5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Bài luyện tập nâng cao có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 3: Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

Dạng 4: Bài luyện tập nâng cao có đáp án

1005 lượt thi
5 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng $G M ⊥ A C$ . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD.

Xem đáp án

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $A C \Rightarrow D H // A B$ và $D H = \frac{1}{2} A B$ (vì DH là đường trung bình $Δ A B C$ ).

Lại có $G M // A B$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow G M // D H$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $Δ A D H$ có $\Rightarrow G M // D H$

$\Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{2}{3} .$

Xét $Δ A B I$ có $G M // A B \Rightarrow \frac{G I}{A I} = \frac{G M}{A B} = \frac{G H}{B H} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{G I + A I}{A I} = \frac{A + 3}{3} \Rightarrow A I = \frac{3}{4} . A G = \frac{3}{4} . \frac{2}{3} . A D \Rightarrow A I = \frac{A D}{2}$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$Δ A B D$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $B M ⊥ A D$ .

Cách 2.

$Δ A D H$ có $G M // D H \Rightarrow \frac{A M}{A H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3. A M = 2. A H = A C = A M + M C$

hay $M C = 2. A M$ .

Áp dụng tính chất đường phân giác trong $Δ A B C$ , ta có:

$\frac{B C}{A B} = \frac{M C}{M A} = 2 \Rightarrow A B = \frac{B C}{2} = B D .$

Vậy $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao.

Do đó $B M ⊥ A D$

Câu 2:

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$ sao cho $D, E$ nằm cùng phía đối với điểm I. Chứng minh rằng: $\frac{B C}{I D} + \frac{A C}{I E} = \frac{A B}{I F} .$

Xem đáp án

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

$\frac{B D}{I D} = \frac{B F}{I F}; \frac{C E}{I E} = \frac{C D}{I D}; \frac{A F}{I F} = \frac{A E}{I E}$

Ta có: $\frac{B C}{I D} = \frac{B D}{I D} - \frac{C D}{I D} = \frac{B F}{I F} - \frac{C E}{I E}$ (1)

Ta có: $\frac{A C}{I E} = \frac{A E}{I E} + \frac{C E}{I E} = \frac{A F}{I F} + \frac{C E}{I E}$ (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:

$\frac{B C}{I D} + \frac{A C}{I E} = \frac{B F}{I F} + \frac{A F}{I F} = \frac{A B}{I F} .$

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$ .

Xem đáp án

$\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$

$\Rightarrow \frac{BC}{BG} = \frac{AH + HC}{HD}$ $= 1 + \frac{HC}{HD}$

$\Rightarrow \frac{BC}{BG} - 1 = \frac{HC}{HD} \Rightarrow \frac{BC - BG}{BG} = \frac{HC}{HD} \Rightarrow \frac{GC}{GB} = \frac{HC}{HD}$

Ta chứng minh: $\frac{HC}{HD} = \frac{GC}{GB}$ . Ta có: DE // AH $\Rightarrow$ $\frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE}$ .

Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật.

IE = HD = HA; $\hat{IAE} = \hat{HBA}$ do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.

$\Rightarrow AE = AB$ $\Rightarrow \frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{AB}$ .

Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc $\hat{BAC}$ hay G là chân đường phân giác trong góc ABC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:

$\frac{GC}{GB} = \frac{AC}{AB}$ . Vậy $\Rightarrow \frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{AB} = \frac{GC}{GB}$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm.Vẽ AK là tia phân giác của góc $\hat{BAC}$ (K thuộc BC). Tính AK?

Xem đáp án

Theo tính chất chân đường phân giác trong ta có:

$\frac{KC}{KB} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{CK}{CB} = \frac{4}{7}$ .
Gọi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên AC, suy ra KK’ // AB. Theo định lí Talet ta có:

$\frac{KK'}{AB} = \frac{CK}{CB} = \frac{4}{7} \Rightarrow KK' = \frac{4}{7} .AB = \frac{4}{7} .6 = \frac{24}{7} (cm)$ .

Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân tại K’ nên:

$AK = KK ’ . \sqrt{2} = \frac{24}{7} \sqrt{2} (cm)$ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành.

Xem đáp án

Ta chứng minh I là trung điểm của HE.

Vì HE $⊥$ AC nên HE // BA. Theo định lí Talet ta có: $\frac{IE}{NA} = \frac{CI}{CN} = \frac{IH}{NB}$ .

Vì NA = NB nên IE = IH. Do đó I là trung điểm của HE.

Theo giả thiết thì I là trung điểm của NT.

Tứ giác NETH có hai đường chéo NT và EH có chung trung điểm I nên NETH là hình bình hành.

Bắt đầu thi ngay