33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Bài tập và các dạng toán minh hoạ có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I.

a) Tứ giác AMCK là hình gì ?

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC a) Tứ giác AMCK là hình gì (ảnh 1)

a) Áp dụng tính chất của tam giác cân cho $△$ ABC ta có: AM $⊥$ MC và BM = MC

I là trung điểm của AC và K đối xứng với M qua I nên tứ giác AMCK là hình bình hành

Lại có MK = AC (=2MI)

=> Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Câu 2:

b) Tứ giác AKMB là hình gì ?

Xem đáp án

b) Vì tứ giác AMCK là hình chữ nhật (chứng minh ở a) => AK // MC và AK = MC = MB nên tứ giác AKMB là hình bình hành.

Câu 3:

c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi không? Vì sao?

Xem đáp án

c) Nếu tứ giác AKMB là hình thoi thì BA = AK = KM = MB.

=> $△$ MBA cân tại B => $\hat{B A M} = \hat{A M B}$ = 90^o => vô lý.

Vậy không có trường hợp nào của $△$ ABC để AKMB là hình thoi.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng của điểm M qua điểm D.

a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB. (ảnh 1)

a) Vì E đối xứng với điểm M qua điểm D nên M, D, E thẳng hàng và DM = DE (1)

Áp dụng tính chất đường trung bình cho $△$ BAC ta có DM // AC.

Mà $△$ ABC vuông tại A nên CA $⊥$ AB => MD $⊥$ AB (2)

Từ (1) và (2) => E đối xứng với M qua đường thẳng AB.

Câu 5:

b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì?

Xem đáp án

b) Tứ giác AEMC là hình bình hành, tứ giác AEBM là hình thoi

Câu 6:

c) Cho BC = 4 cm. Tính chu vi tứ giác AEBM.

Xem đáp án

c) Chu vi tứ giác AEBM là 4BM = 8 (cm)

Câu 7:

d) Tam giác vuông ABC thỏa điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Xem đáp án

d) nếu tứ giác AEBM là hình vuông thì ME = AB mà ME = AC (do ACME là hình bình hành) => AC = AB =>

△

ABC vuông cân tại A.

Câu 8:

Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE.

a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.

Xem đáp án

Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE. a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân. (ảnh 1)

a) $△$ DAE = $△$ BAF (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{D A E} = \hat{B A F}$ và AE = AF

Mà $\hat{E A D} + \hat{E A B} = 90^{0}$

=> $\hat{E A B} + \hat{B A F} = 90^{0}$

=> DAEF vuông cân tại A.

Câu 9:

b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.

Xem đáp án

b) $△$ EAF vuông cân nên IA = IE = FI (1); $△$ CFE vuông có IC là đường trung tuyến => IE = IC = IF (2);

Từ (1) và (2) suy ra => IA = IC nên I thuộc trung trực của AC hay I thuộc BD.

Câu 10:

c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.

Xem đáp án

c) Do K đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AK.

Mà I là trung điểm của EF(gt) nên AFKE là hình bình hành, $△$ AEF vuông cân tại A nên AI $⊥$ EF.

Vậy AFKE là hình vuông.

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM.

a) Chứng minh $\hat{B A H} = \hat{M A C} .$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. a) Chứng minh góc BAH = góc MAC (ảnh 1)

a) $\hat{B A H} + \hat{M A C}$ vì cùng phụ với $\hat{A B C}$

Câu 12:

b) Trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng BC, lấy điểm D sao cho MD = MA (D và A thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC). Chứng minh rằng AD là phân giác chung của $\hat{M A H} & \hat{C A B} .$

Xem đáp án

b) $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ (1) (chứng minh a)

Mà $△$ ABC vuông có AM là trung tuyến nên $△$ AMC cân tại M => $\hat{C_{1}} = \hat{A_{4}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{A_{4}}$ (3)

D thuộc đường trung trực của BC.

=> DM $⊥$ BC = {M}

=> $\hat{D_{1}} = \hat{A_{2}}$

Vì DM = MA (giả thiết) $\Rightarrow \hat{M_{1}} = \hat{A_{3}} \Rightarrow \hat{A_{2}} = \hat{A_{3}}$ (4)

Từ (3) và (4) => AD là phân giác chung của

\hat{M A H} & \hat{C A B}

Câu 13:

c) Từ D kẻ DE, DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?

Xem đáp án

c) Theo cách vẽ và kết quả câu b), ta có AEDF là hình vuông.

Câu 14:

d) Chứng minh: $△$ DBE = $△$ DCF

Xem đáp án

d) $△$ DBE = $△$ DCF (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Câu 15:

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D.

a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D. a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông cân. (ảnh 1)

a) E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D => A, D, E thẳng hàng và DA = DE => CD $⊥$ AE tại trung điểm của AE => CA = CE => $△$ CAE cân ở C.

=> $\hat{D A C}$ = 45^o => $△$ ACE vuông cân.

Câu 16:

b) Từ A hạ AH

⊥

BE, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

Xem đáp án

b) Áp dụng tính chất đường trung bình cho $△$ HAE và giả thiết ABCD là hình vuông ta sẽ chứng minh được tứ giác BMNC là hình bình hành.

Câu 17:

c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB.

Xem đáp án

c) Do AH $⊥$ BN, mà NM // CB => NM $⊥$ AB nên M là trực tâm của tam giác ANB.

Câu 18:

d) Chứng minh

\hat{A N C} = 90^{0} .

Xem đáp án

d) M là trực tâm $△$ ABN nên BM $⊥$ AN mà BM // CN => $\hat{A N C}$ = 90^o

Câu 19:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG.

a) Chứng minh tứ giác BCGE là hình thang cân.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG. a) Chứng minh tứ giác BCGE là hình thang cân. (ảnh 1)

a) Vì ABDE, ACFG là các hình vuông nên ta có E, A, C thẳng hàng và B, A, G cũng thẳng hàng (1) và EC = BG.

Mà $\hat{E B A} = \hat{A G C}$ = 45⁰ (2).

Từ (1) và (2)

Suy ra EB // CG & EC = BG => EBCG là hình thang cân.

Câu 20:

b) Gọi K là giao điểm của các tia DE và FG, M là trung điểm của đoạn thẳng EG. Chứng minh ba điểm K, A, M thẳng hàng.

Xem đáp án

b) Chứng minh AEKG là hình chữ nhật, mà M là trung điểm EG nên K, A, M thẳng hàng.

Câu 21:

c) Chứng minh

M A ⊥ B C .

Xem đáp án

c) Gọi H = MA $\cap$ BC

Vì BEGC là hình thang cân nên $△$ BEG = $△$ EBC (c-g-c) => $\hat{E C B} = \hat{E G B}$ mà $\hat{E G A} = \hat{M A G} = \hat{B A H}$

=> $\hat{B A H} + \hat{A B C} = \hat{E C B} + \hat{A B C}$ = 90^o => MA $⊥$ BC tại H.

Câu 22:

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.

a) Tứ giác OBKC là hình gì ?

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. a) Tứ giác OBKC là hình gì ? (ảnh 1)

a) BK // OC, CK // OB.

Mà OB $△$ OC => OBKC là hình chữ nhật.

Câu 23:

b) Chứng minh AB = OK.

Xem đáp án

b)ABCD là hình thoi nên AB = BC. OBKC là hình chữ nhật nên KO = BC.

=> KO = BC => ĐPCM.

Câu 24:

c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông.

Xem đáp án

c) nếu OBKC là hình vuông thì OB = OC => BD = AC. Vậy ABCD là hình vuông.

Câu 25:

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và $\hat{B A C} = 60^{0} .$ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi.

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc BAC = 60 độ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi. (ảnh 1)

a) Ta sẽ có FD//EC và FD = EC = $\frac{1}{2}$ AD => ECDF là hình bình hành.

Mà $A B = \frac{1}{2} B C$

=> AB = BE = EF = EC

=> CDFE là hình thoi.

Câu 26:

b) Tứ giác ABED là hình gì?

Xem đáp án

b) Tứ giác ABED là hình thang cân vì BE // AD và $\hat{B A D} = \hat{A D E} = 60^{0}$

Câu 27:

c) Tính số đo của góc

\hat{A E D} .

Xem đáp án

c) Ta có $E F = C D = A B = \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} A D$ , F là trung điểm AD => $\hat{A E D} = 90^{0}$ .

Câu 28:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N.

a) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình thoi.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình thoi. (ảnh 1)

a) ABCD là hình thang nên AE//DF => AEFD là hình thang. O là trung điểm EF, OM // AE => M là trung điểm AD (tính chất đường trung bình của hình thang)

=> ME // FN // BD và ME = FN = $\frac{1}{2}$ AC => AC = BD

=> ABCD là hình thang cân.

Câu 29:

b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông.

Xem đáp án

b) Nếu EMFN là hình vuông thì ME $⊥$ EN => BD $⊥$ AC nên ABCD là hình thang cân có hai đường chéo vuông góc.

Câu 30:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi L là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.

a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK. (ảnh 1)

a) AMBH là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường)

Tương tự cũng có AMCK là hình thoi. AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

Câu 31:

b) Chứng minh H đối xứng với K qua A.

Xem đáp án

b) Áp dụng tính chất đối xứng trục ta có:

$A H = A M, \hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ và $A K = A M, \hat{A_{3}} = \hat{A_{4}}$ .

Mà $\hat{A_{2}} + \hat{A_{3}}$ = 90^o => H, A, K thẳng hàng.

Lại có AH = AM = AK =? H đối xứng với K qua A.

Câu 32:

c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông ?

Xem đáp án

c) Nếu AEMF là hình vuông thì AM là đường phân giác của $\hat{B A C}$ mà AM là đường trung tuyến.

=> $△$ ABC vuông cân tại A.

Câu 33:

Trên các cạnh của một hình bình hành, dựng về phía ngoài nó các hình vuông. Chứng minh rằng nếu nối tâm các hình vuông này, ta được một hình vuông.

Xem đáp án

Trên các cạnh của một hình bình hành, dựng về phía ngoài nó các hình vuông. Chứng minh rằng nếu nối tâm các hình vuông này, ta được một hình vuông. (ảnh 1)

Chú ý $\hat{K A F} = \hat{T C J}$ (2 cạnh tương ứng song song)

$\hat{A B C} = \hat{A D C}$ (góc đối của hình bình hành)

$\hat{F A K} = \hat{A B C}$ (có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra $\hat{K A F} = \hat{T C J}$ = $\hat{A B C} = \hat{A D C}$

Vậy $\hat{M A Q} = \hat{M B N} = \hat{P C N} = \hat{P D Q}$

Lại có: MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ

(nửa đường chéo của hình vuông bằng nhau)

Suy ra $△$ MAQ = $△$ MBN = $△$ PCN = $△$ PDQ

=> MQ = MN = NP = PQ (1)

Do các tam giác bằng nhau $\Rightarrow \hat{B N M} = \hat{C N P} h a y \hat{B N C} = \hat{M N P}$ = 90⁰ (2).

Từ (1) và (2) có MNPQ là hình vuông.