13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Bài luyện tập 2 có đáp án

Câu 1:

\frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} + 2 x} = \frac{A}{x}

Xem đáp án

Từ $\frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} + 2} = \frac{A}{x}$ suy ra

A = $\frac{x (4 x^{2} - 16)}{x^{2} + 2 x} = \frac{x [{(2 x)}^{2} - 4^{2}]}{x^{2} + 2 x} = \frac{x (2 x - 4) (2 x + 4)}{x (x + 2)} = \frac{x . 2 (x - 2) . 2 (x + 2)}{x (x + 2)} = 4 (x - 2) = 4 x - 8$

Câu 2:

Chứng minh rằng: $\frac{2 x^{2} + 3 x y + y^{2}}{2 x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3}} = \frac{1}{x - y} .$

Xem đáp án

Phân tích tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử: $2 x^{2} + 3 x y + y^{2} = (2 x^{2} + 2 x y) + (x y + y^{2}) = 2 x (x + y) + y (x + y) = (x + y) (2 x + y) .$

Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử: $2 x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} = x^{2} (2 x + y) - y^{2} (2 x + y) = (2 x + y) (x^{2} - y^{2}) = (2 x + y) (x + y) (x - y) .$

Vậy: $\frac{2 x^{2} + 3 x y + y^{2}}{2 x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3}} = \frac{(x + y) (2 x + y)}{(2 x + y) (x + y) (x - y)} = \frac{1}{x - y} .$

Câu 3:

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z : $A = \frac{y}{(x - y) (y - z)} + \frac{z}{(y - z) (z - x)} + \frac{x}{(z - x) (x - y)};$

Xem đáp án

MTC của $A : (x - y) (y - z) (z - x) .$ Ta có: $A = \frac{y (z - x) + z (x - y) + x (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)} = \frac{y z - y x + z x - z y + x y - x z}{(x - y) (y - z) (z - x)} = 0.$

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x,y,z

Câu 4:

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z $B = \frac{x + z}{(x - y) (y - z)} + \frac{x + y}{(x - z) (y - z)} + \frac{y + z}{(x - y) (x - z)} .$

Xem đáp án

MTC của $B : (x - y) (y - z) (z - x) .$ Ta có: $B = \frac{(x + z) + (z - x) + (x + y) (x - y) + (y + z) (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)} = 0.$

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x,y,z

Câu 5:

Tìm x: $x - \frac{3 a + b}{b} = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{b^{2} - a b},$ (a,b là những hằng số);

Xem đáp án

$x - \frac{3 a + b}{b} = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{b^{2} - a b} = \frac{3 a + b}{b} + \frac{2 a (a - b)}{b (b - a)} = \frac{3 a + b}{b} - \frac{2 a}{b} = \frac{a + b}{b};$

Câu 6:

Tìm x: $x + {(a + b)}^{2} = \frac{a^{4} + b^{4}}{{(a - b)}^{2}},$ (a,b là những hằng số).

Xem đáp án

$x + {(a + b)}^{2} = \frac{a^{4} + b^{4}}{{(a - b)}^{2}} = \frac{a^{4} + b^{4} - {(a + b)}^{2} {(a - b)}^{2}}{{(a - b)}^{2}} = \frac{a^{4} + b^{4} - {(a^{2} - b^{2})}^{2}}{{(a - b)}^{2}}$

$= \frac{a^{4} + b^{4} - a^{4} + 2 a^{2} b^{2} - b^{4}}{{(a - b)}^{2}} = \frac{2 a^{2} b^{2}}{{(a - b)}^{2}} .$

Câu 7:

Cho

\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \neq 0.

Rút gọn biểu thức:

\frac{(x^{2} +^{2} + z^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{{(a x + b y + c z)}^{2}} .

Xem đáp án

Đặt

\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \neq 0.

thì

x = k a, y = k b, z = k z .

Thay vào phân thức đã cho ta được:

\frac{(x^{2} +^{2} + z^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{{(a x + b y + c z)}^{2}} = \frac{(k^{2} a^{2} + k^{2} b^{2} + k^{2} c^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{{(k a^{2} + k b^{2} + k c^{2})}^{2}} = \frac{k^{2} {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{k^{2} {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}} = 1.

Câu 8:

Cho $a x + b y + c z = 0,$ hãy rút gọn phân thức: $A = \frac{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}{b c {(y - z)}^{2} + a c {(x - z)}^{2} + a b {(x - y)}^{2}} .$

Xem đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức

${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x),$

Ta bình phương hai vế của đẳng thức đã cho thì được: $a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + c^{2} z^{2} + 2 (a b x y + a c x z + b c y z) = 0,$

Suy ra:

$a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + c^{2} z^{2} = - 2 (a b x y + a c x z + b c y z) .$ (1)

Biến đổi mẫu thức:

$\begin{array}{l} = b c y^{2} - 2 b c y z + b c z^{2} + a c x^{2} - 2 a c x z + a c z^{2} + a b x^{2} - 2 a b x y + a b y^{2} \\ = b c y^{2} + b c z^{2} + a c x^{2} + a c z^{2} + a b x^{2} + a b y^{2} - 2 (a b x y + b c y z + a c x z) \end{array}$ (2)

Thay (1) vào (2) thì mẫu thức của A bằng: $\begin{array}{l} (b c y^{2} + a c x^{2} + c^{2} z^{2}) + (b c z^{2} + a b x^{2} + b^{2} y^{2}) + (a c z^{2} + a b y^{2} + a^{2} x^{2}) \\ = c (b y^{2} + a x^{2} + c z^{2}) + b (c z^{2} + a x^{2} + b y^{2}) + a (c z^{2} + b y^{2} + a x^{2}) \\ = (a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}) (a + b + c) . \end{array}$

Vậy $A = \frac{1}{a + b + c} .$

Câu 9:

Tính giá trị của biểu thức: $\frac{(x - 2) (2 x + 2 x^{2})}{(x + 1) (4 x - x^{3})}$ với $x = - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 x^{2})}{(x + 1) (4 x - x^{3})} = \frac{(x - 2) 2 x (1 + x)}{(x + 1) x (4 - x^{2})} = \frac{(x - 2) 2 x (1 + x)}{(x + 1) x (2 - x) (2 + x)} = - \frac{2}{x + 2} .$

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào biểu thức đã rút gọn ta được:

$\frac{2}{x + 2} = - \frac{2}{- \frac{1}{2} + 2} = \frac{- 2}{\frac{3}{2}} = - \frac{4}{3} .$

Câu 10:

Rút gọn các biểu thức sau: $A = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} + \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{3}}{a^{4} + b^{4}} + \frac{8 a^{7}}{a^{8} + b^{8}};$

Xem đáp án

Ta có: $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}};$

$\frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}} = \frac{2 a (a^{2} + b^{2} + a^{2} - b^{2})}{(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})} = \frac{4 a^{3}}{a^{4} - b^{4}};$

$\frac{4 a^{3}}{a^{4} - b^{4}} + \frac{4 a^{3}}{a^{4} + b^{4}} = \frac{4 a^{3} (a^{4} + b^{4} + a^{4} - b^{4})}{(a^{4} - b^{4}) (a^{4} + b^{4})} = \frac{8 a^{7}}{a^{8} - b^{8}};$

$\frac{8 a^{7}}{a^{8} - b^{8}} + \frac{8 a^{7}}{a^{8} + b^{8}} = \frac{8 a^{7} (a^{8} + b^{8} + a^{8} - b^{8})}{(a^{8} - b^{8}) (a^{8} + b^{8})} = \frac{16 a^{15}}{a^{16} - b^{16}} .$

Vậy $A = \frac{16 a^{15}}{a^{16} - b^{16}}$ $(a \neq \pm b) .$

Câu 11:

Rút gọn các biểu thức sau: $B = \frac{1}{a^{2} + a} + \frac{1}{a^{2} + 3 a + 2} + \frac{1}{a^{2} + 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} + 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} + 9 a + 20} .$

Xem đáp án

Trước hết ta phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

$a^{2} + a = a (a + 1);$

$a^{2} + 3 a + 2 = (a^{2} + a) + (2 a + 2) = (a + 1) (a + 2);$

$a^{2} + 5 a + 6 = (a + 2) (a + 3);$

$a^{2} + 7 a + 12 = (a + 3) (a + 4);$

Ta có: $\frac{1}{a^{2} + a} = \frac{1}{a (a + 1)} = \frac{(a + 1) - a}{a (a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} .$

Câu 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: $\frac{3 + |2 x - 1|}{14}$

Xem đáp án

Vì mẫu thức là $14 > 0$ nên phân thức $\frac{3 + |2 x - 1|}{14}$ có GTNN khi $3 + |2 x - 1|$ có GTNN.

Vì nên $|2 x - 1| \geq 0$ nên $3 + |2 x - 1| \geq 3$ , suy ra $3 + |2 x - 1| \geq 3$ có GTNN bằng 3 khi $2 x - 1 = 0$ , tức là $x = \frac{1}{2}$ . Khi đó GTNN của phân thức bằng $\frac{3}{14}$ .

Câu 13:

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: $\frac{- 4 x^{2} + 4 x}{15}$

Xem đáp án

Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN khi $- 4 x^{2} + 4 x$ có GTLN.

Ta có $- 4 x^{2} + 4 x = 1 - {(2 x - 1)}^{2}$ . Vì $- {(2 x - 1)}^{2} \leq 0$ nên $1 - {(2 x - 1)}^{2} \leq 1$ .

GTLN của phân thức bằng $\frac{1}{15}$ khi $x = \frac{1}{2}$ .