10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Δ A B C

. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh tứ giác BECD là hình thang

Xem đáp án

Cho tam giác ABC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB . Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC (ảnh 1)

A B = A D \Rightarrow Δ A B D

cân tại A

\Rightarrow \hat{A B D} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} (1)

A E = A C \Rightarrow Δ A E C

cân tại A

\Rightarrow \hat{A C E} = \hat{A E C} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} (2)

Từ (1), (2)

\Rightarrow \hat{A E C} = \hat{A B D}

=> BD // EC

=> BDCE là hình thang

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ vuông cân tại A. Ở phía ngoài $Δ A B C$ vẽ $Δ B C D$ vuông cân tại B. Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại B . Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang. (ảnh 1)

$Δ A B C$ vuông cân tại A $\Rightarrow \{\begin{cases} \hat{B A C} = 90 ° \\ \hat{A B C} = 45 ° \end{cases}$

$Δ B C D$ vuông cân tại B $\Rightarrow \hat{B C D} = 45 °$

$\Rightarrow \hat{A B C} = \hat{B C D} (= 45 °)$

=> ABDC là hình thang

Mà $\hat{B A C} = 90 °$

=> ABCD là hình thang vuông

Câu 3:

Cho tứ giác ABCD có $\hat{D} = 2 x + 9 °, \hat{A} = 8 x - 9 °$ và góc ngoài tại đỉnh A là $\hat{A_{1}} = 3 x - 9 °$ .

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD có góc D = 2x + 9 độ, góc A = 8x - 9 độ và góc ngoài tại đỉnh A là hóc A1 = 3x - 9 độ. a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? (ảnh 1)

a) Ta có $\hat{A} + \hat{A_{1}} = 180 °$

$\Rightarrow 8 x - 9 ° + 3 x - 9 ° = 180 ° \Rightarrow x = 18 ° \Rightarrow \{\begin{cases} \hat{D} = 45 ° \\ \hat{A} = 135 ° \\ \hat{A_{1}} = 45 ° \end{cases} \Rightarrow \hat{D} = \hat{A_{1}} \Rightarrow A B ∥ C D$

=> ABCD là hình thang

Câu 4:

b) Phân giác của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau ở I. Cho biết $\hat{B} - \hat{C} = 32^{0}$ . Tính các góc của $Δ B I C$ .

Xem đáp án

b) ABCD là hình thang

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

mà $\hat{B} = \hat{C} + 32 °$

$\Rightarrow \hat{C} + 32 ° + \hat{C} = 180 ° \Rightarrow \hat{C} = 74 ° \Rightarrow \hat{B} = 106 °$

BI là tia phân giác của $\hat{A B C} \Rightarrow \hat{A B I} = \hat{I B C} = \frac{\hat{A B C}}{2} \Rightarrow \hat{A B I} = \hat{I B C} = 53 °$

CI là tia phân giác của $\hat{D C B} \Rightarrow \hat{D C I} = \hat{I C B} = \frac{\hat{D C B}}{2} \Rightarrow \hat{D C I} = \hat{I C B} = 37 °$

Xét $Δ B I C$ có: $\hat{B I C} + \hat{I B C} + \hat{I C B} = 180 ° \Rightarrow \hat{B I C} = 180^{0} - (\hat{I B C} + \hat{I C B}) = 180 ° - (53^{0} + 37^{0}) = 90 °$

Câu 5:

Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD, biết AB = 4cm, CD = 8cm, BC = 5cm, AD = 3cm. Chứng minh: ABCD là hình thang vuông.

Xem đáp án

Qua B, kẻ BE // AD $(E \in D C)$

Hình thang ABCD có đáy AB và CD

=> AB // CD

=> AB // DE

=> ABED là hình thang

Mà BE // AD

$\Rightarrow A D = B E, A B = D E$ (theo tính chất hình thang có hai cạnh bên song song)

Mà $A D = 3 c m, A B = 4 c m$

=> $B E = 3 c m, D E = 4 c m$

Có $D C = D E + E C, D C = 8 c m, D E = 4 c m$

=> $E C = 4 c m$

Có $\begin{array}{l} B E^{2} + C E^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \\ B C^{2} = 5^{2} = 25 \end{array}\} \Rightarrow B C^{2} = B E^{2} + C E^{2} \Rightarrow Δ B E C$ vuông tại E (theo định lý Pytago đảo)

=> $\hat{B E C} = 90 °$

Mà $\hat{A D C} = \hat{B E C} (B E ∥ A D)$

=> $\hat{A D C} = 90 °$

Mà ABCD là hình thang

=> ABCD là hình thang vuông

Câu 6:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB < CD, AD < BC. Chứng minh :

a) AD + BC > CD - AB.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB < CD, AD < BC. Chứng minh : a) AD + BC > CD - AB. (ảnh 1)

Qua B kẻ BE / /AD $(E \in D C)$

Hình thang ABCD có đáy AB và CD

=> AB // CD

=> AB // DE

=> ABED là hình thang

Mà BE // AD

=> AD = BE, AB = DE (theo tính chất hình thang có hai cạnh bên song song)

Có $D C = D E + E C \Rightarrow D C - D E = E C \Rightarrow D C - A B = E C (D E = A B)$ (1)

a) Xét $Δ B E C$ có $B E + B C > E C$ (bất đẳng thức tam giác) => $A D + B C > E C (B E = A D)$ (2)

Từ (1) và (2) => $A D + B C > D C - A B$

Câu 7:

b) $B C - A D < D C - A B$

Xem đáp án

b) Xét $Δ B E C$ có $B C - B E < E C$ (bất đẳng thức tam giác) $\Rightarrow B C - A D < E C (B E = A D)$ (3)

Từ (1) và (3) $\Rightarrow B C - A D < D C - A B$

Câu 8:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm của BC và $\hat{A M D} = 90 °$ . Chứng minh: DM là phân giác của $\hat{A D C}$ .

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm của BC và .góc AMD = 90 độ Chứng minh: DM là phân giác của góc ADC (ảnh 1)

Gọi E là giao điểm của AB và DM

Có AB // CD

$\Rightarrow \{\begin{cases} \hat{A E M} = \hat{M D C} \\ \hat{E B M} = \hat{D C M} \end{cases}$

Xét $Δ B E M$ và $Δ C D M$ có:

$\hat{B M E} = \hat{C M D}$ (2 góc đối đỉnh)

BM = CM (M là trung điểm BC)

$\hat{E B M} = \hat{D C M}$ (so le trong)

$\Rightarrow Δ B E M = Δ D C M (g . c . g) \Rightarrow E M = M D$

=> M là trung điểm của ED

Xét $Δ A E D$ có:

AM là đường cao $(A M ⊥ D E_{} d o^{} \hat{A M D} = 90 °)$

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của ED)

=> $Δ A E D$ cân tại A

=> $\hat{A E D} = \hat{A D M}$

Mà $\hat{A E M} = \hat{M D C}$

$\Rightarrow \hat{A D M} = \hat{C D M} (= \hat{A E M})$

=> DM là phân giác của $\hat{A D C}$

Câu 9:

Cho hình thang ABCD (AB // CD)

a) Phân giác của $\hat{A}$ và $\hat{D}$ cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC. Chứng minh: AD = AB + CD.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC. Chứng minh: AD = AB + CD. (ảnh 1)

a) Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho $\hat{A I E} = \hat{A I B}$

AI là tia phân giác của $\hat{B A D} \Rightarrow \hat{B A I} = \hat{D A I} = \frac{\hat{B A D}}{2}$ (1)

DI là tia phân giác của $\hat{A D C} \Rightarrow \hat{A D I} = \hat{C D I} = \frac{\hat{A D C}}{2}$ (2)

mà $\hat{B A D} + \hat{A D C} = 180 °$ (AB // CD) (3)

Từ (1), (2) và (3) => $\hat{D A I} + \hat{A D I} = \frac{\hat{B A D}}{2} + \frac{\hat{A D C}}{2} = 90 °$

Mà $Δ A I D : \hat{D A I} + \hat{A I D} + \hat{A I D} = 180 °$

=> $\hat{A I D} = 90 °$

Mà $\hat{B I A} + \hat{A I D} + \hat{D I C} = 180 °$

=> $\hat{B I A} + \hat{D I C} = 90 °$

Mà $\hat{A I E} + \hat{E I D} = 90 ° (\hat{A I D} = 90 °)$ và $\hat{A I E} = \hat{A I B}$

=> $\hat{D I E} = \hat{D I C}$

Xét $Δ A I E$ và $Δ A I B$ có:

$\hat{E A I} = \hat{B A I}$

AI chung

$\hat{A I E} = \hat{A I B} \Rightarrow Δ A E I = Δ B A I (g . c . g)$

=> AE = BD (4)

Chứng minh tương tự có $Δ D E I = Δ D C I (g . c . g)$ => DE = DC (5)

Mà AD = AE + dE (6)

Từ (4), (5) và (6) => AD = AB + DC

Câu 10:

b) Cho AD = AB + CD . Chứng minh: phân giác của

\hat{A}

và

\hat{D}

cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC .

Xem đáp án

b) Cho AD = AB + CD . Chứng minh: phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC . (ảnh 1)

b) Gọi I là trung điểm của BC => BI = CI

Gọi H là giao điểm của DI và AB

Xét $Δ B I H$ và $Δ C I D$ có:

$\hat{B I H} = \hat{C I D}$ (2 góc đối đỉnh)

$B I = C I \hat{I B H} = \hat{I C D} (A B ∥ C D) \Rightarrow Δ B I H = Δ C I D (g . c . g) \Rightarrow B H = C D \Rightarrow A B + B H = A B + C D \Rightarrow A H = A D$

$\Rightarrow Δ A H D$ cân tại A

$\Rightarrow \hat{A D I} = \hat{A H D}$ Mà $\hat{A H D} = \hat{I D C} (A B ∥ C D)$

$\Rightarrow \hat{A D I} = \hat{I D C}$

=> DI là tia phân giác của $\hat{A D C}$

Có $I D = I C (Δ B I H = Δ C I D)$

=> I là trung điểm của DH

=> AI là đường trung tuyến của $Δ A D H$

Mà $Δ A H D$ cân tại A

=> AI là tia phân giác của $\hat{D A B}$