19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Bài nâng cao phát triển tư duy có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi. (ảnh 1)

Cách 1: Vì D, Elà trung điểm của các cạnh BC, AB => DE là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D E = \frac{1}{2} A C$ (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC, => DF là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D F = \frac{1}{2} A B$ (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh AB, AC => $A E = \frac{1}{2} A B, A F = \frac{1}{2} A C$ (3)

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDFcó AE = ED = DF = FA => AEDF là hình thoi.

Cách 2: Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC => DF là đường trung bình của $Δ A B C$

=> $D F / / A B$ và $D F = \frac{1}{2} A B$

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác AEDF có $\{\begin{cases} D F / / A E \\ D F = A E \end{cases} \Rightarrow E A D F$ là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có $A E = A F (= \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C) \Rightarrow A E D F$ là hình thoi.

Câu 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng không chứa Acó bờ là đường thẳng chứa cạnh BC, vẽ tia Bx // AC và tia Cy // AB. Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và Cy. Chứng minh: tứ giác ACDB là hình thoi.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng không chứa Acó bờ là đường thẳng chứa cạnh BC, vẽ tia Bx // AC và tia Cy // AB. (ảnh 1)

Vì $\{\begin{cases} C y / / A B \\ B x / / A C \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} C D / / A B \\ B D / / A C \end{cases}$

Tứ giác ACDB có $\{\begin{cases} C D / / A B \\ B D / / A C \end{cases} \Rightarrow A C D B$ là hình bình hành.

Hình bình hành ACDB có AB = AC (tam giác ABC cân tại A) => AEDF là hình thoi.

Câu 3:

Cho $△$ ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Xem đáp án

Cho ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. (ảnh 1)

Vì $△$ ABC cân tại B có đường cao BE => BE là đường trung tuyến

=> EA = EC (1)

Ta có : EB = ED (gt) (2)

Từ (1) và (2) => ABCD là hình bình hành.

Vì BE là đường cao của $△$ ABC => $B E ⊥ A C$

Hình bình hành ABCD có $B E ⊥ A C$ => ABCD là hình thoi.

Câu 4:

Cho $Δ A B C$ cân tại B. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của $\hat{A B C}$ tại D. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Xem đáp án

Cho ABC cân tại B. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của góc ABC tại D. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. (ảnh 1)

Vì $C D / / A B \Rightarrow \hat{A B D} = \hat{B D C}$ (so le trong) (1)

Vì BD là phân giác của $\hat{A B C} \Rightarrow \hat{A B D} = \hat{D B C}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\hat{B D C} = \hat{D B C} \Rightarrow Δ B C D$ cân tại $D \Rightarrow C B = C D$ (3)

Vì $△$ ABC cân tại B => CB = AB (4)

Từ (3) và (4) => AB = CD.

Tứ giác ABCD có $\{\begin{cases} A B = C D \\ A B / / C D \end{cases} \Rightarrow A B C D$ là hình bình hành.

Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB là phân giác của $\hat{A B C} \Rightarrow$ => ABCD là hình thoi.

Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB = AB => ABCD là hình thoi.

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD có $A D ⊥ A C$ . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD có AD vuông AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $\{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Tứ giác AMCN có $\{\begin{cases} A M = C N \\ A M / / C N \end{cases} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\{\begin{cases} A M = D N \\ A M / / D N \end{cases} \Rightarrow A M N D$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $A D ⊥ A C \Rightarrow M N ⊥ A C$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Câu 6:

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\hat{D A C}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K.Tia phân giác của $\hat{E B C}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh: MINK là hình thoi.

Xem đáp án

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AK và BN.

Ta có $\hat{C B E} = \hat{C A D}$ ( vì cùng phụ với $\hat{A C B}$ ) $\Rightarrow \frac{1}{2} \hat{C B E} = \frac{1}{2} \hat{C A D}$

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Ta có $△$ ABD vuông tại D nên $\hat{D A B} + \hat{D B A} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O B D} = 90^{0} \Rightarrow \hat{D A B} + \hat{I B A} + \hat{I B O} + \hat{O A D} = 90^{0} (1) \Rightarrow \hat{A B O} + \hat{O A B} = 90^{0}$

Suy ra $△$ ABO vuông tại O $\Rightarrow A K ⊥ B N$ tại O.

$△$ AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ AMN cân tại A

Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN $\Rightarrow \{\begin{cases} I M = I N \\ K M = K N \end{cases}$ (2)

và O là trung điểm của MN (3)

$△$ BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên $△$ BIK cân tại B

Do đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK => IM = KM (4)

và O là trung điểm của IK (5)

Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM = KM = KN = IN

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

$\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{D A O} = \hat{C B O} = \hat{E B O}$

Câu 7:

Cho hình thoi ABCD có $\hat{B} > 90^{\circ}$ . Kẻ $B E ⊥ A D$ tại E, $B F ⊥ D C$ tại F, $D G ⊥ A B$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD có góc B > 90 độ. Kẻ BE vuông AD tại E, BF vuông DC tại F, DG vuông AB tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. (ảnh 1)

Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình thoi)

mà $B F ⊥ C D$

$\Rightarrow B F ⊥ A B \Rightarrow \hat{A B F} = 90 ° \Rightarrow \hat{M B N} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$

Mà $\hat{A} = 90^{\circ} - \hat{A B E}$ (vì $△$ ABE vuông tại E)

$\Rightarrow \hat{A} = \hat{M B N}$

Ta có: $\{\begin{cases} D G ⊥ A B \\ B F ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B F / / D G$ hay BN // DM

Chứng minh tương tự, ta có: $\{\begin{cases} D H ⊥ A D \\ B E ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow B E / / D H$ hay BM // DN

=> Tứ giác BMDN là hình bình hành

=> $\hat{M B N} = \hat{M D N} = \hat{A}$

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - \hat{M B N}$ (hai góc trong cùng phía)

$\hat{M B N} + \hat{B N D} = 180^{\circ} \to \hat{B N D} = 180^{\circ} - \hat{M B N} \hat{B N D} = \hat{B M D} = \hat{B}$

Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD

Câu 8:

Cho $△$ ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\hat{B A C}$ cắt BC tại I. Chứng minh: $A I ⊥ M N$ .

Xem đáp án

Cho ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của BAC cắt BC tại I. (ảnh 1)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD.

$△$ ABD: N, Q là trung điểm của BD, AD => NQ là đường trung bình của $△$ ABD

=> $\{\begin{cases} N Q / / A B \\ N Q = \frac{1}{2} A B \end{cases}$ (1)

$△$ ABC: M, P là trung điểm của AC, BC => MP là đường trung bình của $△$ ABC

=> $\{\begin{cases} M P / / A B \\ M P = \frac{1}{2} A B \end{cases}$ (2)

Từ (1), (2) => MQNP là hình bình hành.

$△$ BCD: N, P là trung điểm của BD, BC => NP là đường trung bình của $△$ ABC

=> $N P = \frac{1}{2} . C D$

Vì CD = AB => NP = NQ.

Hình bình hành MQNP có NP = NQ => MQNP là hình thoi

=> $P Q ⊥ M N$ và QP là phân giác của $\hat{N Q M}$

QP là phân giác của $\hat{N Q M} \Rightarrow \hat{N Q P} = \frac{1}{2} \hat{N Q M}$ (3)

Ta có: AI là phân giác của $\hat{B A C} \Rightarrow \hat{B A I} = \frac{1}{2} \hat{B A C}$ (4)

Vì NQ // AB => $\hat{N Q M} = \hat{B A C}$ (5)

Từ (3), (4), (5) => $\hat{B A I} = \hat{N Q P}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

=> AI // PQ, mà $P Q ⊥ M N$ => AI // MN

Câu 9:

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{A} < 90^{\circ}$ và AD = 2.AB . Kẻ $C H ⊥ A B$ có $\hat{A} < 90^{\circ}$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $\hat{B A D} = 2. \hat{A H M}$

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD góc A < 90 độ có và AD = 2.AB . Kẻ CH vuông AB có góc A < 90 độ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành => $A D = B C$ , $A B = C D = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C$

Vì M, N là trung điểm của AD, BC => $M D = N C = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C$ .

Tứ giác DMNC có $\{\begin{cases} D M = C N (= \frac{1}{2} A B) \\ D M / / C N \end{cases} \Rightarrow D M N C$ là hình bình hành

Hình bình hành DMNC có $C D = D M (= \frac{1}{2} A D) \Rightarrow D M N C$ là hình thoi.

Gọi F là giao điểm của MN và CE.

DMNC là hình thoi => MN // CD.

Hình thang $A D C E (A E / / D C)$ có $\{\begin{cases} M A = M D \\ M N / / C D \end{cases} \Rightarrow F C = F E$

Ta có: $\{\begin{cases} M F / / A E \\ A E ⊥ C E \end{cases} \Rightarrow M F ⊥ C E$

$△$ MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến => $△$ MEC cân tại M

=> MF là đường phân giác của $\hat{E M C} \Rightarrow \hat{E M F} = \hat{C M F}$ (1)

DMNC là hình thoi => MC là phân giác của $\hat{N M D} \Rightarrow \hat{C M F} = \hat{C M D}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\hat{E M F} = \hat{C M F} = \hat{C M D} = \frac{1}{2} \hat{N M D}$ (3)

Ta có: $\hat{A E M} = \hat{E M F}$ (vì AB // MN) (4)

Ta có: $\hat{B A D} = \hat{N M D}$ (hai góc đồng vị) (5)

Từ (3), (4), (5) => $\hat{B A D} = 2. \hat{A H M}$

Câu 10:

Cho hình thoi ABCD . Trên AB, CD lấy E, F sao cho $A E = \frac{1}{3} A B$ , $C F = \frac{1}{3} C D$ . Gọi I là giao điểm của EF và DA, K là giao điểm của DE và BI. Chứng minh:

a) Tam giác BDI vuông.

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD . Trên AB, CD lấy E, F sao cho AE = 1/3AB, CF = 1/3CD. Gọi I là giao điểm của EF và DA, K là giao điểm của DE và BI. (ảnh 1)

a) Gọi M là trung điểm của BE => BM = CF.(1)

Vì ABCD là hình thoi => AB // CD => BM // CF (2)

Từ (1) và (2) => BMFC là hình bình hành => $\{\begin{cases} B C = M F \\ B C / / M F \end{cases}$ => MF // AD

$Δ A I E = Δ M Q E (g c g) \Rightarrow A I = M F, E I = E F \Rightarrow A I = A D (= B C)$

$△$ BID có: AI = AD = AB => $△$ BID vuông tại B.

Câu 11:

b) BK = IK

Xem đáp án

△

BID : BA là đường trung tuyến và

B E = \frac{2}{3} B A

=> E là trọng tâm của

△

BID

=> BE là đường trung tuyến => K là trung điểm BI => BK = IK

Câu 12:

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy E đối xứng với A qua B. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC; G là giao điểm của OE và BC; H là giao điểm của OK và CE. Chứng minh: A, G, H thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy E đối xứng với A qua B. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC; (ảnh 1)

Vì ABCD là hình thoi $\{\begin{cases} A B = C D \\ A B / / C D \end{cases}$

Vì E đối xứng với A qua B => AB = BE

=> $\{\begin{cases} B E = C D \\ B E / / C D \end{cases} \Rightarrow B D C E$ là hình bình hành => KB = KC

$△$ ACE: $\{\begin{cases} O A = O C \\ K B = K C \end{cases} \Rightarrow O K$ là đường trung bình của $△$ ACE

=> OK // AB hay OH // AE

$△$ ACE: $\{\begin{cases} O A = O C \\ O H / / A E \end{cases} \Rightarrow H E = H C$ => H là trung điểm CE

Tam giác ACE có EO, CB là các đường trung tuyến => G là trọng tâm tam giác ACE

Mà H là trung điểm CE => A, G, H thẳng hàng.

Câu 13:

Cho hình thoi ABCD có AB = 25cm, AC + BD = 70cm. Tính AC, BD?

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD có AB = 25cm, AC + BD = 70cm. Tính AC, BD? (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử AC > BD.

Đặt OA = x, OB = y (2 > y)

Ta có: $x + y = \frac{O A}{2} + \frac{O B}{2} = \frac{70}{2} = 35$ (1)

$△$ OAB vuông tại A => $A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 25^{2} = 625$ (2)

Từ (1) => ${(x + y)}^{2} = 35^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} = 35^{2} = 1225$ (3)

Từ (2) và (3) => $2 x y = 1225 - 625 = 600$

Mà ${(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 625 - 600 = 25$

=> x - y = 5

Ta có: $\{\begin{cases} x + y = 35 \\ x - y = 5 \end{cases} \Rightarrow x = 20, y = 15$

Vậy $A C = 2. O A = 2 x = 2.20 = 40 c m B D = 2. O B = 2 Y = 2.15 = 30 c m$

Câu 14:

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O. Kẻ $O H ⊥ A B$ . Biết AB = 4cm, OH = 1cm. Tính các góc của hình thoi?

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O. Kẻ OH vuông AB. Biết AB = 4cm, OH = 1cm. Tính các góc của hình thoi? (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của AB

Tam giác OAB vuông tại A có M là trung điểm của AB => $O M = \frac{1}{2} A B = 2 c m$ .

Vì $O H = 1 c m = \frac{1}{2} O M \Rightarrow Δ O M H$ là một nửa tam giác đều $\Rightarrow \hat{O M H} = 30 °$

Vì Mlà trung điểm của AB $\Rightarrow M A = M O = M B \Rightarrow Δ M O A$ cân tại M

=> $\hat{O M H} = 2. \hat{M A O} \Rightarrow \hat{M A O} = \frac{\hat{O M H}}{2} = \frac{30 °}{2} = 15 °$

Ta có: $\hat{B A D} = 2. \hat{M A O} = 2.15 ° = 30 °$

ABCD là hình thoi => $\hat{B C D} = \hat{B A D} = 30 ° \Rightarrow \hat{A B C} = \hat{A D C} = 150 °$

Câu 15:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) . Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD) . Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành. (ảnh 1)

a) Vì M, N là trung điểm của AB, BC => MN là đường trung bình của

△

ABC

$\{\begin{cases} M N / / A C \\ M N = \frac{1}{2} A C \end{cases}$ (1)

Vì P, Q là trung điểm của CD, DA => PQlà đường trung bình của tam giác ADC

$\{\begin{cases} P Q / / A C \\ P Q = \frac{1}{2} A C \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) => MNPQ là hình bình hành..

Câu 16:

b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi

Xem đáp án

b) Vì P, N là trung điểm của CD, BC => NP là đường trung bình của tam giác BDC

=> $N P = \frac{1}{2} B D$ (4)

Từ (3), (4) => AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD => ABCD là hình thang cân

Câu 17:

Cho $△$ ABC cân tại A, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh $△$ EID, $△$ DIF cân.

Xem đáp án

Cho ABC cân tại A, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F a) Chứng minh EID, DIF cân. (ảnh 1)

a)

△

AEM vuông tại E, I là trung điểm của AM

Do đó $E I = \frac{1}{2} A M$

Tương tự ta có $F I = \frac{1}{2} A M, D I = \frac{1}{2} A M$

Do đó EI = DI = FI

=>

△

EID,

△

DIF cân tại I

Câu 18:

b) Tam giác ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi?

Xem đáp án

b) DEIF là hình thoi $\Rightarrow E I = E D = D F = F I$

=> $△$ EID, $△$ DIF là các tam giác đều.

$\Rightarrow \hat{E I F} = 120 °$ .

Mà $△$ EIA cân tại I $\Rightarrow \hat{E I M} = 2. \hat{E A M}$

Mà $△$ FIA cân tại I $\Rightarrow \hat{F I M} = 2. \hat{F A M}$

$\Rightarrow \hat{F A M} + \hat{E A M} = \frac{1}{2} (\hat{F I M} + \hat{E I M}) = \frac{1}{2} \hat{E I F} = 60 ° \Rightarrow \hat{B A C} = 60 °$

Do đó để DEIF là hình thoi thì $△$ ABC cân tại A cần thêm điều kiện $\hat{B A C} = 60 °$ .

Câu 19:

c) Với điều kiện của $△$ ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của $△$ ABC. Chứng minh EF, ID, MH đồng quy.

Xem đáp án

c) Gọi O là giao điểm của EF và DI => OE = OF

Gọi K là trung điểm của AH

$△$ ABC cân tại A có $\hat{B A C} = 60 ° \Rightarrow Δ A B C$ đều

=> H là trọng tâm $△$ ABC => $O H = \frac{1}{2} H A = K H$

Ta có IK và OH lần lượt là đường trung bình của $Δ A M H$ và $Δ A I D$

=> IK // MH, OH // IK

H, M, O thẳng hàng. Do đó EF, ID, MH đồng quy tại O.