Chứng minh:

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kì Chứng minh: a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật. (ảnh 1)

a) $\hat{F H A} = \hat{H A K} = \hat{A K F} = 90^{o}$ suy ra AHFK là hình chữ nhật.

Câu 8:

b) AF song song với BD

Xem đáp án

b) Gọi ${O} = A C \cap B D$

Chứng minh OE là đường trung bình của tam giác ACF => $A F // O E \Rightarrow A F // B D .$

Câu 9:

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Xem đáp án

c) Gọi I là giao điểm của AF và HK

Chứng minh $\hat{H_{1}} = \hat{A_{1}} (= \hat{A_{2}} = \hat{B_{1}})$ Suy ra KH // AC mà KH đi qua trung điểm I của AF nên sẽ đi qua trung điểm của FC.

Mà E là trung điểm của FC => K, H, E thẳng hàng.

Câu 10:

Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm (ảnh 1)

Dễ có dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh IMNK là hình chữ nhật => IN = KM.

Câu 11:

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC, I là trung điểm của AE, M là trung điểm của CD, H là trung điểm của BE.

a. Chứng minh rằng CM // IM

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC a. Chứng minh rằng CM // IM (ảnh 1)

a) Dựa vào tính chất đường trung bình ta có $\{\begin{cases} I H // A B \\ I H = \frac{1}{2} A B \end{cases}; \{\begin{cases} C M // A B \\ C M = \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} A B \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I H // CM \\ I H = C M \end{cases} \Rightarrow I M C H$ là hình bình hành (dhnb)

Câu 12:

b. Tính góc $\hat{B I M}$ .

Xem đáp án

b) Dễ có H là trực tâm của tam giác $Δ I B C$ nên $C H ⊥ I B$

Theo câu a) ta có CH // IM suy ra $I M ⊥ I B \Rightarrow \hat{B I M} = 90^{o}$

Câu 13:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Chứng minh:

a) $\hat{I H K} = 90^{o}$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Chứng minh: a) góc IHK = 90 độ (ảnh 1)

a) Dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông đối với hai tam giác $△ H C A; △ H A B$

ta có: $H K = K C = K A; H I = I B = I A \Rightarrow △ I H A; △ K H A$ lần lượt cân tại I, K

Do vậy $\hat{K H I} = \hat{K H A} + \hat{A H I} = \hat{K A H} + \hat{H A I} = \hat{C A B} = 90^{o?}$

Câu 14:

b) Chu vi $Δ I H K$ bằng nửa chu vi $Δ A B C$ .

Xem đáp án

b)

P_{I H K} = I H + I K + K H = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} C B = \frac{1}{2} (A B + A C + C B) = \frac{1}{2} P_{A B C}

Câu 15:

Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB , đường thẳng MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC a) Tứ giác AMBQ là hình gì? (ảnh 1)

a) Ta chứng minh tứ giác AMBQ là hình chữ nhật ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

Câu 16:

b) Chứng minh rằng $C H ⊥ A B$ .

Xem đáp án

b) Tứ giác AMBQ là hình chữ nhật nên $\hat{A Q B} = 90^{o} \Rightarrow B Q ⊥ A C$ mà $A I ⊥ B C$ nên H là trực tâm tam giác ABC.

Câu 17:

c) Chứng minh rằng tam giác PIQ cân.

Xem đáp án

c) Ta chứng minh $P I = \frac{1}{2} A B; P Q = \frac{1}{2} M Q = \frac{1}{2} A B$ .

Câu 18:

Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Xem đáp án

a) Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác ta suy ra $\{\begin{cases} Q N // A O \\ P M // A O \\ Q N = P M = \frac{1}{2} A O \end{cases}$

nên tứ giác QNMP là hình bình hành.

Câu 19:

b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Xem đáp án

b) Để hình bình hành QNMP thành hình chữ nhật khi $\hat{N Q P} = 90^{o} \Leftrightarrow N Q ⊥ Q P$ mà $\{\begin{cases} N Q // A O \\ Q P // B C \end{cases} \Rightarrow A O ⊥ B C \Rightarrow O$ thuộc đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC .

Câu 20:

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác ta có tứ giác HGFE là hình bình hành.

Do vậy, tứ giác đó muốn trở thành hình chữ nhật thì $\hat{E H G} = 90^{o} \Rightarrow H C ⊥ E H$ mà $H C // A C; E H // B D \Rightarrow A C ⊥ B D$ .Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc thì tứ giác HGFE là hình chữ nhật.

Câu 21:

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Xem đáp án

a) Ta chứng minh qua điểm M nằm ngoài đường thẳn DC có $\{\begin{cases} M N // D C \\ M P // D C \\ M Q // D C \end{cases} \Rightarrow M, N, P, Q$ thẳng hàng.

Câu 22:

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.

Xem đáp án

b) Ta có $\{\begin{cases} N P // AB \\ AP=NB= \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} D B \end{cases} \Rightarrow A B P N$ là hình thang cân.

Câu 23:

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa AB, CD để ABPN là hình chữ nhật.

Xem đáp án

c) ABPN là hình chữ nhật khi AB = NP

ta có $D C = 2 M Q - A B = 2 (M N + N P + P Q) - A B = 2 (\frac{1}{2} A B + A B + \frac{1}{2} A B) - A B = 3 A B$ .