12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3:Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:

Media VietJack

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ có AM là đường phân giác trong nên: $\frac{M B}{M C} = \frac{A B}{A C}$

Hay $\frac{15}{x} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{15.4}{3} = 20 (c m)$

Câu 2:

Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:

Media VietJack

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ có AD là đường phân giác ngoài nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2} = \frac{y}{16} \Rightarrow y = 8 (c m)$

Câu 3:

Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:

Media VietJack

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ có AD là đường phân giác ngoài nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2} = \frac{y}{16} \Rightarrow y = 8 (c m)$

Câu 4:

Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:

Media VietJack

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ có AD là đường phân giác ngoài nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2} = \frac{y}{16} \Rightarrow y = 8 (c m)$

Câu 5:

Cho tam giác cân ABC có $A B = B C .$ Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N. Chứng minh MN // AC

Xem đáp án

AM là phân giác của A nên $\frac{B M}{C M} = \frac{A B}{A C} .$

CN là phân giác của C nên $\frac{B N}{A N} = \frac{B C}{A C} .$

Lại có: $A B = B C .$

Suy ra:

\frac{A B}{A C} = \frac{B C}{A C} \Rightarrow \frac{B N}{A N} = \frac{B M}{C M} \Rightarrow M N

// AC

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ có AD, BE, CF là các đường phân giác. Chứng minh rằng: $\frac{A E}{E C} . \frac{C D}{D B} . \frac{B F}{F A} = 1$ .

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ , áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C}$ (1)

$\frac{C D}{D B} = \frac{A C}{A B}$ (2)

$\frac{B F}{F A} = \frac{B C}{A C}$ (3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được: $\frac{A E}{E C} . \frac{C D}{D B} . \frac{B F}{F A} = \frac{A B}{B C} . \frac{A C}{A B} . \frac{B C}{A C} = 1$ .

Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của A và D cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD

Xem đáp án

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: $\frac{A B}{A D} = \frac{B M}{D M}$

Tương tự, $\frac{C D}{A D} = \frac{C N}{A N}$ ;

Mà $A B = C D$ , suy ra $\frac{B M}{D M} = \frac{C N}{A N}$

Từ đó, ta có:

$\frac{B M}{D M} + 1 = \frac{C N}{A N} + 1 \Leftrightarrow \frac{B D}{D M} = \frac{C A}{A N} \Leftrightarrow \frac{D O}{D M} = \frac{A O}{A N}$

Suy ra $M N // A D .$

Câu 8:

Cho $Δ A B C$ có phân giác AD, biết $A B = m, A C = n$ . Tính tỉ số diện tích của $Δ A B D$ và $Δ A C D$ theo m và n

Xem đáp án

Vẽ đường cao AH của $Δ A B C$ .Vì $Δ A B C$ có phân giác AD nên:

$\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C} = \frac{m}{n}$ . Vậy $\frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} . A H . B D}{\frac{1}{2} . A H . C D} = \frac{B D}{C D} = \frac{m}{n}$

Câu 9:

Cho $Δ A B C$ có phân giác AD, biết $A B = m, A C = n$ Vẽ phân giác DE của $Δ A D B$ và vẽ phân giác DF của $Δ A D C$ . Chứng minh rằng: $A F . C D . B E = A E . B D . C F$

Xem đáp án

Ta có: $\frac{A F}{C F} = \frac{A D}{C D}$ (do DF là phân giác ADC)

$\frac{B E}{A E} = \frac{B D}{A D}$ (do DE là phân giác ADB)

\Rightarrow \frac{A F}{C F} . \frac{C D}{B D} . \frac{B E}{A E} = \frac{A D}{C D} . \frac{C D}{B D} . \frac{B D}{A D} = 1

\Rightarrow A F . C D . B E = A E . B D . C F

Câu 10:

Cho $Δ A B C$ , trung tuyến AM, đường phân giác của AMB cắt AB ở D, đường phân giác của AMC cắt AC ở E. Chứng minh rằng $D E / / B C$ .

Xem đáp án

Ta có

$\frac{B D}{A D} = \frac{M B}{M A}$ (do MD là phân giác của AMB)

$\frac{C E}{A E} = \frac{M C}{M A}$ (do ME là phân giác của AMC)

Mà $M B = M C$ (M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \frac{B D}{A D} = \frac{C E}{A E} \Rightarrow D E / / B C$

Câu 11:

Cho $Δ A B C$ , trung tuyến AM, đường phân giác của $\hat{A M B}$ cắt AB ở D, đường phân giác của $\hat{A M C}$ cắt AC ở E.Chứng minh rằng $Δ A B C$ cân nếu biết $M D = M E$ .

Xem đáp án

Khi $D M = E M$ thì $Δ D M E$ cân tại M có MI là trung tuyến ( $D I = I E$ ) nên đồng thời là đường cao $\Rightarrow M I ⊥ D E$

Mà $D E / / B C$ (cmt) nên $M I ⊥ B C$

Δ A B C

có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân

Câu 12:

Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

C E = 2. H I .

Xem đáp án

Ta có $\hat{AIE} = \hat{BAH} + \hat{ABI} = \frac{1}{2} (\hat{A} + \hat{B}) = 45 ° + \frac{1}{2} \hat{B} = 45 ° + \frac{1}{2} \hat{C} = \hat{AEI}$ .

Suy ra ∆AIE cân tại A Þ $A I = A E$ (1).

Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: $\frac{IH}{IA} = \frac{BH}{BA} \Rightarrow \frac{AB}{AI} = \frac{BH}{IH}$ (2); $\frac{EC}{EA} = \frac{BC}{BA} \Rightarrow \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{EC}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{BH}{IH} = \frac{BC}{EC} (4)$

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên $B C = 2. B H$

Từ đó kết hợp với (4) suy ra

E C = 2. I H

.